Theorema Magnum MCMLVIII: der Satz von Grothendieck–Riemann–Roch

In der Funktionentheorie interessiert man sich für die Bestimmung von Funktionen mit vorgegebenen Pol- und Nullstellen. Gegeben eine Menge von Punkten x mit zugeordneten ganzzahligen d_x (einen „Divisor“ D) auf einer Riemannschen Fläche möchte man die Dimension l(D) des C-Vektorraums L(D) aller derjenigen meromorphen Funktionen, die in den Punkten mit höchstens eine Polstelle der Ordnung d_x und in den Punkten mit mindestens eine Nullstelle der Ordnung -d_x haben, bestimmen.

Auf der komplexen Ebene C gibt es nach dem Weierstraßschen Produktsatz immer Funktionen mit vorgegebenen Null- und Polstellen. Auf Riemannschen Flächen komplizierterer Topologie ist das nicht immer der Fall, l(D) kann also auch Null sein.

Der aus der Mitte des 19. Jahrhunderts stammende Satz von Riemann-Roch besagt, dass für einen Divisor D auf einer komplexen Kurve vom Geschlecht g die Gleichung mit gilt. Dabei ist K ein „kanonischer Divisor“, das ist der durch Null- und Polstellen einer (beliebigen) meromorphen 1-Form auf der Riemannschen Fläche gegebene Divisor. (Die Divisoren zu unterschiedlichen 1-Formen sind äquivalent in dem Sinne, dass ihre Differenz der Divisor einer meromorphen Funktion ist. Die Formel stimmt für jeden von ihnen.) Die Addition und Subtraktion der Divisoren ist durch punktweise Addition und Subtraktion der d_x definiert.

Insbesondere ist . Man erhält also eine topologische Abschätzung für eine analytische Größe und kann aus der Topologie die Existenz meromorpher Funktionen mit gewissen Eigenschaften herleiten. Umgekehrt kann man manchmal algebraische Relationen zwischen meromorphen Funktionen beweisen.

Man berechnet mit dieser Formel etwa die Dimensionen gewisser Räume von Modulformen. Teichmüller berechnete mit dem Satz von Riemann-Roch die Dimension des Raums quadratischer Differentiale und damit die Dimension des Riemannschen Modulraums. Eine andere klassische Anwendung ist der Beweis, dass es auf der Sphäre nur eine komplexe Struktur gibt. Man kann nämlich auf der Sphäre den aus dem Punkt im Unendlichen x mit Koeffizient d_x=1 bestehenden Divisor D betrachten und mit dem Satz von Riemann-Roch l(D)=2 berechnen. Weil nach dem Satz von Liouville jede holomorphe Funktion konstant ist, muß es dann noch eine meromorphe Funktion mit einer Polstelle der Ordnung 1 geben, und diese liefert eine biholomorphe Abbildung nach P¹C.

Eine Verallgemeinerung des Satzes von Riemann-Roch auf Kurven über beliebigen (vollkommenen) Körpern bewies 1931 F. K. Schmidt. (Daraus folgte die Rationalität der Zetafunktion des Funktionenkörpers.)

Wie kann man den Satz von Riemann-Roch auf höhere Dimensionen verallgemeinern? Für komplexe Flächen und Familien von Kurven (oder allgemeiner lineare Systeme von Divisoren) auf ihnen gab es bald verschiedene Fassungen des Satzes von Riemann-Roch. Nach frühen Versionen von Max Noether galt eine Ende des 19. Jahrhunderts von Castelnuovo bewiesene Ungleichung als die ultimative Version.
Für diese wie auch für andere damalige Formulierungen benötigte man eine Reihe geometrischer Invarianten. Ein typisches Beispiel ist die Ungleichung (eine Variante der Gleichungen von Noether, Enriques und Castelnuovo), wo die Dimension eines vollständigen linearen Systems (das ist die Anzahl der Parameter einer gewissen Kurvenfamilie), den virtuellen Grad, das virtuelle Geschlecht, das arithmetische Geschlecht und den Spezialitätsindex bezeichnet. In heutiger Sprache drückt man diese fünf Invarianten kohomologisch aus als .
Vor allem Hodge propagierte in den 50er Jahren die Idee, dass die Chern-Klassen eine solide Grundlegung für die verwirrende Plethora algebraisch-geometrischer Invarianten in der algebraischen Geometrie geben sollten.

