Theorema Magnum MCMLXXIII: die LBB-Bedingung

Die Laplace-Gleichung Δu=0 beschreibt das elektrische Potential im ladungsfreien Raum. Um sie auf einem Gebiet eindeutig lösen zu können, muß man die Werte der Lösung auf dem Rand des Gebietes vorgeben, sogenannte Randbedingungen. Dasselbe gilt auch für die Poisson-Gleichung Δu=f zu einer auf dem Inneren des Gebiets gegebenen Funktion f, der Ladungsdichte. Die Laplace- und Poisson-Gleichung erscheinen in zahlreichen weiteren Gebieten der Physik, von Wärmeleitung bis Fluiddynamik.
In der Mathematik kam die Laplace-Gleichung beim Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes vor. Für den benötigt man auf der Kreisscheibe D² Lösungen des Dirichlet-Problems Δu=0 mit vorgegebenen Randbedingungen u=g:S¹—>R. Riemann beobachtete, dass die Lösungen der Gleichung Δu=0 gerade die Minima des Funktionals sind.(Er folgerte daraus vorschnell, dass es eine Lösung gäbe, weil das Funktional nur positive Werte annimmt und es also ein Infimum geben muss. Weierstrass zeigte an Beispielen anderer Funktionale, dass ein solches Argument nicht immer funktioniert. Für dieses spezielle Funktional bewies Hilbert aber 1900, dass eine Folge von Funktionen, für die das der minimal mögliche Wert des Funktionals beliebig gut approximiert wird, gegen einen Grenzwert konvergiert, der die erforderlichen Differenzierbarkeitsbedingungen erfüllt und also das Funktional minimiert – in heutiger Sprache ein Kompaktheitssatz.)

Walter Ritz entwickelte 1908 einen Ansatz, um die gesuchten Minima des Funktionals als Linearkombinationen gewisser „Testfunktionen“ ψ_i(x,y) zu bestimmen. Für die Testfunktionen kann man zum Beispiel Polynome oder trigonometrische Polynome wählen. Ritz wählte für die von ihm betrachtete Differentialgleichung der elastischen Platte gewisse zuvor von Rayleigh und sogar schon Euler verwendete Kombinationen aus trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen, und zeigte das dann die als endliche Linearkombinationen berechneten Approximationen gegen eine Lösung konvergieren. Auch das Dirichlet-Problem ging er mit diesem Ansatz an, wobei er dort für die ψ_i(x,y) gewisse Polynome wählte.
In Westeuropa stießen diese praktischen Arbeiten damals auf wenig Interesse. Das Ritz-Verfahren wurde aber von russischen Ingenieuren auf schwere Probleme angewandt und nach Arbeiten von Timoschenko, Bubnow und vor allem Boris Galerkin unter dem Namen Galerkin-Methode populär.

Seit der Entwicklung der Sobolew-Theorie sucht man nach schwachen Lösungen in einem Sobolew-Raum, d.h. man multipliziert das Randwertproblem mit Testfunktionen und sucht dann nach Lösungen. Abstrakt formuliert: für stetige Funktionale l_V und l_W auf Hilbert-Räumen V und W sowie Bilinearformen a auf VxV und b auf VxW sucht man nach Lösungen (u,p) der Gleichungen . (Mit dem Sobolewschen Einbettungssatz zeigt man dann, dass die schwachen Lösungen richtige Lösungen sind.) Viele Randwertprobleme lassen sich in dieser Art formulieren. Sogenannte Finite-Elemente-Methoden, in denen schwache Lösungen einer Differentialgleichung in einem durch geeignete Diskretisierungen gegebenen endlich-dimensionalen Funktionenraum gesucht werden, wurden in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts zu einem weitverbreiteten Ansatz in der numerischen Behandlung partieller Differentialgleichungen.

Ein grundlegender (und aus heutiger Sicht recht elementarer) Satz der Funktionalanalysis ist der Rieszsche Darstellungssatz, demzufolge auf einem Hilbertraum jedes stetige Funktional durch das Skalarprodukt mit einem Element des Hilbertraums realisierbar ist. (Frigyes Riesz hatte das auf den Hilbertraum L² angewandt und dann weiter verallgemeinert: er bewies, dass L^q das Dual zu L^p ist für 1/p+1/q=1, und schließlich 1909, dass jedes Funktional auf dem Raum der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger darstellbar ist durch Integration über ein geeignetes Maß.)
Die Verallgemeinerung des Rieszschen Darstellungssatzes auf Sesquilinearformen ist das 1954 bewiesene Lemma von Lax-Milgram: sei B eine stetige Sesquilinearform auf dem Hilbertraum (d.h. linear in einem, konjugiert-linear im anderen Argument), dann gibt es einen stetigen, linearen Operator T mit für alle x,y. Wenn B koerzitiv ist (d.h. stark positiv: es gibt ein positives M mit ), dann ist T invertierbar mit . Damit läßt sich häufig die Existenz und Eindeutigkeit schwacher Lösungen von elliptischen Randwertproblemen beweisen. Mit dem Lemma von Céa bekommt man dort auch Fehlerabschätzungen für die Finite-Elemente-Näherungslösungen.
Eine allgemeinere Version wurde Anfang der 70er Jahre von Ivo Babuška bewiesen. Hier seien U und V zwei Hilberträume und B:UxV—>R eine stetige Bilinearform, die schwach koerzitiv sein soll: es existiere eine positive Konstante c, so dass und gilt. Dann existiert genau ein stetiger, linearer Operator T:U—>V, der die Gleichung für alle erfüllt und für die Operatornorm gilt die Ungleichung .

Für die Lösung eines Randwertproblems muss man nicht nur ein Funktional J(u) minimieren, sondern noch eine Nebenbedingung b(u,m)=0 berücksichtigen. Mit der Lagrange-Methode muß man also ein Funktional L(v,m) minimieren und bekommt dann durch Ableiten von L die Gleichungen a(u,v)+b(v,λ)=f(v) für alle v und b(u,m)=0 für alle m, ein sogenanntes Sattelpunktproblem.

Während bei elliptischen Problemen wie der Poisson-Gleichung die meisten Finite-Elemente-Approximationen gegen die wahre Lösung konvergieren, sind bei hyperbolischen Problemen viele Diskretisierungen instabil, was zu Artefakten wie Störschwingungen führt.
Babuška benutze seine allgemeine Version des Lemma von Lax-Milgram, um eine inf-sup-Bedingung für die Lösbarkeit des Sattelpunktproblems anzugeben: wenn es ein positives β gibt, so dass gilt, dann hat das Sattelpunktproblem eine eindeutige Lösung, die stetig von den Daten abhängt. Diese Bedingung wurde unabhängig auch von Ladyzhenskaya und Brezzi gefunden, weshalb sie heute LBB-Bedingung heißt.
Die LBB-Bedingung gibt also Kriterien an, wann eine Diskretisierung eines Sattelpunktproblems stabil ist. Die Bedingung spielt eine grundlegende Rolle in der Formulierung von stabilen numerischen Diskretisierungen von den inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen über die stationäre Stokes-Gleichung bis hin zum Darcy-Gesetz für Strömungen in Sedimentgestein.

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