Beim Gaußschen Klassenzahlproblem ging es ursprünglich um die Anzahl der Äquivalenzklassen quadratischer Formen ax^2+bxy+cy^2 mit gegebener Diskriminante D=ac-b^2. Die Koeffizienten a,b,c sollen ganzzahlig sein und zwei quadratische Formen gelten als äquivalent, wenn sie durch einen linearen Basiswechsel mit ganzzahligen Koeffizienten, also eine Basiswechselmatrix aus SL(2,{\bf Z}) auseinander hervorgehen. Gauß hatte in den 1801 veröffentlichten „Disquisitiones Arithmeticae“ für die stärkere Äquivalenzrelation der Basiswechsel mit rationalen (statt ganzzahligen) Koeffizienten bewiesen, dass es nur endlich viele Äquivalenzklassen gibt. Er vermutete, dass es auch bezüglich ganzzahliger Basiswechsel jeweils nur endliche viele Äquivalenzklassen quadratischer Formen gegebener negativer Diskriminante D gibt, dass deren Anzahl h(D) mit -D gegen Unendlich geht, und er hatte für D=-1,-2,-3 Listen quadratischer Formen mit Diskriminante D angegeben, die er als vollständig vermutete. (Dagegen vermutete er für positive Diskriminante D=1, dass es unendlich viele Äquivalenzklassen quadratischer Formen gibt. Diese Frage ist bis heute offen.)

Schon Gauß hatte auf der Menge der Äquivalenzklassen quadratischer Formen mit gegebener Diskriminante eine Verknüpfung (in späterer Sprache: eine Gruppenstruktur) definiert. Mit der Entwicklung der algebraischen Zahlentheorie Ende des 19. Jahrhunderts formulierte man das Klassenzahlproblem dann als Frage über Anzahlen algebraischer Zahlkörper mit gegebener Ordnung der Idealklassengruppe.
Zu einer quadratfreien (positiven oder negativen) Zahl D betrachtet man den Körper K=Q(√D). Dessen Ganzheitsring OK ist entweder Z[√D], falls D kongruent 2 oder 3 modulo 4, oder Z[(1+√D)/2], falls D kongruent 1 modulo 4. Dedekind zeigte, dass die Ideale im Ganzheitsring den quadratischen Formen der Diskriminante D entsprechen: der quadratischen Form ax2+bxy+cy2 entspricht das von a und (-b+√D)/2 erzeugte Ideal. Äquivalente quadratische Formen entsprechen Idealen, die sich durch Multiplikation mit einem Hauptideal ineinander überführen lassen. Man definiert die Idealklassengruppe des Zahlkörpers als Gruppe der Ideale modulo der Äquivalenzrelation I~J für aI=bJ (a,b∈OK), und die Klassenzahl als die Anzahl der Elemente in der Idealklassengruppe. (Zum Beispiel ist die Klassenzahl 1 genau dann, wenn jedes Ideal in OK ein Hauptideal, d.h. die Primfaktorzerlegung in OK eindeutig ist. Dagegen ist Z[√-5] kein Hauptidealring, die Idealklassengruppe besteht aus den Äquivalenzklassen der Ideale (1) und (2,1+√-5) und die Klassenzahl von Q(√-5) ist also 2.) Die Klassenzahl von Q(√D) ist dann also gleich der Anzahl der Äquivalenzklassen quadratischer Formen mit Diskriminante D. Man kann das Gaußsche Klassenzahlproblem also umformulieren als Frage nach der Klassenzahl des quadratischen Zahlkörpers K=Q(√D).

Man kann die Klassenzahl für beliebige Zahlkörper K definieren und Dirichlet hatte (zunächst für quadratische Zahlkörper) 1839 die Klassenzahlformel – in heutigen Bezeichnungen h_K= \frac{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}} {2^{r_1} \cdot(2\pi)^{r_2} \cdot {Reg}_K} \lim_{s\to 1} (s-1) \zeta_K(s) – bewiesen, die die Klassenzahl hK mit dem Residuum der Dirichletschen Zetafunktion ζK in 1 in Beziehung setzt. (In Dirichlets ursprünglicher Formulierung war für imaginär-quadratische Zahlkörper der Wert L(1,χ) der Dirichletschen L-Reihe eines Charakters modulo D verwendet worden.) Die anderen Terme der Klassenzahlformel lassen sich mit Hilfe der natürlichen Einbettung von OK als Gitter in Rr1+r2 bestimmen und insbesondere folgt aus dem 1891 von Minkowski bewiesenen Gitterpunktsatz die Endlichkeit der Klassenzahl.