Jean-Pierre Serre hatte als Konsequenz aus seinem Dualitätssatz die linke Seite l(D)-l(K-D) des Riemann-Roch-Theorems kohomologisch als , also als Euler-Charakteristik χ(S,D) interpretiert. Damit konnte man das klassische Riemann-Roch-Theorem über Divisoren auf komplexen Kurven als ein Theorem über Garbenkohomologie formulieren, genauer als Formel für die Euler-Charakteristik der Kohomologie mit Koeffizienten in der Garbe . Damit hatte man jetzt einen Ansatz, wie eine höher-dimensionale Verallgemeinerung des Riemann-Roch-Theorems aussehen sollte. Tatsächlich bewies Kodaira mit Hilfe charakteristischer Klassen eine solche Verallgemeinerung in komplexen Dimensionen 2 und 3. (In diesem Zusammenhang bewies er auch, teils gemeinsam mit Spencer, mehrere von Severi vermutete Identitäten. Die beiden hatten ein gemeinsames Langzeitprojekt, die Deformationen komplexer Strukturen kohomologisch zu beschreiben, analog zur von Teichmüller beschriebenen Deformation komplexer Strukturen auf Kurven durch quadratische Differentiale.)

In einem Brief an Borel hatte Serre vermutet, dass für jeden Divisor D die Dimensionen der Kohomologiegruppen endlich sind und oberhalb der Dimension der Mannigfaltigkeit verschwinden, damit also die Euler-Charakteristik definiert ist, und dass χ(M,D) nur von der Kohomologieklasse x des Divisors abhängt und sich aus x und den charakteristischen Klassen von M durch ein Polynom vom Grad 2n berechnen läßt, das nur von und nicht von M und D abhängt.

Später hatte Serre vorgeschlagen, nicht nur Linienbündel (als Ersatz für Divisoren), sondern auch mehrdimensionale Vektorbündel zu betrachten um zu allgemeineren Theoremen zu kommen. Für ein allgemeines Vektorbündel E über einer Mannigfaltigkeit M kann man die Charakteristik χ(M, E) definieren durch . Zuvor hatte Hodge die Signatur als Euler-Charakteristik eines gewissen Bündels charakterisiert, womit Hirzebruchs Signatursatz also ein spezieller Satz über die Euler-Charakteristik eines Bündels wurde. Das war ein wichtiges Teilresultat für die Suche nach den richtigen Polynomen in charakteristischen Klassen, durch die sich χ(M,E) berechnen lassen sollte. Schon beim Beweis des Signatursatzes hatte Hirzebruch mit Hilfe kombinatorischer Manipulationen festgestellt, dass die gesuchten Polynome durch die bekannten Beispiele und ihr formales Verhalten eindeutig bestimmt waren, und er konnte sie auch angeben. Auf diese Weise hatte er die genaue Formulierung des Signatursatzes gefunden, deren Beweis dann aus Thoms Berechnung des Kobordismusrings folgte.

John Todd hatte 1937 herausgefunden, dass sich das arithmetische Geschlecht aus gewissen Klassen algebraischer Zykel berechnen läßt. (Sein Beweis beruhte allerdings auf einem unbewiesenen Lemma Severis.) Er war an einer expliziten Berechnung seiner Invariante gescheitert. Nachdem dann in den 40er Jahren Chern-Klassen definiert wurden, hatte ein Doktorand aus Kyoto, Shigeo Nagano, die Todd-Klassen T_n als Polynome in den Chern-Klassen c_i ausdrücken können. Man hatte zum Beispiel . Allgemein konnte man die für Geradenbündel als Koeffizienten der Potenzreihe mit bekommen und sie für höherdimensionale Bündel dann mit dem Spaltungsprinzip berechnen. Hirzebruch entwickelte nun einen Formalismus “multiplikativer Sequenzen” und bewies damit, dass für Bündel über komplex n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten χ aus T_n berechnet werden kann: . Insbesondere, was keineswegs offensichtlich ist, ist das auf der rechten Seite stehende “Todd-Geschlecht” td(X) ganzzahlig und eine birationale Invariante algebraischer Varietäten.

