Das einfachste Beispiel einer nicht diagonalisierbaren, positiv definiten Form ist die Form E8. Die einfach zusammenhängende 4-Mannigfaltigkeit mit dieser Schnittform wird mit demselben Namen bezeichnet, man kann sie durch Klempnern (und Einkleben eines Homologie-Balls in die als Rand der geklempnerten Mannigfaltigkeit entstehenden Homologiesphäre) konstruieren. Sie ist also die einfachste Mannigfaltigkeit, die keine differenzierbare Struktur besitzt.
Casson führte eine mittels SU(2)-Darstellungsvarietäten definierte Invariante ein, mit der er direkt beweisen konnte, dass E8 auch nicht triangulierbar ist – was aber auch aus der Nicht-Differenzierbarkeit folgt.
Dass diese Mannigfaltigkeit keine differenzierbare Struktur trägt, folgt auch schon aus einem Satz von Rochlin, dem zufolge eine glatte Spin-4-Mannigfaltigkeit Signatur 0 hat, womit die Schnittform E8 ausgeschlossen ist. (Aber erst durch Freedman wußte man, dass es eine topologische 4-Mannigfaltigkeit mit dieser Schnittform gibt.) Allgemeiner bekommt man, dass für eine glatte 4-Mannigfaltigkeit ohne 2-Torsion (z. B. einfach zusammenhängend) eine Schnittform mE8+nH (für die sogenannte hyperbolische Ebene H) nur für gerade m vorkommen kann. Bemerkenswerterweise stellte sich eine von Rochlin in diesem Kontext eingeführte Invariante als Reduktion modulo 2 der neuen Casson-Invariante heraus.
Stallings hatte 1961 bewiesen, dass in Dimensionen mindestens 5 der Rn nur eine Differentialstruktur hat. In Dimensionen höchstens 3 war das ebenfalls bekannt. Freedman fiel aber auf (was dann von Gompf aufgeschrieben wurde), dass es mit Donaldsons Arbeit exotische Differentialstrukturen auf dem R4 geben muß.
Aus Donaldsons Arbeit folgt, dass es keine differenzierbare, einfach zusammenhängende 4-Mannigfaltigkeit mit Schnittform E8+E8 gibt. Andererseits gibt es die K3-Fläche mit Schnittform E8+E8+H, wobei H die hyperbolische quadratische Form vom Rang 6 ist, also die Schnittform von (S2xS2)#(S2xS2)#(S2xS2). Der Summand H der Schnittform läßt sich realisieren durch eine Einbettung einer Teilmenge X von (S2xS2)#(S2xS2)#(S2xS2). Für das Komplement von X in S2xS2)#(S2xS2)#(S2xS2) folgt durch eine Anwendung von Freedmans „eigentlichem h-Kobordismus-Satz“, dass es homöomorph zu R4 ist. Sein Ende ist S3xR, kann aber nicht diffeomorph zu S3xR sein: es enthält keine das Ende abtrennende differenzierbare S3, weil man andernfalls innerhalb der K3-Fläche einen glatten 4-Ball einkleben und so eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Schnittform E8+E8 bekommen könnte.
Die Existenz exotischer R4s zeigt, dass es keine Chirurgie-Theorie für differenzierbare 4-Mannigfaltigkeiten geben kann und auch kein Analogon zur Glättungstheorie, mit der Differentialstrukturen auf einer höherdimensionalen topologischen Mannigfaltigkeiten gezählt werden können. Es wurden später weitere Konstruktionen exotischer Differentialstrukturen auf dem R4 gefunden, Taubes bewies, dass es sogar unendlich viele von ihnen gibt.
Bild: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Donaldson/pictdisplay/
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