Theorema Magnum MCMLXXXIV: der Satz über wandernde Gebiete

Komplexe Dynamik befasst sich mit der Iteration einer Funktion auf der komplexen Zahlenebene. Zu einer Funktion f betrachtet man, wie sich komplexe Zahlen z bei wiederholter Anwendung von f verhalten; es geht also um die Folge . Wenn zum Beispiel iteriert wird, wird diese Folge bei einem Startwert z innerhalb des Einheitskreises gegen Null konvergieren, und bei einem Startwert außerhalb des Einheitskreises gegen Unendlich. Bei einem Startwert auf dem Rand des Einheitskreises kann man nach endlich vielen Schritten in 1 landen (wenn man mit einer Einheitswurzel der Ordnung n^k startet), man kann für andere z auf dem Einheitskreis aber auch eine eine dichte Bahn bekommen. Für Punkte auf dem Einheitskreises führt eine geringe Störung des Startwertes zu einem gänzlich anderen Verhalten der Iteration.

Die Theorie der Iteration komplexer Funktionen wurde nach dem ersten Weltkrieg von Fatou und Julia und später von Siegel entwickelt. Man hat in der komplexen Ebene stets eine Dichotomie zwischen Punkten, deren Bilder gegen einen anziehenden Fixpunkt (evtl. Unendlich) konvergieren und in deren Umgebungen die Iterierten eine normale Familie bilden – die Fatou-Menge – und andererseits Punkten, in denen das nicht der Fall ist und in denen die Dynamik sensitiv gegenüber Störungen des Startwertes ist, die Julia-Menge. Im Beispiel f(z)=zⁿ ist der Einheitskreis die Julia-Menge, das Innere und Äußere bildet die Fatou-Menge. Die mathematischen Probleme konzentrierten sich auf die Julia-Menge.

Schon bevor es Computerbilder gab, bemerkte man, dass Julia-Mengen oft sehr kompliziert aussehen. Ein viel untersuchtes Beispiel war die Familie z²+c. Für c=-3 ist die Julia-Menge eine nirgendwo dichte, perfekte Menge. Für c=-1 hat man eine Kurve, die die Ebene in abzählbar viele Komponenten zerlegt. Für kleine c hat man eine nirgends differenzierbare Kurve, die aber doch eine Jordan-Kurve (das stetige Bild eines Kreises) ist. Das Bild oben zeigt in Weiß die Julia-Menge für c = -0,742 + 0,1 i. Yoccoz zeigte später, dass für alle c die Julia-Mengen entweder zusammenhängend oder nirgendwo dichte, perfekte Mengen sind.

Benoît Mandelbrot prägte in einer Arbeit über die Küstenlinie Großbritanniens, bei deren Vermesung ihrer verwinkelten Struktur wegen bei kleinskaligerer Vermessung größere Längen herauskommen, erstmals den Begriff des Fraktals. Ein wichtiger Begriff zum Verständnis von Fraktalen wurde der 1918 von Felix Hausdorff für Teilmengen des Rⁿ eingeführte Dimensionsbegriff. Fraktale sind dadurch charakterisiert, dass diese Hausdorff-Dimension größer ist als die von Lebesgue eingeführte topologische Überdeckungsdimension. Die Hausdorff-Dimension ist das Infimum aller d, für die das d-dimensionale Hausdorff-Maß der Menge 0 ist. Dennis Sullivan, der zuvor das Patterson-Sullivan-Maß auf Limesmengen Kleinscher Gruppen untersucht hatte, fand auch auf Julia-Mengen ein konformes Maß, das in vielen Fällen ein Hausdorff-Maß ist und dessen Invarianzeigenschaft insbesondere die Hausdorff-Dimension festlegt. Damit ist die Hausdorff-Dimension von Julia-Mengen in der Regel größer als die topologische Dimension, was in Mandelbrots Terminologie heißt, dass Julia-Mengen Fraktale sind.

Mandelbrot war der erste, der die in der komplexen Iteration vorkommenden Julia-Mengen ernsthaft mit Computersimulationen untersuchte. Zunächst die Familie c(1+z²)2/(z(z²-1)), dann die Familie cz(1-z), schließlich die Familie z²+c. Bei letzterer kann man fragen, für welche c der Nullpunkt zu der ausgefüllten Julia-Menge gehört, d.h. zur Menge der Punkte, deren Bahn beschränkt bleibt. Die Menge M dieser Parameterwerte war zwei Jahre zuvor bei Untersuchungen von Brooks und Matelski über diskrete Gruppen von Isometrien des hyperbolischen Raumes vorgekommen und sie hatten auch ein Bild dieser Menge ausdrucken lassen, das freilich noch grob verpixelt war. Später würde man sehr viel schönere Bilder malen können und für die Punkte außerhalb M (wo die Bahn des Nullpunkts also gegen Unendlich geht) mit Farben veranschaulichen können, wieviele Iterationen man braucht, um einen bestimmten Schwellenwert, etwa 1000, zu überschreiten.

In den Proceedings einer 1979 in New York stattgefundenen Konferenz über nichtlineare Dynamik veröffentlichte Mandelbrot einen Artikel Fractal aspects of the iteration of λz(1-z) for complex λ and z, in der er (unter anderem) zahlreiche Vermutungen über die Geometrie dieser Menge M aufstellte. Douady und Hubbard griffen diesen Artikel auf und veranstalteten ein Seminar in Orsay, in dem sie die Theorie im Detail ausarbeiteten. Sie bewiesen, dass M zusammenhängend ist, und sie formulierten zwei Hauptvermutungen: die Menge M sollte lokal zusammenhängend sein, und ihr Inneres sollte die Menge M´ derjenigen Parameterwerte c sein, für die es einen anziehenden Kreis gibt. Sie wußten zwar keine der beiden zu beweisen, aber sie bewiesen, dass die zweite Vermutung aus der ersten folgt. Weiterhin würde mit einem alten Satz von Carathéodory aus der ersten Vermutung folgen, dass jeder äußere Strahl landet, was sie zumindest für Strahlen mit rationalem Argument ohne die Annahme der Vermutung zu beweisen vermochten. Eine andere Folgerung wäre die Dichtheit expandierender Abbildungen im Raum der quadratischen Polynome.