Der Beweis dieser als Satz von Hirezebruch-Riemann-Roch bekannten Formel sah im Nachhinein sehr natürlich aus. Er hatte aber nur deshalb zum Ziel kommen können, weil er über die neuesten Informationen verfügte und sie sofort einsetzte. Grundlegendes technisches Hilfsmittel war die Garbentheorie einschließlich der Garbenkohomologie, die in den letzten Jahren einen Neuaufbau der komplexen Analysis und algebraischen Geometrie ermöglicht hatte. Um den Satz überhaupt nur formulieren zu können, benötigte man die von Cartan und Serre bewiesenen Endlichkeitssätze für Kohomologiegruppen, die erst im gleichen Jahr veröffentlicht worden waren. Hodges Verbindung zwischen Euler-Charakteristik und Signatur war auch erst zwei Jahre zuvor publiziert. Die Kobordismustheorie, die den ersten Beweis ermöglichte, war brandaktuell, ebenso Kodairas Resultat dass gewisse von Hodge betrachtete Mannigfaltigkeiten algebraisch sind. Selbst die recht naheliegende Äquivalenz der Begriffe Geradenbündel und Divisor war neu.
Der Beweis war nur möglich, weil alle auf diesem Gebiet wichtigen Mathematiker zumindest zeitweise in Princeton waren und dort intensiv zusammenarbeiteten. Auch wenn es durchaus Konkurrenz gab, hielt niemand Ergebnisse zurück, um als Erster ans Ziel zu kommen. Eigentlich bestand Hirzebruchs wichtigste Leistung im Zusammenfügen dieser aus unterschiedlichen mathematischen Kulturen stammenden Ansätze.

Mit Borel, der in seiner Dissertation einige Jahre zuvor die Kohomologie kompakter Gruppen berechnet hatte, wandte Hirzebruch seinen Satz an, um die charakteristischen Klassen homogener Räume zu bestimmen. Die Anwendung auf Fahnenmannigfaltigkeiten G/T lieferte beispielsweise die auf Hermann Weyl zurückgehende Formel für den Grad irreduzibler Darstellungen von G. Eine andere Anwendung war sein Proportionalitätsprinzip: wenn für zwei algebraische Mannigfaltigkeiten die Chern-Zahlen proportional sind, dann gilt das auch für die anderen charakteristischen Klassen, und die Mannigfaltigkeiten repräsentieren proportionale Elemente im Kobordismusring. Und analog zu den Anwendungen des klassischen Satzes von Riemann-Roch konnte Hirzebruch die Dimensionen der Räume automorpher Formen für kokompakte, diskrete Gruppen von Isometrien beschränkter symmetrischer Gebiete im Cⁿ bestimmen. (Die Dimension läßt sich nämlich berechnen als Produkt der Euler-Charakteristik des zugehörigen Bündels mit dem arithmetischen Geschlecht des Quotientenraums.)

Mancher sah in diesem Resultat einen Abschluß der algebraischen Geometrie. Severi sagte, er der sein ganzes Leben der algebraischen Geometrie gewidmet habe, fühle sich jetzt schon im Paradies.

Grothendiecks Ziel war es dann, ein algebraisches Riemann-Roch-Theorem zu beweisen, also für Varietäten über beliebigen Körpern. Das lag nahe, denn manche der Teilresultate von Kodaira und Spencer ließen sich in die algebraische Situation übertragen. Für eine Verallgemeinerung des Satzes von Hirzebruch-Riemann-Roch wären aber zunächst die charakteristische Klassen für Varietäten allgemein zu definieren. In einem Brief an Serre meinte Grothendieck, er sehe nicht, warum man nicht mittels universeller Bündel zu charakteristischen Klassen kommen sollte, die in einem algebraischen Riemann-Roch-Theorem dieselbe Rolle spielen sollten wie im komplexen. Serres Antwort: “Nein, man soll nicht die charakteristischen Klassen als Elemente in der Kohomologie kohärenter Garben zu definieren versuchen. Das sind Vektorräume über der Basis, aber man will Schnitte mit ganzzahligen Koeffizienten definieren können. Übrigens kennt man schon die “letzte” charakteristische Klasse und es ist die Klasse eines Divisors bis auf lineare Äquivalenz. Es ist absolut sicher, dass man die anderen als Äquivalenzklassen algebraischer Zykel modulo numerischer Äquivalenz definieren kann. Und das sollte sogar nicht schwer sein. Die Seiten der Riemann-Roch-Formel sind ganze Zahlen, selbst in Charakteristik p.”
Ein Jahr lang hörte Serre nichts von Grothendieck, dann kam dessen nächster Brief: “Lieber Jean-Pierre, hier ein sehr einfacher Beweis des Riemann-Roch-Theorems in beliebiger Charakteristik. Fast alles aus meinem vorherigen Bericht wird überflüssig. Der neue Beweis scheint aber weniger in die Tiefe zu gehen.”

