Theorema Magnum MCMLXXXII: Exotische 4-dimensionale Räume

Nachdem man die Instantonen auf der S⁴ parametrisiert hatte, lag es nahe, andere 4-Mannigfaltigkeiten zu betrachten. Anders als etwa bei den harmonischen i-Formen auf einer Mannigfaltigkeit M, deren Parameterraum ja ebenfalls eine topologische Invariante ist, als linearer Vektorraum aber die Dimension als einzige Invariante hat (die die Betti-Zahl b_i(M) gibt), hat man für die Instantonen auf einer Mannigfaltigkeit M einen nichtlinearen Lösungsraum und es stellt sich heraus, dass der Lösungsraum seinerseits eine topologisch interessante Mannigfaltigkeit ist. Arbeiten von Taubes und Uhlenbeck bewiesen zunächst die Existenz, Regularität und Konvergenzsätze für Instantonen auf Mannigfaltigkeiten. So konnte man Instantonen nun als geometrisches Werkzeug zum Studium von 4-Mannigfaltigkeiten benutzen und das ist, was Donaldson, ein Student Atiyahs im zweiten Jahr seiner Graduiertenstudien dann in einer analytisch sehr anspruchsvollen Arbeit realisierte. 

Er zeigte, analog zur S⁴, dass auf einer allgemeinen 4-dimensionalen Mannigfaltigkeit M der Modulraum auch wieder einen solchen der Ausgangsmannigfaltigkeit M entsprechenden „Rand“ hat. Aber außerdem hat er noch Singularitäten, deren Umgebung jeweils ein Kegel über einer komplexen projektiven Ebene ist.
Nicht jede 4-Mannigfaltigkeit ist Rand einer 5-dimensionalen Mannigfaltigkeit, manche sind kobordant zu einer endlichen Vereinigung komplexer projektiver Ebenen CP² – das wußte man seit Thoms Berechnung der Kobordismusgruppen vor fast dreißig Jahren. Und auch, dass die Signatur der Schnittform invariant unter Kobordismen war und also der (mit Vorzeichen nach Orientierung gezählten) Anzahl der komplexen projektiven Ebenen entspricht.

Aber Donaldson bekam mehr als diese bekannten (und sehr anspruchsvollen) topologischen Resultate. Wenn die Schnittform positiv oder negativ definit ist, dann folgt aus seinen Berechnungen, dass sie nicht nur dieselbe Signatur hat, sondern wirklich identisch ist zu der Schnittform der endlichen Vereinigung der CP²s. 

Die Schnittform einer komplexen projektiven Ebene CP² ist einfach die 1×1-Matrix (1), für eine endliche Vereinigung bekommt man also im positiv definiten Fall die Einheitsmatrix. Donaldson bewies also, dass eine positiv oder negativ definite Schnittform diagonalisierbar sein muss.

Nun hatte aber Freedman ja bewiesen, dass es zu jeder quadratischen Form eine einfach zusammenhängende, geschlossene 4-Mannigfaltigkeit mit dieser Form als Schnittform gibt. Später würde kolportiert werden, Donaldson habe geglaubt, einen algebraischen Satz bewiesen zu haben, nämlich dass jede positive definite quadratische Form diagonalisierbar sei. Tatsächlich gibt es aber im positiv definiten Fall astronomisch viele über Z nicht äquivalente Formen. Aus Donaldsons Arbeit folgt also, dass die zu diesen nicht-diagonalisierbaren Formen nach Freedman gehörenden topologischen 4-Mannigfaltigkeiten keine differenzierbaren Mannigfaltigkeiten sein können. (Donaldsons Arbeit betraf nur differenzierbare Mannigfaltigkeiten, denn nur für diese kann man den Modulraum der selbstdualen Instantonen definieren.)

Wieviele 4-Mannigfaltigkeiten ohne differenzierbare Struktur es gibt, wird durch die Klassifikation unimodularer, symmetrischer Bilinearformen klar. Indefinite Formen sind gut verstanden, sie werden nach Serre durch Rang, Signatur und Parität klassifiziert. (Diese Klassifikation beruhte auf dem Lemma, dass es für eine indefinite Form ein x mit x.x=0 gibt. Das kann man aus dem Lokal-Global-Prinzip herleiten, es war aber schon vor diesem bekannt.) Definite Formen gibt es dagegen sehr viel mehr. Man kann ihre Anzahl mit einer Formel von Siegel berechnen. (Dort werden die Formen mit einer Masse gewichtet, weshalb die Anzahl eventuell unterschätzt wird.) So hat man in Dimension 24 genau 24 definite Formen, in Dimension 32 hat man 80 Millionen und in Dimension 40 mindestens 10⁵¹, wahrscheinlich aber viel mehr.

Donaldson bekam mit seiner Bestimmung des Modulraums also keinen neuen algebraischen Satz, stattdessen sehr viele topologische 4-Mannigfaltigkeiten, die keine differenzierbare Struktur besitzen können. Einfach zusammenhängende, geschlossene 4-Mannigfaltigkeiten mit definiter, nichtdiagonalisierbarer Schnittform – also die meisten – können keine differenzierbare Struktur haben. Nicht-differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind in Dimension 4 also so etwas wie der Normalfall. Aus Donaldsons Arbeit folgte auch, dass (anders als in der topologischen Kategorie von Freedman bewiesen) in der differenzierbaren Kategorie der h-Kobordismus-Satz für h-Kobordismen zwischen 4-Mannigfaltigkeiten nicht gilt und dass Casson-Henkel in der differenzierbaren Kategorie im Allgemeinen keine Standardhenkel sind.