Die Poissonsche Summenformel \Sigma_{n\in {\bf Z}}f(n)=\Sigma_{k\in{\bf Z}}\hat{f}(k):=\Sigma_{k\in{\bf Z}}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-2\pi ikx}dx für schnell fallende C^\infty-Funktionen f hat zahlreiche Anwendungen in Zahlentheorie und Analysis, beispielsweise beim Beweis der Transformationsformel der Theta-Funktion oder für gewisse Reihenentwicklungen.
Man kann sie geometrisch interpretieren, indem man sieht, dass auf dem Kreis S1=R/Z die natürlichen Zahlen n die Längen der geschlossenen Geodäten sind und die Zahlen -(2πk)2 die Eigenwerte des Laplace-Operators d2/dx2. Die Summenformel setzt also die Längen geschlossener Geodäten mit den Eigenwerten des Laplace-Operators in Beziehung.

Der Kreis und die Sphäre sind die einfachsten Beispiele kompakter symmetrischer Räume. Für den Kreis kennt man die Eigenfunktionen des Laplace-Operators, es sind die Funktionen eikx. Auch für die Sphären kennt man die Eigenfunktionen des Laplace-Operators – es sind die Kugelflächenfunktionen – und für die Eigenwerte hat man eine ähnliche Summenformel \Sigma_{k=0}^\infty f(\rho_k)=\Sigma_{n=0}^\infty (-1)^n\int_{\bf R} \vert x\vert f(x)e^{2\pi inx}dx, wobei sich der auf der rechten Seite vorkommende Term 2\pi n als Länge geschlossener Geodäten auf der Sphäre interpretieren läßt.

Schwieriger, aber für viele Anwendungen in der Mathematik von Interesse, ist der Laplace-Operator auf hyperbolischen Flächen H2/Γ, wobei H2 die hyperbolische Ebene und Γ ein Gitter ist, d.h. H2/Γ ist entweder kompakt oder zumindest wie beim für zahlentheoretische Anwendungen wichtigen Beispiel Γ=SL(2,Z) von endlichem Volumen.
Die Suche nach einer Summenformel für die Eigenwerte des hyperbolischen Laplace-Operators ist ein Spezialfall der folgenden allgemeinen Konstruktion. Sei G die Isometriegruppe eines symmetrischen Raumes X und Γ ein Gitter in G. Der Quotient X/Γ ist dann ein lokal symmetrischer Raum endlichen Volumens. Man hat eine Linkswirkung von G auf X/Γ und damit eine unitäre Darstellung der Lie-Gruppe G auf L2(X/Γ), die sogenannte reguläre Darstellung. Ein grundlegendes Problem in der Darstellunstheorie von Lie-Gruppen ist es, diese Darstellung in irreduzible Summanden ρk mit Charakteren σk zu zerlegen und die Vielfachheiten Nk der einzelnen Charaktere zu bestimmen.
Wegen der Unendlichdimensionalität der regulären Darstellung kann man für die Bilder \rho(g) der einzelnen Gruppenelemente zunächst keine Spur definieren. Man betrachtet deshalb für eine Darstellung \rho\colon G\to End(L^2(\Gamma\backslash G)) und eine fest gewählte Funktion mit kompaktem Träger f den auf L^2(\Gamma\backslash G) wirkenden Konvolutionsoperator C_\rho (f):=\int_G f(g)\rho(g)dg, der ein Spurklasseoperator ist. Für seine Spur gibt es die Identität \sum_{k}N_k \mathrm{Spur}(C_{\rho_k}(f))=\sum_{\left[\gamma\right]}\mathrm{vol}(\Gamma_\gamma\backslash G_\gamma)O_\gamma(f), wobei auf der rechten Seite über die Konjugationsklassen in Γ summiert wird, Γγ und Gγ die Zentralisatoren von γ in Γ bzw. G sind, und das Orbitintegral Oγ(f) durch O_\gamma(f)=\int_{G_\gamma/G}f(x^{-1}\gamma x)dx definiert ist. Der linke Ausdruck wird als die spektrale Seite der Spurformel bezeichnet, der rechte Ausdruck als die geometrische Seite der Spurformel. Das Ziel ist, diese Ausdrücke direkt zu beschreiben.

