Geometrische Darstellungstheorie untersucht Darstellungen algebraischer Gruppen durch geometrisch definierte Wirkungen, z.B. auf Schnitten von Bündeln oder Garben bzw. auf deren Kohomologie. Ein klassisches Beispiel ist der Satz von Borel-Weil-Bott, der die irreduziblen Darstellungen einer Lie-Gruppen G als Kohomologiegruppen geeigneter Linienbündel über der Fahnenmannigfaltigkeit G/B beschreibt.

Für eine algebraische Gruppe G hat man ein „Gebäude“ (einen gewissen Simplizialkomplex, auf dem die Gruppe wirkt) und die Stabilisatoren der top-dimensionalen Simplizes sind die Borel-Untergruppen. Mit der Theorie der Gebäude verbunden ist die von Tits entwickelte Theorie der (B,N)-Paare. B und N sind Untergruppen einer Gruppe G, die gewisse Axiome erfüllen, welche im Fall G=GL(n,C) gerade den Eigenschaften der Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen B und der Gruppe N der Matrizen mit genau einem nichttrivialen Eintrag in jeder Spalte und Zeile entsprachen. (B ist eine Borel-Untergruppe und N der Normalisator eines maximalen Torus. Als Quotient N/H nach dem Zentralisator des maximalen Torus bekommt man die Weyl-Gruppe W.) Viele Eigenschaften algebraischer Gruppen lassen sich axiomatisch aus der Theorie der (B,N)-Paare gewinnen. Mit gewissen Annahmen über B und N kann man beweisen, dass G eine einfache Gruppe ist. Eine andere wichtige Anwendung ist die Zerlegung von G als Vereinigung der BwB über alle w aus W=N/(N∩B). Die gesamte Information über G steckt also schon in N und B. Die später als Borel-Untergruppen bezeichneten Gruppen hatten eine wesentliche Rolle in Borels Arbeiten über lineare algebraische Gruppen gespielt und Chevalley hatte mit ihrer Hilfe (und dem von ihm bewiesenen Satz, dass B mit seinem Normalisator übereinstimmt) die ursprünglich auf Killing zurückgehende Klassifikation komplexer einfacher Lie-Gruppen auf einfache algebraische Gruppen über algebraisch abgeschlossenen Körpern verallgemeinert.
Für Chevalley-Gruppen über p-adischen Körpern und allgemeiner für beliebige Coxeter-Systeme (W,S) (also eine Weyl-Gruppe mit erzeugenden Spiegelungen) hatte Iwahori eine „Hecke-Algebra“ definiert, aus der man einen Teil der Darstellungen von G konstruieren konnte. Weitere Darstellungen erhielt man aus diesen durch sogenannte parabolische Induktion. (Mit einer anderen Definition von Hecke-Algebra war dieser Ansatz von Borel ausgearbeitet worden.) Deligne und Lusztig entwickelten ein allgemeineres Induktionsverfahren, mit dem Lusztig später letztlich alle Darstellungen von G konstruieren konnte.

Drinfeld hatte gezeigt, dass alle Darstellungen in der diskreten Reihe von SL(2,Fq) sich in der etalen Kohomologie der durch die Gleichung xyq-yxq=1 gegebenen affinen Kurve finden lassen. Deligne und Lusztig verallgemeinerten das für andere algebraische Gruppen, wobei die Kurve durch ein Bündel über einer gewissen Varietät zu ersetzen ist.
Beispielsweise konnten sie in einer 1976 veröffentlichten Arbeit eine Vermutung MacDonalds über die Klassifikation der Darstellungen von G=SL(n,Fq) beweisen, indem sie die Fahnenvarietät G/B und auf dieser die Wirkung des Frobenius-Automorphismus betrachteten. Zu nichtnegativen Zahlen αij betrachteten sie die Tupel von Fahnen mit \dim(F_i\cap Frob_q(F_j))=\alpha_{ij}; diese bilden eine Varietät, auf der wieder die Gruppe G wirkt. Die etalen Kohomologiegruppen dieser Varietäten geben Darstellungen der Gruppe; Deligne und Lusztig zeigten, dass man mit dieser Konstruktion alle Darstellungen bekommt. Dabei benutzten sie die zwei Jahre zuvor von Deligne bewiesenen Weil-Vermutungen.

