Seit Gauß weiß man, dass die Gaußsche Krümmung die fundamentale Invariante für die Differentialgeometrie der Flächen im 3-dimensionalen Raum ist. Sie hängt nur von der inneren Geometrie der Fläche ab (Theorema Egregium) und sie bestimmt die innere Geometrie: Flächen mit gleicher Krümmung sind lokal isometrisch.
Aus dem 1858 von Riemann für Mannigfaltigkeiten höherer Dimension definierten Krümmungstensor kann man Invarianten wie die Schnittkrümmung, die Ricci-Krümmung und die Skalarkrümmung herleiten. Der Tensorkalkül und die verschiedenen Krümmungsbegriffe wurden von Ricci und Levi-Civita bearbeitet, fanden aber erst mit ihrem Vorkommen in Einsteins Feldgleichungen größere Beachtung. Einem geometrischen Verständnis dieses Kalküls näherte sich erstmals Levi-Civita mit dem 1917 entwickelten Konzept des Paralleltransports.
Seit den 1930er Jahren begann man, die geometrische Bedeutung der Krümmungsgrößen zu hinterfragen, etwa in Arbeiten von Wald, Busemann und vor allem Alexandrow und seinen Schülern.
Man wußte natürlich schon lange, wie sich Geodäten in Räumen konstanter Krümmung verhalten: in negativer Krümmung gehen sie mit exponentieller Geschwindigkeit auseinander, in flacher Krümmung nur mit linearer Geschwindigkeit, und in positiver Krümmung werden sie sich irgendwann wieder schneiden.
Élie Cartan hatte allgemeiner das Auseinandergehen der Geodäten in Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Krümmung untersucht. 1927 hatte er den Satz von Cartan-Hadamard in seiner allgemeinen Form bewiesen: bei nichtpositiver Schnittkrümmung ist die Exponentialabbildung ein lokaler Diffeomorphismus. Insbesondere gibt es keine 1-Parameter-Familien von sich wieder schneidenden Geodäten durch einen Punkt.
A. D. Alexandrow bewies 1948 einen Vergleichssatz, demzufolge in einer Fläche S der Schnittkrümmung ≥ K Dreiecke dicker sind als in Flächen konstanter Schnittkrümmung K. Genauer: wenn man zu einem Dreieck in S das Vergleichsdreieck im Raum konstanter Schnittkrümmung nimmt, also dasjenige Dreieck, für das die Längen zweier Seiten und der dazwischenliegende Winkel genauso groß sind, dann ist die dritte Seite des Dreiecks in S größer als die dritte Seite im Vergleichsdreieck.
Dieser Satz macht also – im Kontrast zum Satz von Cartan-Hadamard – eine Aussage für den Fall einer unteren Schranke für die Schnittkrümmung. Man weiß heute, dass Alexandrows Vergleichssatz schon 1907 von einem italienischen Geodäten bewiesen und 1917 im Anhang einer (den Satz gar nicht verwendenden) Arbeit Severis veröffentlicht worden war. Der damalige Beweis war analytisch gewesen, während Alexandrows Beweis synthetisch war und keine Differentialgleichungen verwendete. Der analytische Beweis war Alexandrow nicht bekannt und er blieb ein ganzes Jahrhundert lang vergessen.
Dreiecksvergleiche hatten einst eine Rolle gespielt, als Differentialgeometrie noch ein Hilfsmittel der Geodäsie war. Davon hatte sie sich aber lange emanzipiert und am Anfang des 20. Jahrhunderts hatte sich niemand für einen solchen Satz interessiert.
Dreiecke kamen erst wieder ins Spiel, als Alexandrow begann über metrische Definitionen von Krümmung nachzudenken, insbesondere auch für den Fall, dass die Riemannsche Metrik nicht zweimal differenzierbar ist – die traditionelle Definition der Krümmung verwendet zweite Ableitungen der Metrik.
Die Differentialgeometrie, traditionell einmal die Theorie von Kurven und Flächen im euklidischen Raum, entwickelte sich erst spät zu einer globalen Theorie Riemannscher Mannigfaltigkeiten (Mannigfaltigkeiten mit einem punktweisen Skalarprodukt). Das lag wohl auch daran, dass differenzierbare Mannigfaltigkeiten erst spät ein Thema der Topologie wurden. Das erste Lehrbuch über differenzierbare Mannigfaltigkeiten schrieben 1932 Veblen und Whitehead. Viele grundlegende Tatsachen hatte erst Whitney in den 30er Jahren bewiesen.
Auch in Blaschkes Neuauflage des erstmals in den 1920er Jahren veröffentlichten Lehrbuchs “Einführung in die Differentialgeometrie” spielte Differentialgeometrie im Großen noch keine Rolle, während er andererseits als Spätkonvertierter Cartans Theorie konsequent und vielleicht klarer als im Original verwendete. Die Neuauflage nach dem Krieg löste dann bei Erscheinen einen kleinen Skandal aus, weil jüdische Mathematiker dort von ihm durchgängig als solche bezeichnet wurden. Der Springer-Verlag beendete daraufhin Blaschkes Mitarbeit in der Grundlehren-Reihe.
Cartan hatte bewiesen, dass Riemannsche Mannigfaltigkeiten durch ihren Krümmungstensor lokal eindeutig bis auf Isometrie festgelegt sind. Daraus folgt, dass es an einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten konstanter Schnittkrümmung nur die bekannten Beispiele gibt, also den euklidischen Raum oder einen (reskalierten) hyperbolischen Raum oder eine runde Sphäre.
Bei positiver Krümmung gelang Harry Rauch, einem jungen Postdoktoranden aus Princeton, 1951 ein allgemeineres Resultat: wenn die Schnittkrümmung zwischen 0,76 und 1 ist, dann handelt es sich um eine topologische Sphäre. (Die Konstante 0,76 wurde später von Blaschkes Habilitanden Wilhelm Klingenberg auf den optimalen Wert 0,25 verbessert.)
Als Hilfsmittel für dieses Resultat bewies Rauch einen sehr viel grundlegenderen Vergleichssatz für Jacobi-Felder.
Ein Jacobi-Feld J(t) ist die Ableitung dH/ds (in s=0) einer von einem Parameter s abhängenden 1-Parameter-Familie von Geodäten γs. Die Größe des Jacobi-Felds mißt, wie schnell die Geodäten auseinanderdriften.
Wenn K die Schnittkrümmung der von γ0‘(0) und J‘(0) aufgespannten Ebene bezeichnet, dann gilt für ein normiertes Jacobi-Feld
Rauch zeigte, dass dieser Zusammenhang auch für große t gilt. Er bewies: Wenn eine Riemannsche Metrik überall kleinere Schnittkrümmung hat als eine andere, dann haben die Jacobi-Felder auf der ersten Mannigfaltigkeit überall größere Norm als die entsprechenden Jacobi-Felder auf der zweiten Mannigfaltigkeit.
Neben der schwachen Version des Sphärensatzes folgte aus dem Vergleichssatz von Rauch auch ein Vergleichssatz für Dreiecke in Mannigfaltigkeiten mit einer unteren Krümmungsschranke: die Dreiecke sind dort „dicker“ als in den Vergleichsräumen konstanter Krümmung.
Den Dreiecksvergleich bei oberen Krümmungsschranken, den Alexandrow für Flächen bewiesen hatte, verallgemeinerte Viktor Toponogow 1958 auf beliebige Dimensionen durch eine Kombination von Alexandrows eher synthetischen Argumenten mit schwierigeren die Jacobi-Gleichung
Bild: https://link.springer.com/content/pdf/bfm%3A978-3-642-69828-6%2F1.pdf
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