Die Formulierung des Resultats benutzte zu einer Varietät X die von der Halbgruppe der beschränkten Komplexe kohärenter Garben erzeugte Gruppe K(X) und die Gruppe A(X) der Zykel modulo rationaler Äquivalenz. Die Rolle der Chern-Klassen übernahm ein als Chern-Charakter bezeichneter Morphismus ch:K(X)—>A(X). Die Aussage des Satzes war dann ein kommutatives Diagramm, nämlich dass für jeden Morphismus f:X—>Y und einen beschränkten Komplex von Garben über X die Gleichung  gilt. Für Vektorbündel über Kurven berechnet man , was für Divisoren (Linienbündel, also n=1) die kohomologische Version des klassischen Riemann-Roch-Theorems liefert. Das war nicht nur die gesuchte Verallgemeinerung des Satzes von Riemann-Roch für Varietäten über anderen Körpern als den komplexen Zahlen. Es war vor allem auch ein sehr viel stärkerer Satz als die von Hirzebruch bewiesene Formel und er hatte einen sehr viel einfacheren Beweis. Für Abbildungen des projektiven Raumes auf den Punkt handelt es sich einfach um das Analog zu Hirzebruchs Formel im speziellen Fall projektiver Räume. Aus allgemeinen Eigenschaften von K-Gruppe und Zykelgruppe kann man dann den Fall von Projektionen PⁿxX—>X herleiten. (Die K-Gruppe von Pⁿ ist von den Potenzen des Linienbündels O(1) erzeugt, das folgt aus Hilberts Syzygiensatz.) Auch für Immersionen kann man die Behauptung leicht beweisen. Aus diesen drei Ergebnissen konnte Grothendieck dann aber schon den allgemeinen Fall herleiten, denn jeder Morphismus  X–>Y faktorisiert in eine Immersion X–>PⁿxY und eine Projektion PⁿxY–>Y. Der Beweis des Satzes für Morphismen war also sehr viel einfacher als der ursprüngliche für Varietäten X (der dem Spezialfall von Morphismen X—>Punkt entspricht). Alle Garben und alle Morphismen gleichzeitig zu behandeln – statt nur Vektorbündel auf einer gegebenen Varietät – hatte es durch Arbeiten mit Hintereinanderausführungen, Produkten und Aufblasungen ermöglicht, das Resultat für einen allgemeinen Morphismus auf die zwei Spezialfälle von Projektionen und Immersionen zu reduzieren. Dieser einfache Beweis war eine überzeugende Bestätigung für Grothendiecks Philosophie, statt mathematischer Objekte die Morphismen zwischen ihnen zu untersuchen.
Der scheinbare Abschluß der algebraischen Geometrie war nur der Anfang einer neuen Entwicklung gewesen. Varietäten und allgemeiner Schemata betrachtete man von nun ab relativ, also als Morphismen zu einem Basisschema.

Grothendieck stellte seinen Beweis erstmals 1957 auf der ersten Arbeitstagung in Bonn vor, in vier Tagen eine Reihe von insgesamt zwölf Vorträgen. Borel und Serre schrieben Grothendiecks Beweis auf und veröffentlichten ihn 1958 im Bulletin de la Société Mathématique de France. Grothendieck selbst war mit seinem Beweis nicht zufrieden, weil er einen Trick benutzte. Seine Philosophie war, dass Mathematik zu einer Abfolge kleiner, natürlicher Schritte reduziert werden sollte. Deshalb veröffentlichte er seinen Beweis auch nicht selbst.

Die von Grothendieck definierten K-Gruppen wurden dann von Atiyah und Hirzebruch in die topologischen Situation übertragen, wo sie spektakuläre Anwendungen hatten.

Bild: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Alexander_Grothendieck.jpg