Vor allem aber würde die Geometrisierungsvermutung bedeuten, dass man 3-Mannigfaltigkeit-Topologie im Wesentlichen auf hyperbolische Geometrie reduzieren könnte. Einerseits wären entsprechend der Vermutung (nach Zerlegung als zusammenhängende Summe und Aufschneiden entlang Tori) alle hinreichend komplizierten 3-Mannigfaltigkeiten hyperbolisch, andererseits ist (für Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens) die hyperbolische Metrik eindeutig nach dem Mostowschen Starrheitssatz. Man kann dann also alle topologischen Eigenschaften einer solchen Mannigfaltigkeit aus ihrer hyperbolischen Geometrie ablesen.


Die Gruppe orientierungs-erhaltender Isometrien der hyperbolischen Ebene ist PSL(2,R), für den hyperbolischen Raum ist es PSL(2,C). Uniformisierung gibt für die Fundamentalgruppe einer Fläche zahlreiche Darstellungen nach PSL(2,R). Analog entsprechen die hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten H3/Γ den diskreten Untergruppen Γ von PSL(2,C), den sogenannten Kleinschen Gruppen. Kleinsche Gruppen waren in den 60er Jahren ein aktives Forschungsthema etwa in den Arbeiten von Ahlfors, Bers und Maskit, allerdings ging es dort meist um Gruppen, für die die Limesmenge wie im Bild oben nicht die gesamte Sphäre ist und für die dann H3/Γ unendliches Volumen hat. Endliches Volumen hat eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit nur, wenn sie kompakt ist oder wenn der Rand ihrer Kompaktifizierung aus inkompressiblen Tori besteht. In diesem Fall ist die Limesmenge dann die gesamte Sphäre.

Robert Riley beschäftigte sich in den 70er Jahren mit Darstellungen von Knotengruppen in PSL(2,C). Für die Gruppe des Achterknotens fand er 1974 eine treue Darstellung mit diskretem Bild, damit also eine hyperbolische Struktur auf dem Achterknotenkomplement. Er zeigte dann, dass sein Ansatz auch für andere Knoten funktioniert. Seine Arbeit war eines der ersten Beispiele für extensiven Computereinsatz in der reinen Mathematik – zu einer Zeit, als Computer noch mit Lochkarten arbeiteten.
Thurston hörte von dieser Entdeckung erst 1976, als er bereits seit einem Jahr an der Hyperbolisierung von Haken-Mannigfaltigkeiten (irreduziblen, atoroidalen 3-Mannigfaltigkeiten mit inkompressiblen Flächen) arbeitete. (Dazu zählen Knotenkomplemente, weil die in den Knoten eingespannte Seifert-Fläche inkompressibel ist, und allgemeiner überhaupt alle 3-Mannigfaltigkeiten mit nicht-sphärischem Rand.)
Das Achterknotenbündel ist ein Flächenbündel über dem Kreis, die Faser ist ein punktierter Torus, und die Monodromie die aus der Theorie dynamischer Systeme bekannte Anosovsche Katzenabbildung. Wenn ein solches Flächenbündel hyperbolisch ist, muß die Limesmenge der Fundamentalgruppe der Faser mit der gesamten Limesmenge der hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit, also mit der gesamten Sphäre im Unendlichen übereinstimmen müßte, woraus man – wie er später mit Cannon auch formal bewies – eine surjektive, stetige Abbildung S1—>S2 bekommen würde, also eine Peano-Kurve mit sehr ungewöhnlichen Symmetrien. Das sah zunächst ziemlich unwahrscheinlich aus, aber es gab diese hyperbolische Struktur auf dem Achterknoten nun einmal und die Korrektheit von Rileys Konstruktion war leicht zu überprüfen. Thurston erfuhr später, dass auch Troels Jørgensen in einer unveröffentlichten Arbeit eben diese Faserung zur Konstruktion einer hyperbolischen Metrik auf dem Achterknotenkomplement verwendet hatte. Thurston fand dann noch eine dritte Konstruktion: er zeigte, dass sich das Achterknotenkomplement in zwei ideale Tetraeder zerlegen läßt, die man sich als ideale Tetraeder im hyperbolischen Raum denken kann, so dass die Verklebeabbildungen sich als hyperbolische Isometrien realisieren lassen. Dieser Beweis war zunächst natürlich komplizierter als die von Riley gefundenen expliziten Matrizen, aber er hatte bessere Chancen, sich zu einem allgemeinen Algorithmus zur Bestimmung hyperbolischer Strukturen auf (ideal triangulierten) 3-Manngfaltigkeiten ausbauen zu lassen.