Für hyperbolische Flächen und dann allgemeiner lokal symmetrischer Räume vom Rang 1 fand Selberg explizite Spurformeln. Auf der rechten Seite stehen Summen über Konjugationsklassen, auf der linken Summen über Eigenwerte des Laplace-Operators Δ. Für kompakte hyperbolische Flächen bewies er beispielsweise 1956 die Formel \sum_{j=0}^\infty f(\rho_j) =  \frac{\mathrm{vol}(\Gamma\backslash \mathbb{H}^2)}{4 \pi } \int_{-\infty}^\infty x \, f(x) \tanh(\pi x)\,dx +  \sum_{ \{\gamma\}\not=1 } \frac{ L(\gamma_0) }{ e^{\frac{1}{2}L(\gamma)} - e^{-\frac{1}{2}L(\gamma)} } \widehat{f}(L(\gamma)), wobei L(γ) die Länge der γ entsprechenden geschlossenen Geodäten ist.

Eine der ersten Anwendungen dieser Gleichung war ein neuer Beweis von Weyls Gesetz über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte des Laplace-Operators.
Selberg selbst war über die Zahlentheorie zur Beschäftigung mit der Spurformel gekommen. Der Zusammenhang zwischen den Längen geschlossener Geodäten und den Eigenwerten des Laplace-Operators hat einige Ähnlichkeit mit dem Zusammenhang zwischen Primzahlen und den Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion. (Bemerkenswerterweise hatte Selberg 1948 einen elementaren Beweis für den Primzahlsatz gefunden, in dem die Riemannsche Zetafunktion eben nicht verwendet wurde, und für den er 1950 die Fields-Medaille erhielt. Abgesehen davon war er aber ein führender Experte der Riemannschen Zetafunktion, und er führte in seiner Arbeit zur Spurformel eine analoge Zetafunktion für hyperbolische Flächen ein, in der Primzahlen durch Längen geschlossener Geodäten ersetzt wurden.)
Eine wichtige Anwendung fand die Spurformel bei der Berechung der Dimension von Räumen automorpher Formen, die sie (jedenfalls im kompakten Fall) auf die Berechnung gewisser Integrale zurückführt.

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Kommentare (1)

  1. #1 Brotlose Kunst
    11. Dezember 2020

    DAS LICHTSCHWERT
    Enthält einen KYBER-Christall, der durch die Explosion einer übergewichtigen Sonne erzeugt wurde.
    Weil in der Explosionszone kurzfristig ein Mini-Urknall entsteht, der seltsame Physik materialisieren lassen kann, christallisiert eine mathematisch-abstrakte unitäre Matrix in Form eines Kyber-Christalls.
    Propagieren Laser-Pointer-Laser-Photonen, die Eigenwerte ihres elektromagnetischen Laser-Pointer-Felds sind, durch den Kyber-Christall, wandelt der zur unitären Kyber-Matrix gehörende Kyber-Operator die photonischen Eigenwerte in Kyber-Eigenwerte des strange lokal begrenzten Kyber-Christall-Universums um.
    Die Kyber-Eigenwerte werden wegen ihrer Strangeness vom physikalischen Grundgesetz unseres Universums, welches zum Beispiel auch KAONEN rasend schnell zerfallen lässt, außerhalb des lokalen Kyber-Universum bzw. außerhalb des Kyber-Christalls sehr schnell in wild gestreute Photonen umgewandelt, weswegen ein Laserschwert auch im absoluten Vakuum farbig leuchtet aber nicht länger als 1,5 Meter ist.
    Materie unseres Universums kollabiert, wenn sie vom Kyber-Strahl getroffen wird, weil die für unsere Materie zuständigen algebraischen Mathekomplexe, die durch die Geometrie von z.B. Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten erzeugt werden, bei der Verarbeitung der strange Eigenwerte Fehler machen, welche zum Mathe-Kollaps der Schrödinger-Gleichungen unserer Materie führt.
    Im Gegensatz zu einem Kristall unseres Universums hat der Kyber-Christall keinen Reflektions-Koeffizient.

