Andere Topologen hatten zu dieser Zeit schon mit Methoden der Chirurgie gearbeitet. Aber niemand hatte geglaubt, dass man beispielsweise für die Henkelzerlegung einer Homotopiesphäre durch Henkelkürzen alle Henkel eliminieren könne. Dafür kannte man zu gut die Schwierigkeiten in Dimensionen 3 und 4. Smale hatte es versucht und war erfolgreich. Er hatte verstanden, dass die Schwierigkeiten ein niedrig-dimensionales Phänomen waren.

Aus dem h-Kobordismussatz folgt die Poincaré-Vermutung. Sei nämlich M eine einfach zusammenhängende Homologie-n-Sphäre, dann bekommt man durch Ausschneiden zweier n-Kugeln eine Mannigfaltigkeit W, die ein Kobordismus zwischen zwei (n-1)-Sphären ist. Aus π1M=0 folgt π1W=0, und aus H*M=H*Sn folgt H_*S^{n-1}=H*W und dass der Isomorphismus von der Inklusion induziert wird. Man hat also einen h-Kobordismus und erhält aus Smales Resultat, dass W diffeomorph zu Sn-1x[0,1] ist. Damit muß die ursprüngliche Mannigfaltigkeit M jedenfalls homöomorph (wenn auch nicht notwendig diffeomorph) zur Sn sein.

Auch zum Verständnis der verschiedenen Differentialstrukturen auf der Sphäre Sn leistete der h-Kobordismus-Satz einen wichtigen Beitrag. John Milnor, der 1956 achtundzwanzig verschiedene Differentialstrukturen auf der S7 und später beispielsweise mehr als sechzehn Millionen Differentialstrukturen auf der S31 gefunden hatte, hatte mit dem Ziel eines systematischen Zugangs die Gruppe der Homotopiesphären modulo h-Kobordismus – nach dem h-Kobordismussatz waren das genau die exotischen Sphären – mit der zusammenhängenden Summe als Verknüpfung definiert und mit Kervaire in zwei grundlegenden Arbeiten diese Gruppe (zunächst in Dimensionen 4n-1) mit “Chirurgie-Methoden” untersucht. Es stellte sich heraus, dass die Ordnung dieser Gruppe von der stabilen Homotopiegruppe der Sphären πs4n-1 abhängt: der Quotient dieser Gruppe der exotischen Sphären modulo Rändern parallelisierbarer Mannigfaltigkeiten stimmt mit dem Kokern des J-Homomorphismus in πs4n-1 überein oder ist eine Untergruppe vom Index 2. (Letzteres ist genau dann der Fall, wenn es in einer um Eins höheren Dimension Mannigfaltigkeiten mit Kervaire-Invariante 1 gibt.)
Ähnlich konnten Kervaire und Milnor diese Gruppe auch in anderen Dimensionen (bis auf Dimension 3, wo man aber aus einer älteren Arbeit von Moise wußte, dass es keine exotischen Differentialstrukturen gibt) bestimmen. Auch in Dimension 4 konnten sie diese Gruppe der Homotopiesphären modulo h-Kobordismus berechnen, sie ist dort trivial. Weil aber in Dimension 4 der h-Kobordismussatz nicht gilt, konnte man trotz der Trivialität der Gruppe noch nicht auf die Nichtexistenz exotischer Sphären schließen – diese Frage ist bis heute offen.

Smale erzählte später, dass er die Arbeit an seinem Beweis des h-Kobordismussatzes und damit der höher-dimensionalen Poincaré-Vermutung an den Stränden von Rio geleistet habe, wo er die Morgen mit Papier und Stift verbracht hätte. Unabhängige Beweise fanden dann Stallings und in Dimensionen mindestens 7 (statt 5) auch Zeeman, und Smale mußte noch einen Fehler korrigieren. Milnor schrieb später ein (von seinem Studenten Lawrence Siebenmann aufgeschriebenes) Buch über den Beweis, in dem auch alle differentialtopologischen Grundlagen ausführlich dargestellt wurden. Zusammen mit der (unabhängig voneinander) von Mazur und Brown bewiesenen höherdimensionalen Version des Satzes von Schoenflies war die Topologie höher-dimensionaler differenzierbarer Mannigfaltigkeiten damit zu einem gewissen Abschluß gebracht.

Bild: https://www.ias.edu/scholars/stephen-smale

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Kommentare (3)

  1. #1 Wirist Schrecklichschwierig
    16. Januar 2021

    Wegen des 20jährigen Bestehens der Wikipedia, verlinke ich den Artikel h-cobordism, der encyclopediaofmath verlinkt

    Der karge magere deutsche Artikel h-Kobordismus ist nur wegen seiner Versionsgeschichte interessant; er wurde erst am 28. Oktober 2019 um 12:25 Uhr erzeugt!
    Der englische wurde viel früher am 07:13, 26 May 2004 erstellt, allerdings nur mit dem einem Wort cobordims gefüllt. #Habsucht #Wächterskript #Privileg
    1 Jahr später am 02:15, 27 October 2005 wurde der Artikel minimal mit Text gefüllt.
    Im Jahr 2020 erfährt LeserIn, dass h für homotopy equivalence steht.

