Theorema Magnum MCMLIV: der Einbettungssatz von Nash

Von Thilo / 26. November 2020 / 12 Kommentare / Seite 2 von 2 / Auf einer Seite lesen

Die Differentialgeometer bevorzugten aber weiterhin den intrinsischen Standpunkt. Die Geometrie von hochdimensionalen Mannigfaltigkeiten wurde nicht einfacher, wenn man sie in einen Rⁿ einbettet. Viel wichtiger wurde Nashs Arbeit für die Analysis, wo seine Methoden im Beweis des C^k-Falls für k≥2 einen Durchbruch in der Theorie partieller Differentialgleichungen darstellten.

In den folgenden Jahren beschäftigte sich Nash mit der Regularität der Lösungen parabolischer Differentialgleichungen mit meßbaren elliptischen Koeffizienten, die er mit a-priori-Abschätzungen und einem neuen Entropiebegriff bewies. Er zeigte, dass L²-Lösungen Hölder-stetig sind und eine Harnack-Ungleichung max(u)≤Cmin(u) erfüllen. Gleichzeitig bewies Ennio de Giorgi analoge Ungleichungen für gewisse elliptische Differentialgleichungen. Es stellte sich heraus, dass die beiden Resultate äquivalent zueinander waren, wenngleich die Beweise unterschiedliche Methoden benutzten. Im elliptischen Fall folgte die Lösung für eines der Hilbertschen Probleme: die Minimierer des Integrals sind immer glatt, wenn F glatt und streng konvex ist. Im parabolischen Fall konnte man zeigen, dass Gradientenflußgleichungen mit streng konvexer Energie glatte Lösungen haben.

Bild: https://library.princeton.edu/special-collections/topics/nash-john-1928-2015

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Kommentare (12)

#1 Frank Wappler
27. November 2020

Thilo schrieb (26. November 2020):
> […] Für C1-Einbettungen ist die Krümmung nicht definiert.

Ist dadurch verhindert, für je drei verschiedene Punkte $A, B, C$ der einzubettenden Menge (Längenraum $\mathcal M$ ), und für jede umkehrbare Abbildung

$f : \mathcal M \rightarrow \mathbb R^n$

(also insbesondere auch für jede Einbettung, durch jeweils die intrinsische und die extrinsische Länge jeder eingebetteten Kurve gleich sind) die entsprechende extrinsische Krümmung des Umkreises der drei Bildpunkte $f[ \, A \, ], f[ \, B \, ], f[ \, C \, ]$ zu ermitteln:

$\kappa[ \, \{ f[ \, A \, ], f[ \, B \, ], f[ \, C \, ] \} \, ] \mapsto$

$\sqrt{ \frac{2}{a^2} + \frac{2}{b^2} + \frac{2}{c^2} - \frac{a^2}{b^2 c^2} - \frac{b^2}{a^2 c^2} - \frac{c^2}{a^2 b^2} }$

mit
$a := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, B \, ] \, ] – (x_j[ \, f[ \, C \, ] \, ])^2,$
$b := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, A \, ] \, ] – (x_j[ \, f[ \, C \, ] \, ])^2,$
$c := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, A \, ] \, ] – (x_j[ \, f[ \, B \, ] \, ])^2;$

und sogar zu untersuchen, ob und für welche Folgen von Punkt-Tripeln $\{ (A, B, C)_{\text{index}} \}$ die entsprechende Folge von Umkreiskrümmungen konvergiert ?
#2 Frank Wappler
https://en.wikipedia.org/wiki/Circumscribed_circle#Other_properties
27. November 2020

Thilo schrieb (26. November 2020):
> […] Für C1-Einbettungen ist die Krümmung nicht definiert.

