John Nash wurde 1950 in Princeton mit einem Thema aus der Spieltheorie promoviert. Er hatte mittels eines Fixpunktsatzes aus der Funktionalanalysis einen eleganten Existenzbeweis für Gleichgewichte in Mehrpersonenspielen und damit ein brauchbares Modell für Verhandlungen zwischen zwei Personen gefunden.
Die Spieltheorie war mit dem 1944 von Oskar Morgenstern und John von Neumann veröffentlichten Buch “The Theory of Games and Economic Behavior” begründet worden. Trotz von Neumanns Prestige stieß sie bei vielen Mathematikern auf wenig Interesse. Nashs Mentoren hatten eigentlich erwartet, dass er ein wirklich schwieriges Problem auf einem abstrakten Gebiet wie der Topologie lösen würde.
Fast gleichzeitig mit seinem Gleichgewichtsresultat für n-Personen-Spiele gelang ihm aber eine Entdeckung über Mannigfaltigkeiten: er bewies, dass sich jede Mannigfaltigkeit als reelle algebraische Varietät realisieren läßt, also als Nullstellenmenge reeller Polynome. Technisch war der wichtigste Schritt, dass er jede differenzierbare Abbildung zwischen reell-algebraischen Mengen approximieren konnte durch Abbildungen, die gleichzeitig algebraisch und reell-analytisch sind. Diesen 1952 in den Annals of Mathematics veröffentlichten Beweis sah er später als seine beste Arbeit an.
Nash hielt nichts davon, Mannigfaltigkeiten abstrakt über Karten und Atlanten zu definieren. Er fragte bei zahlreiche Professoren schriftlich an, ob es ein lohnendes Problem wäre zu beweisen, dass jede Riemannsche Mannigfaltigkeit isometrisch in einen euklidischen Rn eingebettet werden kann. Nachdem ihm dies bestätigt wurde, behauptete er, eine Lösung modulo Details zu haben. Er wollte darüber sogar in Harvard vortragen. Dann erkundigte er sich bei Norman Levinson nach einer bestimmten Differentialgleichung. Der meinte, die wäre sehr schwer – offensichtlich hatte Nash nur vage Vorstellungen. Die beiden trafen sich dann jede Woche und Levinson erklärte Nash jedesmal, was mit seinen jeweils neuen Ansätzen nicht funktioniere. Am Ende, nachdem Nash zwei Jahre mit verbissener Zähigkeit an dem Problem gearbeitet hatte, war er dann mit seinem Argument aber doch zufrieden. Nash hielt dann Vorträge über seinen Beweis des Einbettungssatzes, nach denen aber trotzdem noch niemand an die Richtigkeit seiner Argumente glaubte. Doch der Gutachter Herbert Federer war begeistert und redigierte mit Nash in mehrmonatiger Arbeit das Manuskript.
Tatsächlich war der Beweis nicht nur neuartig, sondern auch sehr mysteriös, eine geheimnisvolle Reihe seltsamer Ungleichungen kam zusammen. Technisch ging es vor allem um die Lösung bestimmter partieller Differentialgleichungen, a-priori-Abschätzungen ohne Ableitungen und ein Analogon des Satzes über implizite Funktionen in gewissen topologischen Vektorräumen. Der Satz über implizite Funktionen besagt ja in seiner einfachsten Form, dass man für eine Funktion mit f(0)=0 und f’(0)≠0 zu jedem hinreichend kleinen y ein kleines x mit f(x)=y finden kann; man kann ihn mit dem Newtonschen Iterationsverfahren beweisen: die Folge
Überraschender als der allgemeine C∞-Einbettungssatz war sein C1-Einbettungssatz. Er bewies dort nämlich zusätzlich, dass es eine isometrische C1-Einbettung nicht nur in einen Rn, sondern dort sogar in eine Kugel von beliebig kleinem Radius gibt. Das ist sehr erstaunlich, denn man kann mit Hilfe der Prinzipalkrümmungen leicht beweisen, dass es keine isometrischen C2-Einbettungen einer gegebenen Mannigfaltigkeit in beliebig kleinen Kugeln geben kann. Klassisches Beispiel: für eine Einbettung einer Fläche in eine Kugel vom Radius ε muss in einem Extrempunkt die Krümmung mindestens 1/ε2 sein. Weil Krümmung nach dem Theorema Egregium eine Invariante unter Isometrien ist, kann es also für kleine ε keine solche Einbettung der Einheitssphäre geben. Dieses Argument funktioniert nur für C2-Einbettungen, weil die Definition der Krümmung zweite Ableitungen der Metrik verwendet. Für C1-Einbettungen ist die Krümmung nicht definiert. Man hatte wohl erwartet, dass dies ein technischer Punkt ist und man den Beweis auch ohne zweimalige Differenzerbarkeit noch verallgemeinern könnte. Dementsprechend hätte man nicht damit gerechnet, dass es solche Einbettungen für C0 oder C1 dann doch gibt. Die mit Nashs Einbettungssatz erhaltenen nichtglatten Einbettungen waren Monstrositäten, die unmögliches ermöglichten wie das Zusammenfalten eines Tischtennisballs ohne ihn zu verformen, oder die Konstruktion eines perfekt flachen Torus im R3. Im Nachhinein verstand man sie als Beispiel des Phänomens, dass nichtlineare partielle Differentialgleichungen unterhalb einer gewissen Regularitätsschranke unvorhersehbar werden.
Der C1-Einbettungssatz war zwar sehr überraschend, aber nicht das Hauptresultat seiner Arbeit. Technisch sehr viel schwieriger war der Beweis, dass es isometrische Ck-Einbettungen für alle k≥2 gibt. (Erst für diesen Beweis hatte er die mit Levinson diskutierten analytischen Resultate benötigt.) Sein Beweis für unendlich oft differenzierbare Einbettungen entwickelte die allgemeinste Form des Perturbationsarguments.
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