Für komplexe halbeinfache Lie-Gruppen hatte T. A. Springer gezeigt, dass die Darstellungen der Weyl-Gruppe den Konjugationsklassen unipotenter Elemente in der Lie-Gruppe entsprechen. Zu einem unipotenten Element u betrachtet man die Varietät aller u enthaltenden Borel-Gruppen und dann die Wirkung der Lie-Gruppe auf der höchst-dimensionalen Kohomologie dieser Varietät. Diese Kohomologiegruppen kann man so zerlegen, dass man auf diese Weise alle irreduziblen Darstellungen der Weyl-Gruppe bekommt. Dieselbe Methode mit l-adischer statt singulärer Kohomologie konnte er auch für algebraische Gruppen über endlichen Körpern verwenden, um alle Darstellungen ihrer Weyl-Gruppen zu bekommen. Dies wurde zum Ausgangspunkt einer gemeinsamen Arbeit von Kazhdan und Lusztig, die eine topologische Konstruktion der Springer-Darstellungen mittels der Steinberg-Varietät fanden. Sie beobachteten gewisse seltsame Effekte in SL(4,C) und entsprechende Effekte in der symmetrischen Gruppe S4 und kamen mit überraschenden Vermutungen zur Darstellungstheorie reduktiver Gruppen.

Die Iwahori-Hecke-Algebra einer Coxeter-Gruppe W mit Erzeugendensystem S ist ein Quotient des freien Z[q,q-1]-Moduls über einer Basis {Tw}w (jedes Element von W entspricht einem Basisvektor) modulo der Relationen T_wT_s=T_{ws} für l(sw)>l(w) und T_wT_s=qT_{ws}+(q-1)T_w sonst. Wenn W die Weyl-Gruppe einer algebraischen Gruppe G ist, dann beschreibt das eine Unteralgebra der Funktionen auf G(Fq), nämlich diejenigen die unter der Wirkung der Funktionenalgebra einer Borel-Untergruppe durch Konvolution links- und rechts-invariant sind. Die Darstellungen von G versteht man durch die Darstellungen der Hecke-Algebra. (Die Hecke-Algebren der symmetrischen Gruppen bzw. ihre Darstellungen wurden dann die Grundlage für die Definition des Jones-Polynoms in der Knotentheorie.)
Kazhdan und Lusztig fanden eine andere natürliche Basis für Iwahori-Hecke-Algebren nützlicher zum Studium ihrer Darstellungen. Die Elemente der neuen Basis kann man in der alten Basis als Hw=q-l(w)/2 ΣyPywTy darstellen, wobei die Pyw Polynome sind, die Kazhdan-Lusztig-Polynome. Es gibt einen komplizierten, rein kombinatorischen Algorithmus zur Berechnung dieser Polynome, und Kazhdan und Lusztig konnten in ihrer 1979 in Inventiones Mathematicae veröffentlichten Arbeit „Representations of Coxeter groups and Hecke algebras“ zahlreiche kombinatorische Phänomene erklären, die Weyl-Gruppen in verschiedenen Kontexten aufweisen. Mit Hilfe der Polynome konnten sie Darstellungen der Iwahori-Hecke-Algebra konstruieren, eine vollständige Beschreibung der Inklusionsrelationen zwischen primitiven Idealen der einhüllenden Algebra einer komplexen halbeinfachen Lie-Algebra geben und die Kazhdan-Lusztig-Vermutungen über die Vielfachheiten in der Jordan-Hölder-Reihe von Verma-Moduln formulieren.