Ist dadurch verhindert, für je drei verschiedene Punkte $A, B, C$ der einzubettenden Menge (Längenraum $\mathcal M$ ), und für jede umkehrbare Abbildung

$f : \mathcal M \rightarrow \mathbb R^n$

(also insbesondere auch für jede Einbettung, die jede Kurve stetig abbildet und sicherstellt, dass deren intrinsische und extrinsische Länge jeweils gleich sind) die entsprechende extrinsische Krümmung des Umkreises der drei Bildpunkte $f[ \, A \, ], f[ \, B \, ], f[ \, C \, ]$ zu ermitteln:

$\kappa[ \, \{ f[ \, A \, ], f[ \, B \, ], f[ \, C \, ] \} \, ] \mapsto$

$\sqrt{ \frac{2}{a^2} + \frac{2}{b^2} + \frac{2}{c^2} - \frac{a^2}{b^2 \, c^2} - \frac{b^2}{a^2 \, c^2} - \frac{c^2}{a^2 \, b^2} }$

mit
$a^2 := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, B \, ] \, ] – (x_j[ \, f[ \, C \, ] \, ])^2,$
$b^2 := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, A \, ] \, ] – (x_j[ \, f[ \, C \, ] \, ])^2,$
$c^2 := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, A \, ] \, ] – (x_j[ \, f[ \, B \, ] \, ])^2;$

und sogar zu untersuchen, ob und für welche Folgen von Punkt-Tripeln $\{ (A, B, C)_{\text{index}} \}$ die entsprechende Folge von Umkreiskrümmungen konvergiert ?
#3 Thilo
28. November 2020

Ist das eine Formel für das Inverse des Umkreisquadrats? Als erste Frage stellt sich, ob das eine intrinsische Größe ist, also wenn verschiedene Einbettungen dieselbe Metrik geben, ob dann diese Formel dieselbe Krümmung definieren würde.
#4 Frank Wappler
30. November 2020

Thilo schrieb (#3, 28. November 2020):
> Ist das eine Formel für das Inverse des Umkreisquadrats?

Die Formel aus meinem obigen Kommentar (in beiden Versionen, #1 und #2),
$ $\sqrt{ \frac{2}{a^2} + \frac{2}{b^2} + \frac{2}{c^2} - \frac{a^2}{b^2 \, c^2} - \frac{b^2}{a^2 \, c^2} - \frac{c^2}{a^2 \, b^2} } \tag{FW1},$ $
stellt das Inverse der bekannten Formel dar, die den Umkreisradius eines Dreiecks durch dessen drei Seitenlängen ausdrückt.
(Der Link, den ich zur Verdeutlichung beizufügen versuchte, enthält immerhin die Formel, die den Umkreisdurchmesser eines Dreiecks durch dessen drei Seitenlängen ausdrückt.)

Zu beachten ist allerdings, dass diese Formel $(FW1)$ auch dann einen Wert liefert (nämlich: $0$ ), falls das betreffende Dreieck zu einer “(doppelt belegten) Geraden” degeneriert wäre; und sich deshalb weder strikt von “dessen Umkreis”, noch vom “Radius dieses Umkreises”, und deshalb auch nicht vom “Kehrwert dieses Radius'” sprechen ließe.

> Als erste Frage stellt sich, ob das eine intrinsische Größe ist […]

???
Die anfangs zitierte Bemerkung aus dem obigen ScienceBlog …

Thilo schrieb (26. November 2020):
> […] Für C1-Einbettungen ist die Krümmung nicht definiert.

… bezieht sich doch sicherlich auch nicht auf “Krümmung” als eine intrinsische Größe — oder etwa doch?

Zusammen mit den Setzungen aus meinem obigen Kommentar …

>>> […] für jede umkehrbare Abbildung
$ $f : \mathcal M \rightarrow \mathbb R^n \tag{FW2}$ $
>>> (also insbesondere auch für jede Einbettung, […])

und (in Version #2 meines Kommentars korrigiert, und hier — hoffentlich endlich — lesbar dargestellt)

>>> […] mit
$ $a^2 := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, B \, ] \, ] - (x_j[ \, f[ \, C \, ] \, ])^2, \\ b^2 := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, A \, ] \, ] - (x_j[ \, f[ \, C \, ] \, ])^2, \\ c^2 := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, A \, ] \, ] - (x_j[ \, f[ \, B \, ] \, ])^2; \tag{FW3}$ $