    Wie schaltet man ein Kyber-Christall-Lichtschwert ein?
    Na ja, man schaltet den im Lichtschwert verbauten Laser-Pointer ein.

    GAMMALASERLICHT
    Sir Isaac Newton konnte es nicht wissen und der eine oder andere mathematische Physiker will es wohl nicht wissen.
    Der von Mathematikern angewandte unitäre Operator T, der die beugende Linse algebraisiert, darf nur in einem engen Lichtfrequenzbereich angewendet werden!
    INFRAROTES LICHT und sehr langwelliges (Laser-)Licht wird von Linsen-Molekülen absorbiert und in mechanische Schwingungen ihrer Atomteile umgewandelt, was empfindungsfähige Lebewesen als Wärme empfinden.
    GAMMALASERLICHT (ultrahochwelliges kohärentes Licht) bohrt ein gerades Loch in eine Linse, weil es im Gegensatz zu sichtbarem Licht (Farbe: rot bis blau) nukleare Affinität hat und daher nicht gebeugt wird. Es ist zu hochenergetisch und zerreist die Eigenwert-Mathematik von Atomschalen und damit die Molekülbindungen, wenn es Atomkerne trifft.

    EIGENWERTABHÄNGIGE REFLEKTION
    Warum haben normale Kristalle unseres Universums (in Abhängigkeit von den Polarisations-Eigenwerten einfallenden Lichts) einen (unterschiedlich) kleinen Reflektions-Koeffizienten, der z.B. für Richard P. Feynman keinen Sinn ergab, so dass er eine ziemlich verrückte Quantenelektrodynamik-Mathematik erfinden musste, um diesen Reflektions-Unfug erklären zu können?
    Die kabarettistische Antwort von Vince Ebert könnte interessant sein, der sich mit Quantum Optics und Laser Beam Propagation und Baker–Campbell–Hausdorff und unitären Operatoren der Dirac-Schreibweise auseinandersetzen müsste, … und seine geistige Gesundheit nur bewahrt, wenn er numerische Software die Gleichungen lösen lässt.

    Wie springt der RASENDE FALKE aus dem Hangar eines Raumschiffs in einen HYPERBOLISCHEN RAUM?
    Auf jeden Fall anders als ein Jumper der BATTLESTAR GALACTICA, der erheblichen Schaden an der Außenwand der GALACTICA erzeugte, als dieser direkt nach Verlassen des Landehangars, der eingezogen wurde, um den Jumper an der Flucht zu hindern, notgedrungen knapp neben der Hülle der GALACTICA in den hyperbolischen Raum sprang.

    Warum sprang der RASENDE FALKE 1977 nicht aus dem Hangar des Todessterns in den HYPERBOLISCHEN RAUM?
    Weil Game Designer Drehbücher mitgestalten.
    Im Zeitalter der Adventures und Dungeon&Dragons-Brettspiele, die aus Gründen wochenlang beschäftigten sollten, musste in ein überwachtes Inneres zeitaufwändig eingedrungen werden.
    In modernen Computer- oder Konsolen-Spielen soll schnell konsumiert werden, um zum Kauf des nächsten Konsolenspiels zu verführen. Also wird Lichtgeschwindigkeitsstottern eingeführt, um eine sehr lange Verfolgungsjagd, die vor langer Zeit mechanisch ausgewürfelt wurde, in eine sehr kurze umzuwandeln.

    Warum wurden keine Kyber-Christalle auf der Erde gefunden?
    Vor 500.000 Jahren wurden alle Kyber-Christalle von Prospektoren eingesammelt und auf einem Markt in einer weit entfernten Galaxis verkauft.