Ein Problem in der Anwendung singulärer Kohomologie auf die algebraische Geometrie war immer gewesen, dass für Varietäten mit Singularitäten die Poincaré-Dualität nicht mehr gilt. Goresky und MacPherson hatten ab 1974 eine „Schnittkohomologie“ IH(X) für algebraische Varietäten X entwickelt, die Poincaré-Dualität und auch die Lefschetz-Sätze erfüllt, und die verschiedene in den Jahren zuvor definierte charakteristische Klassen singulärer Varietäten beheimatete.
Für die Fahnen-Mannigfaltigkeit G/B hat man zu jedem Element w der Weyl-Gruppe W eine Untervarietät Xw, die Schubert-Zelle. Kazhdan und Lusztig beobachteten nun, dass das Scheitern der lokalen Poincaré-Dualität für die Schubert-Zellen durch das von ihnen definierte Polynom quantifiziert wird. P_{y,w}(q) = \sum_iq^i\dim IH^{2i}_{X_y}(\overline{X_w}). Damit hat man im Fall von Weyl-Gruppen also eine geometrische Interpretation der Kazhdan-Lusztig-Polynome, sie messen die Singularität in einem Punkt der Schubert-Varietät. (Der Beweis benutzte schwere Argumente aus Delignes Beweis der Weil-Vermutungen.) Insbesondere sind in diesen geometrischen Situationen die Koeffizienten der Kazhdan-Lusztig-Polynome stets nichtnegativ, was im allgemeinen Fall beliebiger Coxeter-Systeme erst mehr als dreißig Jahre später von Elias und Williamson bewiesen wurde. Umgekehrt wurde die Kombinatorik der Kazhdan-Lusztig-Polynome ein wesentliches Hilfsmittel für die Berechnung der Schnittkohomologie, mit einem von Lascoux und Schützenberger angegebenen Algorithmus konnte man Schnittkohomologie jetzt berechnen.

Für komplexe halbeinfache Lie-Gruppen G werden die irreduziblen Darstellungen durch das höchste Gewicht klassifiziert, andererseits hat man zu einem Gewicht λ einen unendlich-dimensionalen Verma-Modul Mλ (den maximalen irreduziblen Modul mit diesem höchsten Gewicht), dessen einziger einfacher Quotient die irreduzible endlich-dimensionale Darstellung Lλ dieses höchsten Gewichts ist. Man kann diese Moduln als Elemente in der Grothendieck-Gruppe der Darstellungen von G betrachten und Kazhdan-Lusztig beobachteten, dass die Werte in 1 der von ihnen im Zusammenhang mit dem Basiswechsel der Iwahori-Hecke-Algebren gefundenen Polynome dort gerade den Zusammenhang zwischen Verma-Moduln und einfachen Moduln zu beschreiben scheinen:
L_{-\rho w-\rho}=\sum_{y\le w}(-1)^{l(w)-l(y)}P_{yw}(1)M_{-\rho y-\rho}
M_{\rho w-\rho}=\sum_{w\le y}P_{wy}(1)L_{\rho y-\rho}
mit l(w)=dim(Xw) die Dimension der Schubert-Zelle und 2ρ die Summe der positiven Wurzeln von G. Das wurde dann als Kazhdan-Lusztig-Vermutungen bekannt.

Die Theorie, die man für den Beweis der Kazhdan-Lusztig-Vermutungen benötigen würde, wurde zu dieser Zeit bereits von Kashiwara und unabhängig auch Bernstein entwickelt. Es handelt sich um die Theorie der D-Moduln, auch als mikrolokale Analysis bezeichnet, eine Art algebraischer Analysis. Mit dieser Theorie hatten Mebkhout und unabhängig Kashiwara die höher-dimensionale Version des Riemann-Hilbert-Problems gelöst, bei dem es darum geht, zu gegebenen Singularitäten mit gegebener Monodromie eine lineare Differentialgkeichung zu finden. Mit diesen analytischen Methoden bewiesen dann Kashiwara und Brylynski die Kazhdan-Lusztig-Vermutungen, einen rein algebraischen Beweis (weitgehend analog zum analytischen, aber technisch einfacher) fanden Beilinson und Bernstein.

In der algebraischen Geometrie hatte die Theorie der D-Moduln schon zuvor Anwendung in der Theorie der perversen Garben und die Entwicklungen um den Beweis der Kazhdan-Lusztig-Vermutungen führten letztlich zu den Arbeiten von Beilinson, Bernstein und Deligne über perverse Garben in beliebiger Charakteristik. Aufbauend auf diesen Arbeiten bewies Ofer Gabber die Reinheitsvermutung Grothendiecks, aus der folgt, dass die Eigenwerte des Frobenius-Homomorphismus auf der n-ten Schnittkohomologie algebraische Zahlen vom Betrag qn/2 sind – analog zur Riemann-Vermutung über endlichen Körpern. (Kazhdan und Lusztig hatten das für Schubert-Zellen bewiesen.)

Bild: https://www.academie-sciences.fr/fr/Liste-des-membres-de-l-Academie-des-sciences-/-K/masaki-kashiwara.html