Theorema Magnum MCMLXXXVIII: Multiresolutionsanalyse von Wavelets

Bei den soweit gefundenen Wavelets mußten die Funktionen für die direkte Implementierung abgeschnitten werden und man fragte sich, ob es Wavelets gäbe, für die das nicht notwendig ist. Ingrid Daubechies konstruierte 1988 Wavelets mit kompakten Trägern, was zu vielen wichtigen Anwendungen führte. 

Alle diese Konstruktionen waren ein wenig ad hoc, man verstand sie noch nicht wirklich. Gemeinsam mit Stéphane Mallat, einem Doktoranden der Elektrotechnik in Pennsylvania entwickelte Meyer dann die mathematischen Einzelheiten der Multiresolutionsanalyse, mit der alle bisher konstruierten Waveletbasen auf eine gemeinsame Grundlage gestellt wurden. Diese Analyse führte auch zu einem einfachen und rekursiven Filterungsalgorithmus, mit dem die Waveletzerlegung einer Funktion von ihrer feinstskaligen Approximation berechnet werden konnte. 

Mathematisch betrachtet man in der Multiresolutionsanalyse eine Folge V_j von Unterräumen von L²(R). Sie sollen aus denjenigen Funktionen bestehen, die man bei Auflösung der Ordnung 2^j von Funktionen in L²(R) bekommt – man hat also einen Operator A_j mit Bild in V_j, der jeder Funktion die bestmögliche Auflösung der Ordnung 2^j zuordnet. Dieser habe die Skalierungseigenschaft und A_jf soll durch 2^j Werte pro Längeneinheit charakterisiert werden können. Aus seinen Axiomen für V_j konnte Mallat beweisen, dass es eine Funktion gibt, für die für jedes j die Funktionen eine Basis von V_j bilden. Man erhält also alle Wavelets mit dem Ansatz der Multiresolutionsanalyse.

Neben ihrer ursprünglichen Verwendung zur Analyse nichtstationärer Signale wurden Wavelets vor allem in Bildverarbeitung und Datenkompression wichtig, neben vielen anderen Anwendungen.

Bild: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stephane_Mallat.jpg