Theorema Magnum MCMLXXIX: Irrationalität von Zeta(3)

Die Zetafunktion an der Stelle 3 läßt sich als Reihe  darstellen. Das war seit mehr als hundert Jahren bekannt. Andrei Markow, der später durch seine Arbeiten zur Wahrscheinlichkeitstheorie bekannt geworden war, hatte als erster diese Darstellung benutzt und sie war dann immer mal wiederentdeckt worden, war aber trotzdem den meisten Mathematikern unbekannt. Apéry benutzte diese Reihendarstellung, um die Irrationalität von ζ(3) bewiesen. Das kam völlig überraschend, denn das Problem galt als unzugänglich. Apéry trug den Beweis erstmals 1978 vor und kaum jemand glaubte an die Korrektheit. Der dann in zweimonatiger Arbeit mit Cohen, Lenstra, van der Porten und Unterstützung von Zagier aufgeschriebene und 1979 in Astérisque erschienene, keine 3 Seiten lange Beweis war aber korrekt. “Man kann den Beweis nur wie einen Juwel vor sich her tragen” soll C. L. Siegel gesagt haben.
Die Methode ließ sich – zehn Jahre später in einer Arbeit von André-Jeannine – auch auf die Summe der Reziproken der Fibonacci-Zahlen anwenden, ein 1899 von Edmund Landau gestelltes Problem.

Mathematiker untersuchten dann die Struktur des Beweises und suchten alternative Beweise, die sich vielleicht auf andere ungerade Zahlen übertragen lassen. Beukers, Doktorand in Leiden, gab zwei erhellendere Beweise, von denen vor allem der erste auf dem Begriff der Perioden aufbaute.

Als Periode bezeichnet man das Ergebnis der Auswertung einer geschlossenen Differentialform auf einem Zykel. In der Zahlentheorie interessiert man sich dabei für Werte, die man als Integrale algebraischer Differentialformen über Gebiete, die durch algebraische Gleichungen oder Ungleichungen mit rationalen Koeffizienten gegeben sind, erhält, und bezeichnet nur diese als “Perioden”.
Alle algebraischen Zahlen und noch viele andere interessante Zahlen sind Perioden. Die Logarithmen natürlicher Zahlen bekommt man als Integral von dx/x über Intervalle in R. Die Kreiszahl π bekommt man durch Integration von dxdy über die abgeschlossene Einheitskreisfläche. 2πi bekommt man durch Integration der komplexen Differentialform dz/z über den Einheitskreis. Man vermutet, dass e keine Periode ist. Dagegen hatte Siegel 1932 bewiesen, dass Perioden gewisser elliptischer Integrale transzendent sind und auch Bakers Sätze lassen sich als Resultate über die Transzendenz und algebraische Unabhängigkeit von Perioden interpretieren. Auch ζ(3) ist eine Periode, denn man bekommt es als Integral .

Allgemeiner bekommt man alle Werte der Zetafunktion und auch von Mehrfachzetafunktionen an ganzzahligen Stellen. Es ist schwer, Relationen zwischen Perioden zu verstehen und tatsächlich kennt man bis heute keine „nicht-offensichtlichen“ (d.h. sich nicht aus den Regeln der Integralrechnung ergebenden) Relationen zwischen Perioden. Es gibt eine Vermutung Grothendiecks, dass für eine Varietät X der Transzendenzgrad der durch die Perioden von X definierten Körpererweiterung von Q mit der Dimension der motivischen Galois-Gruppe von X übereinstimmt. Beispielsweise hat man für die projektive Gerade X=P¹ die Gruppe G_m und die Periodenalgebra Q(π), hier ist die Vermutung also korrekt. Grothendieck stellte diese Vermutung 1966 auf, der einzige weitere bekannte Fall – bewiesen 1979 von G.V.Chudnovsky – sind elliptische Kurven mit komplexer Multiplikation.

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