Gauß‘ Vermutung, dass die Anzahl h(D) der Äquivalenzklassen quadratischer Formen negativer Diskriminante mit -D gegen Unendlich geht, wurde 1934 mit Methoden der analytischen Zahlentheorie von Hans Heilbronn gelöst (der deswegen vom Reichssicherheitshauptamt einige Jahre später auf eine Liste von im Falle einer Invasion der britischen Inseln mit besonderer Priorität ausfindig zu machenden Personen gesetzt wurde). Heilbronns Ansatz war, dass er die Vermutung sowohl für den Fall beweisen konnte, dass die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung über Nullstellen von L(s,χ) falsch ist, als auch für den Fall, dass sie richtig ist. Sein Beweis war aber nicht effektiv, weil im ersten Fall alle Konstanten in seinem Beweis von einer zu findenden Nullstelle von L(s,χ) außerhalb Re(s)=1/2 abhingen. Man konnte also zu einem gegebenen Wert h nicht effektiv alle D mit h(D)=h bestimmen. Für h(D)=1 konnte Heilbronn aber jedenfalls in einer Arbeit mit einer Linfoot beweisen, dass es neben den neun schon Gauß bekannten Werten höchstens noch ein zehntes D mit h(D)=1 geben könnte. Siegel bewies dann mit Heilbronns Ansatz ein Jahr später, dass zu jedem ε ein effektiv berechenbares c mit h(D)>c\vert D\vert^{\frac{1}{2}-\epsilon} für alle D existiert.

Als Klassenzahlproblem bezeichnet man die Frage nach der Bestimmung aller negativen ganzen Zahlen D, für die der imaginär-quadratische Zahlkörper K=Q(√D) eine gegebene Klassenzahl hat. Insbesondere kann man diese Frage für Klassenzahl 1 stellen. Man sucht dann also alle K=Q(√D), für die der Ganzheitsring OK ein Hauptidealring ist. Gauß hatte vermutet, dass dies nur für die neun Werte D=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67 und -163 der Fall ist. (Die Klassenzahl 1 für Q(√163) ist aus heutiger Sicht der tiefere Grund für Eulers Beobachtung, dass die Formel x2-x+41 für x=1,2,…,40 jeweils eine Primzahl liefert.)
Bewiesen wurde die Vollständigkeit von Gauß‘ Liste 1952 von dem Berliner Privatgelehrten Kurt Heegner. Weil der Beweis schwer verständlich war, einige kleinere Fehler enthielt und von einem akademischen Außenseiter stammte, wurde er lange nicht anerkannt. Erst als Harold Stark fünfzehn Jahre später einen ähnlichen Beweis fand, der zu Heegners äquivalent war, wurde auch Heegner noch zwei Jahre nach seinem Tod Anerkennung zuteil. Kurz vor Stark hatte Alan Baker bereits einen anderen Beweis gefunden und Baker und Stark lösten dann auch unabhängig voneinander das Klassenzahlproblem für Zahlkörper mit Klassenzahl 2.

In einer 1976 in Ann. Sci. Norm. Sup. Pisa veröffentlichten Arbeit hatte Dorian Goldfield (für hinreichend kleine ε) unter der Annahme einer oberen Schranke h(D) \le\epsilon\frac{\sqrt{\vert D\vert}}{\log \vert D\vert} eine Nullstelle der Dirichletschen L-Reihe L(s,χ) (für einen primitiven Restklassencharakter modulo D) gefunden mit gewissen Eigenschaften, die insbesondere der verallgemeinerten Riemann-Vermutung für solche L-Reihen widerspräche. Damit konnte er zeigen, dass man für die L-Reihe L(E,s) einer elliptischen Kurve E\simeq {\bf Z}^g\oplus Torsion aus L(E,s)\sim c_E(s-1)^g eine untere Schranke für h(D) herleiten kann. Somit hatte er die effektive Lösung des Klassenzahlproblems darauf zurückgeführt, dass man eine elliptische Kurve E vom Rang g=3 finden muss, für die L(E,s)~(s-1)2, also die Ableitung L‘(E,1)=0 ist. (In Goldfields Formulierung mußte man voraussetzen, dass es sich bei E um eine Kurve mit komplexer Multiplikation handelt, das wurde obsolet mit der später bewiesenen Modularität elliptischer Kurven.)

