Theorema Magnum MCMLXXXIII: die Mordell-Vermutung

Fermats Vermutung sagte bekanntlich, dass xⁿ+yⁿ=zⁿ für n≥3 keine nichttrivialen ganzzahligen Lösungen hat. Äquivalent soll xⁿ+yⁿ=1 keine rationalen Lösungen außer (0,1) und (1,0) sowie (wenn n gerade ist) (0,-1) und (-1,0) haben.
Man weiß schon seit dem Altertum, dass es unendlich viele pythagoreischer Zahlentripel gibt, also ganzzahlige Lösungen von x²+y²=z². Während die Unlösbarkeit der Fermat-Gleichung für n≥3 eine Eigenschaft dieser speziellen Gleichung ist, läßt sich die schwächere Frage, ob die Anzahl rationaler Lösungen von xⁿ+yⁿ=1 endlich oder unendlich ist, in einen allgemeinen Kontext einordnen. Die Mordell-Vermutung besagt, dass eine polynomielle Gleichung f(x,y)=0 (mit ganzzahligen Koeffizienten) nur dann unendlich viele rationale Lösungen haben kann, wenn die durch die Gleichung f(x,y)=0 in C² gegebene komplexe Kurve Geschlecht ≤1 hat, d.h. eine Sphäre oder ein Torus ist. (Die Kurve ist dann entweder ein Kegelschnitt oder eine elliptische Kurve.) Dies läßt sich insbesondere auf die Gleichung xⁿ+yⁿ=1 für n≥4 anwenden, weil das Geschlecht der zugehörigen Kurve (n-1)(n-2)/2 ist.

Mordell hatte diese Vermutung 1922 aufgestellt im Nachgang seines Beweises, dass elliptische Kurven über Q endlich erzeugt sind. André Weil hatte jenen Satz von Mordell in seiner Dissertation 1928 auf höher-dimensionale abelsche Varietäten verallgemeinert, was sich insbesondere auf die Jacobi-Varietät von Kurven anwenden läßt. Eine Kurve kann stets in ihre Jacobi-Varietät eingebettet werden und Weil hatte gehofft zeigen zu können, dass das Bild der Kurve nur endlich viele Punkte der endlich erzeugten Jacobi-Varietät trifft. Das blieb aber offen. Siegel bewies 1929 mit Methoden der transzendenten Approximation, dass es auf einer Kurve vom Geschlecht ≥1 nur endlich viele ganzzahlige Punkte geben kann, was damals als einer der tiefliegendsten Sätze der Mathematik angesehen wurde. Nach den Arbeiten von Weil und Siegel gab es lange keine Fortschritte mehr. Erst die von Grothendieck angestoßenen Entwicklungen führten zu neuen Ansätzen.

Grothendiecks Zugang zur Mathematik war in den 70er Jahren auf eine Weise in die Mathematik absorbiert worden, dass junge Mathematiker sich gar nicht mehr vorstellen konnten, dass es einmal anders gewesen war. Der Trend zu zunehmender Allgemeinheit und Abstraktion, dem die Mathematik seit der Mitte des Jahrhunderts folgte, war zu einem nicht geringen Teil Grothendiecks Einfluß geschuldet. Mit seiner Theorie der Schemata konnte man diese über Spec(Z) fasern mit den Fasern für Primzahlen p sowie für die „Primzahl im Unendlichen“. Einen beeindruckenden Erfolg hatte die Theorie der Schemata in den 70er Jahren mit Moris Beweis der Hartshorne-Vermutung, dass eine vollständige glatte Varietät mit amplem Tangentialbündel über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der projektive Raum sein muß. Für den Beweis brauchte er eine Überdeckung durch rationale Kurven und konstruierte diese dann (selbst in Charakteristik 0), indem er sie erst mit Hilfe des Frobenius-Automorphismus in Charakteristik p konstruierte und dann zu Charakteristik 0 deformierte. Man fand keinen Beweis, der diesen Umweg über Charakteristik p vermied.

Die Mordell-Vermutung in ihrer allgemeinen Form besagte: wenn eine Kurve vom Geschlecht mindestens 2 über einem Zahlkörper K definiert ist, dann hat sie nur endlich viele K-rationale Punkte. Seit Grothendieck betrachtete man K-rationale Punkte einer Varietät X als Morphismen Spec(K)—->X, was natürlich dem klassischen Begriff entsprach. Man kannte aber weiterhin keine einzige Kurve mit mindestens einem rationalen Punkt, für die man die Mordell-Vermutung beweisen konnte. André Weil schrieb noch Anfang der 80er Jahre, dass es keine wirkliche Evidenz für die Vermutung gebe.

Mitte der 60er Jahre gab es Beweise der analogen Vermutung im Funktionenkörperfall durch Manin und später durch Grauert. Alexei Parschin zeigte dann, mit einem Argument, dass sowohl für Funktionenkörper wie für Zahlkörper funktionierte, dass eine von Schafarewitsch aufgestellte Endlichkeitsvermutung die Mordell-Vermutung impliziert.

Bei der Schafarewitsch-Vermutung geht es um über einem Zahlkörper K definierte Kurven. Man kann annehmen, dass die Koeffizienten im Ganzheitsring O_K liegen und dann die Reduktionen modulo Primidealen p des Ganzheitsrings O_K betrachten. Die Frage ist, ob man nach dieser Reduktion über O_K/p eine nichtsinguläre Kurve bekommt. Zum Beispiel gibt die über Q definierte Fermat-Kurve x³+y³=1 nach Reduktion modulo p=3Z keine elliptische Kurve. Die elliptische Kurve y²=x³-17 gibt modulo 2, 3 und 17 keine elliptische Kurve: modulo 2 ist (1,0) eine Singularität, modulo 3 ist es (2,0) und modulo 17 gehört die Singularität (0,0) zur Kurve. Man sagt in einem solchen Fall, dass die Kurve schlechte Reduktion modulo dieser Primideale hat. Shimura hatte 1955 mit einem sehr aufwendigen Beweis gezeigt, dass glatte Varietäten über Q nur für endlich viele Primzahlen schlechte Reduktionen haben. In der Sprache der Schemata wurde dieser Satz zu einer Tautologie, weil Glattheit eine offene Bedingung ist. Schafarewitsch nahm nun für einen Zahlkörper K eine endliche Menge S von Primidealen und vermutete, dass es nur endlich viele algebraische Kurven von gegebenem Geschlecht über K gibt, deren minimale Modelle modulo der Ideale in S schlechte Reduktion haben. Für g=1, also die elliptischen Kurven y²=x(x-1)(x-λ), folgt dies daraus, dass es nur endlich viele λ gibt, für die λ und λ-1 nur durch die Primideale in S teilbar sind. Schafarewitsch bewies seine Vermutung allgemeiner auch für hyperelliptische Kurven.