… ergibt sich jedenfalls die Definition einer Größe, die keine intrinsische Größe (des abgebildeten bzw. eingebetteten “Längenraumes $\mathcal M$ “) ist, und die ganz ausdrücklich auch keine sein soll. Das dürfte auch durch die Bezeichnung dieser Größe und ihrer Argumente als “Umkreiskrümmung $\kappa[ \, \{ f[ \, A \, ], f[ \, B \, ], f[ \, C \, ] \} \, ]$ ” verdeutlicht sein.

Die konkrete Setzung $(FW3)$ ist dabei mit der Annahme aus dem obigen ScienceBlog-Artikel verbunden, dass die Menge $\mathbb R^n$ in Setzung $(FW2)$ kartesische Koordinaten eines $n$ -dimensionalen Euklidisch-flachen Raumes bezeichnet. (Demgegenüber sind i.A. natürlich auch andere Varianten denkbar.)

Verschiedene umkehrbare Abbildungen bzw. Einbettungen
$f : \mathcal M \rightarrow \mathbb R^n$ und, z.B.,
$h : \mathcal M \rightarrow \mathbb R^n$ ,
mit $h \not\equiv f$ ,
können also i.A. ungleiche Werte
$\kappa[ \, \{ h[ \, A \, ], h[ \, B \, ], h[ \, C \, ] \} \, ] \neq \kappa[ \, \{ f[ \, A \, ], f[ \, B \, ], f[ \, C \, ] \} \, ]$
hinsichtlich ein-und-des-selben Tripels $(A, B, C)$ von Punkten aus $\mathcal M$ haben.

p.s.
Zusammen mit ausdrücklich intrinsischen Setzungen lassen sich durch Formel $(FW1)$ auch ausdrücklich intrinsische Größen definieren; insbesondere, sofern Menge $\mathcal M$ als Bestandteil eines Längenraumes $(\mathcal M, d)$ gegeben ist:

$ $\kappa[ \, \{ A, B, C \} \, ] \mapsto \sqrt{ \frac{2}{a^2} + \frac{2}{b^2} + \frac{2}{c^2} - \frac{a^2}{b^2 \, c^2} - \frac{b^2}{a^2 \, c^2} - \frac{c^2}{a^2 \, b^2} } \tag{FW4}$ $
mit
$ $a^2 := (d[ \, B, C \, ])^2, \qquad b^2 := (d[ \, A, C \, ])^2, \qquad c^2 := (d[ \, A, B \, ])^2. \tag{FW5}$ $

Deren Werte könnten wiederum von Interesse sein, um (die am Ende meines vorausgegangenen Kommentars genannten) bestimmte Folgen von Punkt-Tripeln $\{ (A, B, C)_{\text{index}} \}$ festzulegen.
#5 Frank Wappler
30. November 2020

Thilo schrieb (#3, 28. November 2020):
> Ist das eine Formel für das Inverse des Umkreisquadrats?

Die Formel aus meinem obigen Kommentar (in beiden Versionen, #1 und #2),
$ $\sqrt{ \frac{2}{a^2} + \frac{2}{b^2} + \frac{2}{c^2} - \frac{a^2}{b^2 \, c^2} - \frac{b^2}{a^2 \, c^2} - \frac{c^2}{a^2 \, b^2} } \qquad \text{(FW1)},$ $
stellt das Inverse der bekannten Formel dar, die den Umkreisradius eines Dreiecks durch dessen drei Seitenlängen ausdrückt.
(Der Link, den ich zur Verdeutlichung beizufügen versuchte, enthält immerhin die Formel, die den Umkreisdurchmesser eines Dreiecks durch dessen drei Seitenlängen ausdrückt.)