Die L-Funktion L(E,s) einer elliptischen Kurve E kodiert die Anzahlen ap ihrer Punkte modulo Primzahlen p. Sie ist definiert als L(E,s)=\Pi_{p\not\vert \Delta}(1-a_pp^{-s}+p^{1-2s})^{-1}, wobei das Produkt über alle Primzahlen genommen wird, die die Diskriminante nicht teilen. Mit der Zeta-Funktion Z(E,s) hängt sie über die Gleichung Z(E,s)=\zeta(s)\zeta(1-s) L(E,s) zusammen. (Die Zeta-Funktion wird für die Formulierung der Weil-Vermutungen benötigt, die im Fall elliptischer Kurven von Helmut Hasse bewiesen wurden.)
In der Anfangszeit der Computer hatten Birch und Swinnerton-Dyer durch (auf theoretischen Überlegungen aufbauende) umfangreiche numerische Experimente eine Vermutung über die asymptotische Anzahl ap für große Primzahlen p aufgestellt. Diese Vermutung ließ sich so formulieren, dass die Ordnung der Nullstelle von L(E,s) in s=1 gleich dem Rang g der elliptischen Kurve sein sollte. Aus dieser BSD-Vermutung (Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer) würden weitere zahlentheoretische Vermutungen folgen.

Für g=0 besagt die BSD-Vermutung, dass eine elliptische Kurve mit L(E,1)≠0 nur endlich viele Punkte haben kann, was dann in verschiedenen Spezialfällen bewiesen wurde. Gross und Zagier bewiesen 1983 (für elliptische Kurven, die modular sind) die schwierigere Umkehrung: wenn L(E,1)=0, dann gibt es einen Punkt unendlicher Ordnung.

Für Kurven vom Rang g>1 gab es aber weiterhin nur numerische Evidenz für die Richtigkeit der BSD-Vermutung. Insbesondere hatte man bis dahin keine elliptische Kurve vom Rang 3, auf die man Goldfelds Resultat anwenden und somit das Klassenzahlproblem lösen könnte.

In ihrer 1986 in Inventiones Mathematicae veröffentlichten Arbeit “Heegner points and derivatives of L-series“ bewiesen Gross und Zagier die Gleichheit von L’(E,1) mit einer gewissen Höhenfunktion für sogenannte Heegner-Punkte auf elliptischen Kurven. Dies kann in zwei Richtungen ausgenutzt werden: ist der rationale Punkt ein Torsionspunkt (leicht), dann ist L'(E,1)=0 (schwer), und ist L'(E,1)≠0 (leicht), so hat man einen Punkt unendlicher Ordnung (schwer). Damit zeigte sie dann für die L-Funktion der elliptischen Kurve -139 y^2 =x^3+4x^2 -48x+80, dass s=1 eine Nullstelle der Ordnung 3 ist, womit sie Goldfields Resultat anwenden und die Ungleichung h(D)>c(\log\vert D\vert)^{1-\epsilon} (für beliebiges ε und eine von ε abhängende, effektiv berechenbare Konstante c) beweisen konnten. Zusammen mit Goldfields Resultat gibt das eine effektive Lösung des Klassenzahlproblems.

Die Arbeit von Gross und Zagier lieferte eine algorithmische Lösung, mit der man effektiv für jede Klassenzahl die Liste der entsprechenden Zahlkörper produzieren konnte (was dann für Klassenzahl 3 umgehend von Joseph Oesterlé umgesetzt wurde). Manche sahen das als eine unbefriedigende Lösung und hätten eine geschlossene Antwort bevorzugt.

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