StartseiteMathlog

Theorema Magnum MCMLVI: die Selbergsche Spurformel

Von / 10. Dezember 2020 / 2 Kommentare / Seite 2 von 2 / Auf einer Seite lesen
Mehr

Eine Summenformel, auf deren rechter Seite eine Summe über Eigenwerte steht, kann es natürlich nur geben, wenn das Spektrum diskret ist. Auf kompakten Mannigfaltigkeiten ist der Konvolutionsoperator kompakt und hat deswegen diskretes Spektrum. Für hyperbolische Flächen mit Spitzen führen die Spitzen zu einem kontinuierlichen Spektrum. Man kann aber sogenannte Spitzenformen definieren, die in den Spitzen verschwinden, und Gelfand, Graev und Piatetski-Shapiro bewiesen, dass die Einschränkung des Konvolutionsoperators auf den Raum der Spitzenformen L02(G/Γ) kompakt ist und also diskretes Spektrum hat. Das kontinuierliche Spektrum ist dann das orthogonale Komplement von L02(G/Γ) in L2(G/Γ).

Hans Maaß hatte Ende der 40er Jahre sogenannte Wellenformen betrachtet, das sind (nicht notwendig holomorphe) SL(2,Z)-invariante Funktionen auf der hyperbolischen Ebene, die einer gewissen Wachstumsbedingung in den Spitzen von SL(2,Z) genügen und Eigenfunktionen des hyperbolischen Laplace-Operators sind. Entsprechend kann man Maaß-Formen vom Gewicht k betrachten, die Eigenfunktionen des “Laplace-Operators vom Gewicht k” \Delta_{k} = -y^{2} \left (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \right ) + iky\frac{\partial}{\partial x} sind. Sie sind ein nicht-holomorphes Gegenstück zu den Modulformen vom Gewicht k, zu denen insbesondere die aus der Theorie der elliptischen Funktionen bekannten Eisenstein-Reihen Ek(z) gehören. Dies führte später zur allgemeineren Definition der automorphen Formen, die nicht holomorph sein müssen, sonst aber die selben Eigenschaften wie Modulformen haben.

Selberg realisierte als erster, dass das Klassifikationsproblem automorpher Formen im Wesentlichen das Eigenfunktionsproblem des Laplace-Operators ist. Er zeigte, dass das Komplement des Raums der Spitzenformen L02(G/Γ) in L2(G/Γ) im Fall Γ=SL(2,Z) von sogenannten nicht-holomorphen Eisenstein-Reihen Es(z) gebildet wird, die von einem komplexen Parameter s abhängen. Den komplexen Parameter s kann man als Charakter einer Borel-Untergruppe interpretieren. Selberg definierte für andere diskrete Untergruppen von SL(2,R) ähnliche von Charakteren parametrisierte Funktionen, die ebenfalls als Eisenstein-Reihen bezeichnet werden. (Die Eisenstein-Reihen selbst sind keine L2-Funktionen, sie sollen aber in der Spektralzerlegung von L2-Funktionen vorkommen ähnlich wie für G=R die nicht zu L2 gehörenden Funktionen eikx in der Spektralzerlegung von L2-Funktionen vorkommen.) Roelcke hatte 1954 den Spektralsatz für den hyperbolischen Laplace-Operator bewiesen modulo der analytischen Fortsetzbarkeit der Eisenstein-Reihen, die dann einige Jahre später von Selberg bewiesen wurde. Das kontinuierliche Spektrum ist das Intervall \left[\frac{1}{4},\infty\right) mit Vielfachheit die Anzahl der Spitzen von Γ, und es kann ziemlich explizit durch die Eisensteinreihen beschrieben werden. Das diskrete Spektrum besteht aus Eigenwerten endlicher Vielfachheit, ohne Häufungspunkte, es entspricht (neben den konstanten Funktionen) den Spitzenformen und ist schwer zu verstehen. Selberg ging das diskrete Spektrum mit seiner Spurformel an und konnte so letztlich alle quadratisch integrierbaren automorphen Formen auf SL(2,R), also die Spektralbasis für Δ, bestimmen. Man hatte sich gefragt, ob die mit sehr unterschiedlichen Methoden von Siegel und Maaß konstruierten Eigenfunktionen nur Anomalien oder bereits alle Eigenfunktionen waren. Selberg beantwortete das positiv mit seiner Spurformel. Später bewies er, dass die Eigenwerte zu Spitzenformen mindestens 3/16 sind und vermutete, dass sie mindestens 1/4 sein müssen.

