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Theorema Magnum MCMLXXVIII: Thurstons Satz über hyperbolische Dehn-Chirurgie

Von / 13. Mai 2021 / 9 Kommentare / Seite 3 von 3 / Auf einer Seite lesen
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Nach einem 1961 von Lickorish bewiesenen Satz lassen sich alle 3-Mannigfaltigkeiten durch Dehn-Chirurgien an Verschlingungen in der 3-Sphäre realisieren. Mit seinem Satz über die Hyperbolizität fast aller Dehn-Chirurgien hatte Thurston also eine starke Evidenz für die Richtigkeit der Geometrisierungsvermutung. In den folgenden Jahren erarbeitete er einen Beweis der Geometrisierungsvermutung für Haken-Mannigfaltigkeiten, der Ideen aus Topologie, hyperbolischer Geometrie, komplexer Analysis, Dynamik und Ergodentheorie verwendete. Die Idee ist, dass man Haken-Mannigfaltigkeiten durch Aufschneiden entlang Flächen vereinfachen und so Induktionsbeweise führen kann. In diesem Fall besteht der Induktionsschritt darin, eine hyperbolische Metrik auf der aufgeschnittenen Mannigfaltigkeit so zu deformieren, dass sie in gewisser Weise auf den beiden Randkomponenten (genauer deren Entsprechung im Rand im Unendlichen) übereinstimmt und man dann eine hyperbolische Metrik auf der verklebten Mannigfaltigkeit bekommt. Dafür muß man letztlich einen Fixpunktsatz auf dem Teichmüller-Raum der Fläche beweisen. Thurstons Beweis sollte in einer aus sieben Teilen bestehenden Arbeit erscheinen, Teil I wurde 1986 in den Annals of Mathematics veröffentlicht, Teil II und III erschienen immerhin noch als Preprint. Einen Beweis des Fixpunktsatzes auf dem Teichmüller-Raum (und damit letztlich von Thurstons Vermutung für Haken-Mannigfaltigkeiten) veröffentlichte 1990 Curtis McMullen.

Bild: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thurston/pictdisplay/

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Kommentare (9)

  1. #1 Fluffy
    13. Mai 2021

    Faszinierend!

  2. #2 Wilhelm Leonhard Schuster
    Ansbach
    14. Mai 2021

    Ob des Buale noch die Mathe Kurve erklimmt und bei dieser bleibt?
    Es wäre zu wünschen!

  3. #3 Frank Wappler
    18. Mai 2021

    Thilo schrieb (13. Mai 2021):
    > Eine (komplexe) ebene Kurve

    … gemeint sind hier offenbar bestimmte Teilmengen der Menge \mathbb C^2 …

    > kann man auf zwei Arten beschreiben: implizit durch eine Gleichung [ F[ \, x, y \, ] = 0 ]

    … mit F als Symbol einer bestimmten geeigneten “zweistelligen” algebraischen Operation, die für komplexe Argumente definiert ist …

    > oder explizit als Bild einer parametrisierten Kurve [ c : \mathbb C \rightarrow \mathbb C^2 ]

    … gemeint sind stattdessen wohl Bilder von Wegen in der o.g. Zielmenge;
    etwa c : [a,b] \subset \mathbb R \rightarrow \mathbb C^2 .

    Eine dritte, noch explizitere Art der Beschreibung von Kurven besteht offenbar in der Angabe der betreffenden Menge selbst;
    z.B. die (im obigen Sinne) “(komplexe) ebene Kurve” \mathbb R \times 0.

    p.s.
    ScienceBlogs-Kommentar-HTML-Test:

    “c:C–>C<sup>2</sup>” wird dargestellt als: “c:C–>C2”.

  4. #4 Thilo
    18. Mai 2021

    Ein Weg wäre eben eine Abbildung von R nach C^2. Hier sind aber komplexe Kurven gemeint, Abbildungen von C nach C^2, also reelle Flächen. Die Uniformisierung komplexer Kurven ist äquivalent zur Geometrisierung von Flächen.

  5. #5 Frank Wappler
    18. Mai 2021

    Thilo schrieb (#4, 18. Mai 2021):
    > Ein Weg wäre eben eine Abbildung von R nach C^2.

    So weit, so übereinstimmend mit meinem Verständnis und dem entsprechend oben ausgewählten Wikipedia-Link.

    > Hier sind aber komplexe Kurven gemeint, Abbildungen von C nach C^2 […]

    Derartige Abbildungen (oder doch eher: deren Bilder (?)) als “Kurve” (oder ggf. wenigstens als “curve”) anzusprechen, ist mir völlig fremd.

    (Und für mich natürlich auch bedauerlich, insofern dadurch meinem o.g. Verständnis widersprochen wird und ich mich eines ansonsten gern genutzten Wortes zur Benennung bestimmter topologischer Räume beraubt sehe.)

    Könntest Du diese Verwendung des Wortes “Kurve” (oder ggf. “curve”) in Wikipedia bitte verlinken ?

    Oder ansonsten: überhaupt erst eintragen ? …

  6. #6 Thilo
    18. Mai 2021

    https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_curve#Complex_curves_and_real_surfaces

    “Plane algebraic curves” sind ein klassisches Feld der Mathematik, eine Einführung wäre z.B. https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/curves-2018/curves-2018.pdf . Algebraische Geometer betrachten sie oft über beliebigen Körpern, aber der klassische im 19. Jahrhundert betrachtete Fall ist der von komplexen Kurven (heute als Riemannsche Flächen bezeichnet, wobei man da heute die komplexen Kurven abstrakt und nicht als Untermannigfaltigkeiten des C^2 betrachtet).

  7. #7 Frank Wappler
    19. Mai 2021

    Thilo schrieb (18. Mai 2021):
    > https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_curve#Complex_curves_and_real_surfaces […]

    Danke für die umgehenden Bemühungen, aber:
    die dort beschriebenen “algebraischen Kurven” werden offenbar in erster Linie als Nullstellen-Lösungsmengen von Polynomen beschrieben (entsprechend der ersten “Art, eine Kurve zu beschreiben”, die im obigen Scienceblogs-Artikel genannt ist);
    und gerade nicht im Zusammenhang mit “Abbildungen von C nach C^2″, die Du erwähnt hattest und weshalb ich danach gefragt hatte.

    Immerhin muss ich zugestehen:

    – eine Parametrisierung bzw. Parameterdarstellung (wie sie z.B. in der zweiten genannten Art eine Rolle spielt) ist und meint nicht unbedingt eine monotone Parametrisierung, und

    – das Wort “Kurve” wird nicht ausschließlich nur für solche Mengen benutzt, die Bildmenge (von mindestens) einer bestimmten kontinuierlichen und (zumindest abschnittsweise) monotonen Parametrisierung sind.

    Die im obigen Scienceblogs-Artikel (im Zusammenhang mit der zweiten “Art, eine Kurve zu beschreiben”) genannte “parametrisierte Kurve c : C -> C^2″ ist insofern in doppelter Weise abweichend von der Vorstellung, in der ich bislang befangen war.

  8. #8 Thilo
    19. Mai 2021

    Sicher, algebraische Kurven sind zunächst Nullstellenmengen von Polynomen. Bei der Uniformisierung geht es dann um (nicht notwendige injektive) Abbildungen von C auf die Kurve, die zu finden eben nicht so einfach ist.

  9. #9 Theorema Magnum – Mathlog
    21. Oktober 2021

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