    Der deutsche Artikel verlinkt intern nicht auf eine Kategorie Schneiden/Kleben Theorie, dagegen verweist der englische auf die Category Surgery Theory

    Die 20jährige Wikipedia bietet jedem neuen User eine Liste nicht existierender Artikel (bis September 2019 z.B. h-Kobordismus) zum Erstellen nicht an, obwohl das der fundamentale Zweck eines kooperativen Mitmach-Vereins ist!
    Vielmehr wird der frisch angemeldete Neuling mit Good Luck lapidar ins Haifisch-Becken geworfen, weil ihm oder ihr ein Formular (Intro, Body, Reference) für das Erstellen eines neuen Artikels nicht zur Verfügung gestellt wird, welches von einem Skript überwacht wird, das Regelverstöße rot markiert und den Artikel solange nicht freigibt, bis alle roten Warnungen für jeden Satz (citation needed, max. internal linking, references, forbidden hyperlinks in Intro and Body, etc.) vom Artikel-Urheber beseitigt wurden.
    Die Artikel-Erstellung muss wegen (urheberrechtlicher) Schadensersatz- und Unterlassungsklagen und Fake-News-Gesetzen und Straf-Gesetzen journalistischen Ansprüchen genügen und ist somit ein Privileg für gebildete Auserwählte, die sich jahrelang hochgearbeitet und das Vertrauen der Wikipedia-Elite erworben haben. Dieses Privileg wird den Auserwählten garantiert, indem jedem nicht auserwählten Neuling das Erstellen eines neuen Artikels oder Bearbeiten eines existierenden 1-Wort-Artikels möglichst schwer gemacht wird z.B. durch wiederholtes Löschen und Kritisieren und schier endloses Diskutieren.

    Der öffentlich-rechtliche Sender Das Erste hat meiner Meinung nach Zensur ausgeübt und in dem Film Wikipedia Das Versprechen jenen Teil ausschneiden lassen, in dem die 2 Frauen, die für Buch und Regie zuständig sind, nach ihren anonymen Wikipedia-Neu-Anmeldungen den spielerisch einfachen WHYSIWYG-Editor ausprobierten, und journalistisch recherchierend feststellten, dass sich seit dem Edit-War wegen der Liste-deutscher-Science-Fiction-Autorinnen nichts positiv verändert hat, und neue Artikel oder erhebliche Änderungen bestehender Artikel von nicht auserwählten Neueinsteigern weiterhin grundsätzlich und schnell gelöscht werden.

    Womit wir wieder bei Thilo sind, der den deutschen Wikipedia-Artikel H-Kobordismus aus vielen und guten Gründen (Edit War, Admin-Diktatur, Gefälligkeits-Willkür, Artikel-Eroberung, Komma-Streits, Klüngel, Relevanz-Streits, Artikel-Habsucht, unbegründete Plagiats-Vorwürfe, usw.) im Jahr 2019 nicht erzeugte!

    Thilo schreibt in seinem Blog auf deutsch über Theoreme, obwohl die englische Wikipedia in der Category List of Theorems alle mathematischen Theoreme enthält und mit einem ArXiv-Link auf ein PDF-Dokument verweist, welches über 200 Theorems of Mathematics auf englisch kostenlos zur Verfügung stellt; obwohl die englische Sprache die Standardsprache der Mathematiker ist z.B. 2022 während des Kongresses in St. Petersburg; obwohl die einzige Chance, in die langen englischen Blogrolls von z.B. Tery Tao oder Peter Cameron ehrenvoll aufgenommen zu werden, ein englischsprachiger Mathe-Blog für Fortgeschrittene ist.

  2. #2 Thilo
    16. Januar 2021

    Zumindest für die Mathematik gibt es Listen fehlender Artikel: https://de.wikipedia.org/wiki/Portal:Mathematik/Fehlende_Artikel

    Ich hatte auch überlegt, einen Artikel zum 20-jährigen Geburtstag der Wikipedia zu schreiben, es aus verschiedenen Gründen aber gelassen. Ich hätte da allerdings andere ScHwerpunkte gesetzt. Einen Artikel zu aktuellen Fehlentwicklungen hatte ich mal vor einem Jahr: https://scienceblogs.de/mathlog/2020/01/26/die-zerstoerung-der-wikipedia/

  3. […] Grothendieck-Riemann-Roch Der Eichler-Shimura-Isomorphismus Der meßbare Riemannsche Abbildungssatz Der h-Kobordismus-Satz Der Satz von Feit-Thompson Der Atiyah-Singer-Indexsatz Auflösung der Singularitäten Das Prinzip […]