Als allgemeinere Klasse geschlossener 3-Mannigfaltigkeiten betrachtete Thurston dann die geschlossenen 3-Mannigfaltigkeiten, die man durch Chirurgie am Achterknoten erhält, also durch Ankleben eines Volltorus an den Torusrand des Knotenkomplements. Für das Ankleben hat man soviele Möglichkeiten, wie es Diffeomorphismen des Torus gibt, also bis auf Homotopie gerade die Matrizen aus SL(2,Z). Er bewies, dass die so erhaltenen Mannigfaltigkeiten einerseits fast alle hyperbolisch (und die zehn Ausnahmen ebenfalls geometrisierbar) sind, andererseits aber fast alle (bis auf acht) keine inkompressiblen Flächen enthalten, also keine Haken-Mannigfaltigkeit sind. Insbesondere war das ein überzeugendes Gegenbeispiel zu der unter niedrigdimensionalen Topologen kursierenden Frage, ob jede 3-Mannigfaltigkeit entweder eine Seifert-Faserung oder eine Haken-Mannigfaltigkeit ist.
Sein Beweis, dass fast alle durch Chirurgie konstruierten geschlossenen Mannigfaltigkeiten hyperbolisch sind, funktionierte auch für alle anderen Komplemente von Knoten und Verschlingungen, wenn man davon ausgeht, dass das Komplement bereits hyperbolisch ist – was aber gemäß seiner Vermutung für alle Knotenkomplemente mit Ausnahme von Torusknoten und Satellitenknoten der Fall sein sollte. Der Beweis verwendet, dass die komplexe Dimension der Charaktervarietät einer Verschlingung die Anzahl der Komponenten der Verschlingung ist. (Im Fall eines Knotens also 1.) Parametrisiert wird sie durch die Spuren der Bilder der Meridiane und diese Parametrisierung ist holomorph, insbesondere wird eine offene Menge von Parametern angenommen. Für die vollständige hyperbolische Metrik auf dem Knotenkomplement sind die Monodromien der Meridiane eine parabolische Isometrie der Spur 2. Hingegen entsprechen hyperbolische Metriken auf der durch Chirurgie erhaltenen Mannigfaltigkeit unvollständigen hyperbolischen Metriken auf dem Knotenkomplement, bei denen die Monodromie der Meridiane eine elliptische Isometrie ist, deren Spur für große p,q gegen 2 geht. Nach Mostows Starrheitssatz gibt es nur eine vollständige hyperbolische Metrik auf dem Knotenkomplement. Es gibt also genau eine Darstellung mit Parameter (2,2,…,2), woraus sich mit der Holomorphie der Parametrisierung herleiten läßt, dass alle nahegelegenen Spur-Parameter genau einmal realisiert werden müssen. Insbesondere gibt es für hinreichend große p,q Parameter, welche die q/p-Dehn-Chirurgie realisieren.

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Kommentare (9)

  1. #1 Fluffy
    13. Mai 2021

    Faszinierend!

  2. #2 Wilhelm Leonhard Schuster
    Ansbach
    14. Mai 2021

    Ob des Buale noch die Mathe Kurve erklimmt und bei dieser bleibt?
    Es wäre zu wünschen!

  3. #3 Frank Wappler
    18. Mai 2021

    Thilo schrieb (13. Mai 2021):
    > Eine (komplexe) ebene Kurve

    … gemeint sind hier offenbar bestimmte Teilmengen der Menge \mathbb C^2

    > kann man auf zwei Arten beschreiben: implizit durch eine Gleichung [ F[ \, x, y \, ] = 0 ]

    … mit F als Symbol einer bestimmten geeigneten “zweistelligen” algebraischen Operation, die für komplexe Argumente definiert ist …

    > oder explizit als Bild einer parametrisierten Kurve [ c : \mathbb C \rightarrow \mathbb C^2 ]

    … gemeint sind stattdessen wohl Bilder von Wegen in der o.g. Zielmenge;
    etwa c : [a,b] \subset \mathbb R \rightarrow \mathbb C^2 .

