Theorema Magnum MCMLXXXI: die Kazhdan-Lusztig-Vermutungen

Geometrische Darstellungstheorie untersucht Darstellungen algebraischer Gruppen durch geometrisch definierte Wirkungen, z.B. auf Schnitten von Bündeln oder Garben bzw. auf deren Kohomologie. Ein klassisches Beispiel ist der Satz von Borel-Weil-Bott, der die irreduziblen Darstellungen einer Lie-Gruppen G als Kohomologiegruppen geeigneter Linienbündel über der Fahnenmannigfaltigkeit G/B beschreibt.

Für eine algebraische Gruppe G hat man ein „Gebäude“ (einen gewissen Simplizialkomplex, auf dem die Gruppe wirkt) und die Stabilisatoren der top-dimensionalen Simplizes sind die Borel-Untergruppen. Mit der Theorie der Gebäude verbunden ist die von Tits entwickelte Theorie der (B,N)-Paare. B und N sind Untergruppen einer Gruppe G, die gewisse Axiome erfüllen, welche im Fall G=GL(n,C) gerade den Eigenschaften der Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen B und der Gruppe N der Matrizen mit genau einem nichttrivialen Eintrag in jeder Spalte und Zeile entsprachen. (B ist eine Borel-Untergruppe und N der Normalisator eines maximalen Torus. Als Quotient N/H nach dem Zentralisator des maximalen Torus bekommt man die Weyl-Gruppe W.) Viele Eigenschaften algebraischer Gruppen lassen sich axiomatisch aus der Theorie der (B,N)-Paare gewinnen. Mit gewissen Annahmen über B und N kann man beweisen, dass G eine einfache Gruppe ist. Eine andere wichtige Anwendung ist die Zerlegung von G als Vereinigung der BwB über alle w aus W=N/(N∩B). Die gesamte Information über G steckt also schon in N und B. Die später als Borel-Untergruppen bezeichneten Gruppen hatten eine wesentliche Rolle in Borels Arbeiten über lineare algebraische Gruppen gespielt und Chevalley hatte mit ihrer Hilfe (und dem von ihm bewiesenen Satz, dass B mit seinem Normalisator übereinstimmt) die ursprünglich auf Killing zurückgehende Klassifikation komplexer einfacher Lie-Gruppen auf einfache algebraische Gruppen über algebraisch abgeschlossenen Körpern verallgemeinert.
Für Chevalley-Gruppen über p-adischen Körpern und allgemeiner für beliebige Coxeter-Systeme (W,S) (also eine Weyl-Gruppe mit erzeugenden Spiegelungen) hatte Iwahori eine „Hecke-Algebra“ definiert, aus der man einen Teil der Darstellungen von G konstruieren konnte. Weitere Darstellungen erhielt man aus diesen durch sogenannte parabolische Induktion. (Mit einer anderen Definition von Hecke-Algebra war dieser Ansatz von Borel ausgearbeitet worden.) Deligne und Lusztig entwickelten ein allgemeineres Induktionsverfahren, mit dem Lusztig später letztlich alle Darstellungen von G konstruieren konnte.

Drinfeld hatte gezeigt, dass alle Darstellungen in der diskreten Reihe von SL(2,F_q) sich in der etalen Kohomologie der durch die Gleichung xy^q-yx^q=1 gegebenen affinen Kurve finden lassen. Deligne und Lusztig verallgemeinerten das für andere algebraische Gruppen, wobei die Kurve durch ein Bündel über einer gewissen Varietät zu ersetzen ist.
Beispielsweise konnten sie in einer 1976 veröffentlichten Arbeit eine Vermutung MacDonalds über die Klassifikation der Darstellungen von G=SL(n,F_q) beweisen, indem sie die Fahnenvarietät G/B und auf dieser die Wirkung des Frobenius-Automorphismus betrachteten. Zu nichtnegativen Zahlen α_ij betrachteten sie die Tupel von Fahnen mit ; diese bilden eine Varietät, auf der wieder die Gruppe G wirkt. Die etalen Kohomologiegruppen dieser Varietäten geben Darstellungen der Gruppe; Deligne und Lusztig zeigten, dass man mit dieser Konstruktion alle Darstellungen bekommt. Dabei benutzten sie die zwei Jahre zuvor von Deligne bewiesenen Weil-Vermutungen.

Für komplexe halbeinfache Lie-Gruppen hatte T. A. Springer gezeigt, dass die Darstellungen der Weyl-Gruppe den Konjugationsklassen unipotenter Elemente in der Lie-Gruppe entsprechen. Zu einem unipotenten Element u betrachtet man die Varietät aller u enthaltenden Borel-Gruppen und dann die Wirkung der Lie-Gruppe auf der höchst-dimensionalen Kohomologie dieser Varietät. Diese Kohomologiegruppen kann man so zerlegen, dass man auf diese Weise alle irreduziblen Darstellungen der Weyl-Gruppe bekommt. Dieselbe Methode mit l-adischer statt singulärer Kohomologie konnte er auch für algebraische Gruppen über endlichen Körpern verwenden, um alle Darstellungen ihrer Weyl-Gruppen zu bekommen. Dies wurde zum Ausgangspunkt einer gemeinsamen Arbeit von Kazhdan und Lusztig, die eine topologische Konstruktion der Springer-Darstellungen mittels der Steinberg-Varietät fanden. Sie beobachteten gewisse seltsame Effekte in SL(4,C) und entsprechende Effekte in der symmetrischen Gruppe S₄ und kamen mit überraschenden Vermutungen zur Darstellungstheorie reduktiver Gruppen.