Zu beachten ist allerdings, dass diese Formel $\text{(FW1)}$ auch dann einen Wert liefert (nämlich: $0$ ), falls das betreffende Dreieck zu einer “(doppelt belegten) Geraden” degeneriert wäre; und sich deshalb weder strikt von “dessen Umkreis”, noch vom “Radius dieses Umkreises”, und deshalb auch nicht vom “Kehrwert dieses Radius'” sprechen ließe.

> Als erste Frage stellt sich, ob das eine intrinsische Größe ist […]

???
Die anfangs zitierte Bemerkung aus dem obigen ScienceBlog …

Thilo schrieb (26. November 2020):
> […] Für C1-Einbettungen ist die Krümmung nicht definiert.

… bezieht sich doch sicherlich auch nicht auf “Krümmung” als eine intrinsische Größe — oder etwa doch?

Zusammen mit den Setzungen aus meinem obigen Kommentar …

>>> […] für jede umkehrbare Abbildung
$ $f : \mathcal M \rightarrow \mathbb R^n \qquad \text{(FW2)}$ $
>>> (also insbesondere auch für jede Einbettung, […])

und (in Version #2 meines Kommentars korrigiert, und hier — hoffentlich endlich — lesbar dargestellt)

>>> […] mit
$ $a^2 := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, B \, ] \, ] - (x_j[ \, f[ \, C \, ] \, ])^2, \\ b^2 := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, A \, ] \, ] - (x_j[ \, f[ \, C \, ] \, ])^2, \\ c^2 := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, A \, ] \, ] - (x_j[ \, f[ \, B \, ] \, ])^2; \qquad \text{(FW3)}$ $

… ergibt sich jedenfalls die Definition einer Größe, die keine intrinsische Größe (des abgebildeten bzw. eingebetteten “Längenraumes $\mathcal M$ “) ist, und die ganz ausdrücklich auch keine sein soll. Das dürfte auch durch die Bezeichnung dieser Größe und ihrer Argumente als “Umkreiskrümmung $\kappa[ \, \{ f[ \, A \, ], f[ \, B \, ], f[ \, C \, ] \} \, ]$ ” verdeutlicht sein.

Die konkrete Setzung $\text{(FW3)}$ ist dabei mit der Annahme aus dem obigen ScienceBlog-Artikel verbunden, dass die Menge $\mathbb R^n$ in Setzung $\text{(FW2)}$ kartesische Koordinaten eines $n$ -dimensionalen Euklidisch-flachen Raumes bezeichnet. (Demgegenüber sind i.A. natürlich auch andere Varianten denkbar.)

Verschiedene umkehrbare Abbildungen bzw. Einbettungen
$f : \mathcal M \rightarrow \mathbb R^n$ und, z.B.,
$h : \mathcal M \rightarrow \mathbb R^n$ ,
mit $h \not\equiv f$ ,
können also i.A. ungleiche Werte
$\kappa[ \, \{ h[ \, A \, ], h[ \, B \, ], h[ \, C \, ] \} \, ] \neq \kappa[ \, \{ f[ \, A \, ], f[ \, B \, ], f[ \, C \, ] \} \, ]$
hinsichtlich ein-und-des-selben Tripels $(A, B, C)$ von Punkten aus $\mathcal M$ haben.

p.s.
Zusammen mit ausdrücklich intrinsischen Setzungen lassen sich durch Formel $(FW1)$ auch ausdrücklich intrinsische Größen definieren; insbesondere, sofern Menge $\mathcal M$ als Bestandteil eines Längenraumes $(\mathcal M, d)$ gegeben ist,

$ $\kappa[ \, \{ A, B, C \} \, ] \mapsto \sqrt{ \frac{2}{a^2} + \frac{2}{b^2} + \frac{2}{c^2} - \frac{a^2}{b^2 \, c^2} - \frac{b^2}{a^2 \, c^2} - \frac{c^2}{a^2 \, b^2} } \qquad \text{(FW4)}$ $
mit
$ $a^2 := (d[ \, B, C \, ])^2, \qquad b^2 := (d[ \, A, C \, ])^2, \qquad c^2 := (d[ \, A, B \, ])^2. \qquad \text{(FW5)}$ $

Deren Werte könnten wiederum von Interesse sein, um (die am Ende meines vorausgegangenen Kommentars genannten) bestimmte Folgen von Punkt-Tripeln $\{ (A, B, C)_{\text{index}} \}$ festzulegen.
#6 Frank Wappler
30. November 2020

Thilo schrieb (#3, 28. November 2020):
> Ist das eine Formel für das Inverse des Umkreisquadrats?