    Eine dritte, noch explizitere Art der Beschreibung von Kurven besteht offenbar in der Angabe der betreffenden Menge selbst;
    z.B. die (im obigen Sinne) “(komplexe) ebene Kurve” \mathbb R \times 0.

    p.s.
    ScienceBlogs-Kommentar-HTML-Test:

    “c:C–>C<sup>2</sup>” wird dargestellt als: “c:C–>C2”.

  4. #4 Thilo
    18. Mai 2021

    Ein Weg wäre eben eine Abbildung von R nach C^2. Hier sind aber komplexe Kurven gemeint, Abbildungen von C nach C^2, also reelle Flächen. Die Uniformisierung komplexer Kurven ist äquivalent zur Geometrisierung von Flächen.

  5. #5 Frank Wappler
    18. Mai 2021

    Thilo schrieb (#4, 18. Mai 2021):
    > Ein Weg wäre eben eine Abbildung von R nach C^2.

    So weit, so übereinstimmend mit meinem Verständnis und dem entsprechend oben ausgewählten Wikipedia-Link.

    > Hier sind aber komplexe Kurven gemeint, Abbildungen von C nach C^2 […]

    Derartige Abbildungen (oder doch eher: deren Bilder (?)) als “Kurve” (oder ggf. wenigstens als “curve”) anzusprechen, ist mir völlig fremd.

    (Und für mich natürlich auch bedauerlich, insofern dadurch meinem o.g. Verständnis widersprochen wird und ich mich eines ansonsten gern genutzten Wortes zur Benennung bestimmter topologischer Räume beraubt sehe.)

    Könntest Du diese Verwendung des Wortes “Kurve” (oder ggf. “curve”) in Wikipedia bitte verlinken ?

    Oder ansonsten: überhaupt erst eintragen ? …

  6. #6 Thilo
    18. Mai 2021

    https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_curve#Complex_curves_and_real_surfaces

    “Plane algebraic curves” sind ein klassisches Feld der Mathematik, eine Einführung wäre z.B. https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/curves-2018/curves-2018.pdf . Algebraische Geometer betrachten sie oft über beliebigen Körpern, aber der klassische im 19. Jahrhundert betrachtete Fall ist der von komplexen Kurven (heute als Riemannsche Flächen bezeichnet, wobei man da heute die komplexen Kurven abstrakt und nicht als Untermannigfaltigkeiten des C^2 betrachtet).

  7. #7 Frank Wappler
    19. Mai 2021

    Thilo schrieb (18. Mai 2021):
    > https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_curve#Complex_curves_and_real_surfaces […]

    Danke für die umgehenden Bemühungen, aber:
    die dort beschriebenen “algebraischen Kurven” werden offenbar in erster Linie als Nullstellen-Lösungsmengen von Polynomen beschrieben (entsprechend der ersten “Art, eine Kurve zu beschreiben”, die im obigen Scienceblogs-Artikel genannt ist);
    und gerade nicht im Zusammenhang mit “Abbildungen von C nach C^2″, die Du erwähnt hattest und weshalb ich danach gefragt hatte.

    Immerhin muss ich zugestehen:

    – eine Parametrisierung bzw. Parameterdarstellung (wie sie z.B. in der zweiten genannten Art eine Rolle spielt) ist und meint nicht unbedingt eine monotone Parametrisierung, und

    – das Wort “Kurve” wird nicht ausschließlich nur für solche Mengen benutzt, die Bildmenge (von mindestens) einer bestimmten kontinuierlichen und (zumindest abschnittsweise) monotonen Parametrisierung sind.

    Die im obigen Scienceblogs-Artikel (im Zusammenhang mit der zweiten “Art, eine Kurve zu beschreiben”) genannte “parametrisierte Kurve c : C -> C^2″ ist insofern in doppelter Weise abweichend von der Vorstellung, in der ich bislang befangen war.

  8. #8 Thilo
    19. Mai 2021

    Sicher, algebraische Kurven sind zunächst Nullstellenmengen von Polynomen. Bei der Uniformisierung geht es dann um (nicht notwendige injektive) Abbildungen von C auf die Kurve, die zu finden eben nicht so einfach ist.

  9. #9 Theorema Magnum – Mathlog
    21. Oktober 2021

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