Bild: https://wolffund.org.il/2018/12/09/atle-selberg/

1 / 2
Stichworte: ,
Mehr

Kommentare (2)

  1. #1 Brotlose Kunst
    11. Dezember 2020

    DAS LICHTSCHWERT
    Enthält einen KYBER-Christall, der durch die Explosion einer übergewichtigen Sonne erzeugt wurde.
    Weil in der Explosionszone kurzfristig ein Mini-Urknall entsteht, der seltsame Physik materialisieren lassen kann, christallisiert eine mathematisch-abstrakte unitäre Matrix in Form eines Kyber-Christalls.
    Propagieren Laser-Pointer-Laser-Photonen, die Eigenwerte ihres elektromagnetischen Laser-Pointer-Felds sind, durch den Kyber-Christall, wandelt der zur unitären Kyber-Matrix gehörende Kyber-Operator die photonischen Eigenwerte in Kyber-Eigenwerte des strange lokal begrenzten Kyber-Christall-Universums um.
    Die Kyber-Eigenwerte werden wegen ihrer Strangeness vom physikalischen Grundgesetz unseres Universums, welches zum Beispiel auch KAONEN rasend schnell zerfallen lässt, außerhalb des lokalen Kyber-Universum bzw. außerhalb des Kyber-Christalls sehr schnell in wild gestreute Photonen umgewandelt, weswegen ein Laserschwert auch im absoluten Vakuum farbig leuchtet aber nicht länger als 1,5 Meter ist.
    Materie unseres Universums kollabiert, wenn sie vom Kyber-Strahl getroffen wird, weil die für unsere Materie zuständigen algebraischen Mathekomplexe, die durch die Geometrie von z.B. Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten erzeugt werden, bei der Verarbeitung der strange Eigenwerte Fehler machen, welche zum Mathe-Kollaps der Schrödinger-Gleichungen unserer Materie führt.
    Im Gegensatz zu einem Kristall unseres Universums hat der Kyber-Christall keinen Reflektions-Koeffizient.

    Wie schaltet man ein Kyber-Christall-Lichtschwert ein?
    Na ja, man schaltet den im Lichtschwert verbauten Laser-Pointer ein.

    GAMMALASERLICHT
    Sir Isaac Newton konnte es nicht wissen und der eine oder andere mathematische Physiker will es wohl nicht wissen.
    Der von Mathematikern angewandte unitäre Operator T, der die beugende Linse algebraisiert, darf nur in einem engen Lichtfrequenzbereich angewendet werden!
    INFRAROTES LICHT und sehr langwelliges (Laser-)Licht wird von Linsen-Molekülen absorbiert und in mechanische Schwingungen ihrer Atomteile umgewandelt, was empfindungsfähige Lebewesen als Wärme empfinden.
    GAMMALASERLICHT (ultrahochwelliges kohärentes Licht) bohrt ein gerades Loch in eine Linse, weil es im Gegensatz zu sichtbarem Licht (Farbe: rot bis blau) nukleare Affinität hat und daher nicht gebeugt wird. Es ist zu hochenergetisch und zerreist die Eigenwert-Mathematik von Atomschalen und damit die Molekülbindungen, wenn es Atomkerne trifft.

    EIGENWERTABHÄNGIGE REFLEKTION
    Warum haben normale Kristalle unseres Universums (in Abhängigkeit von den Polarisations-Eigenwerten einfallenden Lichts) einen (unterschiedlich) kleinen Reflektions-Koeffizienten, der z.B. für Richard P. Feynman keinen Sinn ergab, so dass er eine ziemlich verrückte Quantenelektrodynamik-Mathematik erfinden musste, um diesen Reflektions-Unfug erklären zu können?
    Die kabarettistische Antwort von Vince Ebert könnte interessant sein, der sich mit Quantum Optics und Laser Beam Propagation und Baker–Campbell–Hausdorff und unitären Operatoren der Dirac-Schreibweise auseinandersetzen müsste, … und seine geistige Gesundheit nur bewahrt, wenn er numerische Software die Gleichungen lösen lässt.

    Wie springt der RASENDE FALKE aus dem Hangar eines Raumschiffs in einen HYPERBOLISCHEN RAUM?
    Auf jeden Fall anders als ein Jumper der BATTLESTAR GALACTICA, der erheblichen Schaden an der Außenwand der GALACTICA erzeugte, als dieser direkt nach Verlassen des Landehangars, der eingezogen wurde, um den Jumper an der Flucht zu hindern, notgedrungen knapp neben der Hülle der GALACTICA in den hyperbolischen Raum sprang.

    Warum sprang der RASENDE FALKE 1977 nicht aus dem Hangar des Todessterns in den HYPERBOLISCHEN RAUM?
    Weil Game Designer Drehbücher mitgestalten.
    Im Zeitalter der Adventures und Dungeon&Dragons-Brettspiele, die aus Gründen wochenlang beschäftigten sollten, musste in ein überwachtes Inneres zeitaufwändig eingedrungen werden.
    In modernen Computer- oder Konsolen-Spielen soll schnell konsumiert werden, um zum Kauf des nächsten Konsolenspiels zu verführen. Also wird Lichtgeschwindigkeitsstottern eingeführt, um eine sehr lange Verfolgungsjagd, die vor langer Zeit mechanisch ausgewürfelt wurde, in eine sehr kurze umzuwandeln.

    Warum wurden keine Kyber-Christalle auf der Erde gefunden?
    Vor 500.000 Jahren wurden alle Kyber-Christalle von Prospektoren eingesammelt und auf einem Markt in einer weit entfernten Galaxis verkauft.

  2. #2 Theorema Magnum – Mathlog
    17. Dezember 2021

    […] Die Endlichkeit der Homotopiegruppen von Sphären Der Einbettungssatz von Nash Serre-Dualität Die Selbergsche Spurformel Bott-Periodizität Der Satz von Grothendieck-Riemann-Roch Der Eichler-Shimura-Isomorphismus Der […]