Die Formel aus meinem obigen Kommentar (in beiden Versionen, #1 und #2),
$\sqrt{ \frac{2}{a^2} + \frac{2}{b^2} + \frac{2}{c^2} - \frac{a^2}{b^2 \, c^2} - \frac{b^2}{a^2 \, c^2} - \frac{c^2}{a^2 \, b^2} } \qquad \text{(FW1)},$
stellt das Inverse der bekannten Formel dar, die den Umkreisradius eines Dreiecks durch dessen drei Seitenlängen ausdrückt.
(Der Link, den ich zur Verdeutlichung beizufügen versuchte, enthält immerhin die Formel, die den Umkreisdurchmesser eines Dreiecks durch dessen drei Seitenlängen ausdrückt.)

Zu beachten ist allerdings, dass diese Formel $\text{(FW1)}$ auch dann einen Wert (nämlich: $0$ ) liefert, falls das betreffende Dreieck zu einer “(doppelt belegten) Geraden” degeneriert wäre; und sich deshalb weder strikt von “dessen Umkreis”, noch vom “Radius dieses Umkreises”, und deshalb auch nicht vom “Kehrwert dieses Radius'” sprechen ließe.

> Als erste Frage stellt sich, ob das eine intrinsische Größe ist […]

???
Die anfangs zitierte Bemerkung aus dem obigen ScienceBlog …

Thilo schrieb (26. November 2020):
> […] Für C1-Einbettungen ist die Krümmung nicht definiert.

… bezieht sich doch sicherlich auch nicht auf “Krümmung” als eine intrinsische Größe — oder etwa doch?

Zusammen mit den Setzungen aus meinem obigen Kommentar …

>>> […] für jede umkehrbare Abbildung
$f : \mathcal M \rightarrow \mathbb R^n \qquad \text{(FW2)}$
>>> (also insbesondere auch für jede Einbettung, […])

und (in Version #2 meines Kommentars korrigiert, und hier — hoffentlich endlich — lesbar dargestellt)

>>> […] mit
$a^2 := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, B \, ] \, ] - x_j[ \, f[ \, C \, ] \, ])^2, \\ b^2 := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, A \, ] \, ] - x_j[ \, f[ \, C \, ] \, ])^2, \\ c^2 := \sum_{j = 1}^n (x_j[ \, f[ \, A \, ] \, ] - x_j[ \, f[ \, B \, ] \, ])^2; \qquad \text{(FW3)}$

… ergibt sich jedenfalls die Definition einer Größe, die keine intrinsische Größe (des abgebildeten bzw. eingebetteten “Längenraumes $\mathcal M$ “) ist, und die ganz ausdrücklich auch keine sein soll. Das dürfte auch durch die Bezeichnung dieser Größe und ihrer Argumente als “Umkreiskrümmung $\kappa[ \, \{ f[ \, A \, ], f[ \, B \, ], f[ \, C \, ] \} \, ]$ ” verdeutlicht sein.

Die konkrete Setzung $\text{(FW3)}$ ist dabei mit der Annahme aus dem obigen ScienceBlog-Artikel verbunden, dass die Menge $\mathbb R^n$ in Setzung $\text{(FW2)}$ kartesische Koordinaten eines $n$ -dimensionalen Euklidisch-flachen Raumes bezeichnet. (Demgegenüber sind i.A. natürlich auch andere Varianten denkbar.)

Verschiedene umkehrbare Abbildungen bzw. Einbettungen
$f : \mathcal M \rightarrow \mathbb R^n$ und, z.B.,
$h : \mathcal M \rightarrow \mathbb R^n$ ,
mit $h \not\equiv f$ ,
können also i.A. ungleiche Werte
$\kappa[ \, \{ h[ \, A \, ], h[ \, B \, ], h[ \, C \, ] \} \, ] \neq \kappa[ \, \{ f[ \, A \, ], f[ \, B \, ], f[ \, C \, ] \} \, ]$
hinsichtlich ein-und-des-selben Tripels $(A, B, C)$ von Punkten aus $\mathcal M$ haben.

p.s.
Zusammen mit ausdrücklich intrinsischen Setzungen lassen sich durch Formel $\text{(FW1)}$ auch ausdrücklich intrinsische Größen definieren; insbesondere, sofern Menge $\mathcal M$ als Bestandteil eines Längenraumes $(\mathcal M, d)$ gegeben ist:

$\kappa[ \, \{ A, B, C \} \, ] \mapsto \sqrt{ \frac{2}{a^2} + \frac{2}{b^2} + \frac{2}{c^2} - \frac{a^2}{b^2 \, c^2} - \frac{b^2}{a^2 \, c^2} - \frac{c^2}{a^2 \, b^2} } \qquad \text{(FW4)}$
mit
$a^2 := (d[ \, B, C \, ])^2, \qquad b^2 := (d[ \, A, C \, ])^2, \qquad c^2 := (d[ \, A, B \, ])^2. \qquad \text{(FW5)}$

Deren Werte könnten wiederum von Interesse sein, um (die am Ende meines vorausgegangenen Kommentars genannten) bestimmte Folgen von Punkt-Tripeln $\{ (A, B, C)_{\text{index}} \}$ festzulegen.
#7 Thilo
30. November 2020

Ja sorry, Umkreisquadrat sollte natürlich Umkreisradius heißen.
#8 Thilo
30. November 2020

Die Krümmung ist jedenfalls eine intrinsische Größe, das ist der Inhalt von Gauß’ Theorema Egregium.
#9 Frank Wappler
30. November 2020

Thilo schrieb (#8, 30. November 2020):
> Die Krümmung ist jedenfalls eine intrinsische Größe […]

Man interpretiere diese Aussage hinsichtlich des (häufig affirmativ zu verstehenden) Auftretens des Begriffs “extrinsische Krümmung (ist …)” bzw. (noch häufiger) “extrinsic curvature (is …)” im Allgemeinen;
sowie im Besonderen hinsichtlich der Bemerkung aus dem obigen ScienceBlog (Thilo, 26. November 2020):
“[…] Für C1-Einbettungen ist die Krümmung nicht definiert.”.
#10 Thilo
1. Dezember 2020

Das große Resultat des Theorema Egregijm ist gerade, dass die extrinsische Gaußsche Krümmung dann eben doch eine intrinsische Größe ist, obwohl sie ursprünglich nicht als solche definiert wurde.
#11 Frank Wappler
1. Dezember 2020

Thilo schrieb (#10, 1. Dezember 2020):
> Das große Resultat des Theorema E[…] ist gerade, dass die extrinsische Gaußsche Krümmung dann eben doch eine intrinsische Größe ist, obwohl sie ursprünglich nicht als solche definiert wurde.

Von Gaußscher Krümmung war im obigen ScienceBlogs-Beitrag jedoch gar nicht ausdrücklich die Rede …
Und es gibt eben nicht nur den Begriff der Gaußschen Krümmung, um die Einbettung einer Fläche (oder allgemeiner: eines Längenraumes) extrinsisch zu charakterisieren; und z.B. “eine ebene Einbettung einer intrinsischen Ebene” von “einer zylindrischen Einbettung einer intrinsischen Ebene” zu unterscheiden.

Sofern es ausdrücklich und ausschließlich um die Gaußsche Krümmung ginge, hätte sich im obigen ScienceBlog-Artikel ja stattdessen schreiben lassen:
“Für C1-Einbettungen ist die Gaußsche Krümmung nicht definiert.“
#12 Theorema Magnum – Mathlog
31. Januar 2021

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