Theorema Magnum MXMI: das eingeschränkte Burnside-Problem

Gruppentheorie war im 19. Jahrhundert die Theorie endlicher Gruppen gewesen. (Daneben gab es noch die Theorie kontinuierlicher Gruppen, heute als Lie-Gruppen bezeichnet, die aber vor allem die Lie-Algebren und kaum gruppentheoretische Argumente verwendete.)
Burnside stellte 1902 die Frage, ob eine endlich erzeugte Gruppe unendlich sein kann, wenn jedes Element endliche Ordnung hat. (Burnside sprach nicht von endlich erzeugten, sondern von diskontinuierlichen Gruppen.) Das Problem gilt als Beginn der Beschäftigung mit unendlichen diskontinuierlichen Gruppen, insbesondere auch mit beliebigen Untergruppen linearer Gruppen über unendlichen Körpern wie R und C.
Issai Schur löste dieses Problem 1911 für Gruppen von Matrizen, also Untergruppen von GL(n,C). Aus seinem Beweis wurde aber klar, dass das Problem im Allgemeinen sehr schwer sein würde. Burnside formulierte deshalb auch das beschränkte Burnside-Problem: muß die Gruppe endlich sein, wenn es eine obere Schranke für die Ordnung von Gruppenelementen gibt, also einen Exponenten n mit gⁿ=e für alle g aus G. Mit elementaren Mitteln hatte er bewiesen, dass für Exponent 2 oder 3 die Gruppe endlich sein muss. Es war aber klar, dass seine Argumente sich auf andere Fälle nicht ausdehnen ließen.
Die Frage, ob Gruppen mit r Erzeugern und Exponent n stets endlich sind, ist äquivalent zu der, ob die universelle solche Gruppe B(r,n) – der Quotient der freien Gruppe F_r nach allen n-ten Potenzen – endlich ist. Zum Beispiel ist . Das Bild unten zeigt den Cayley-Graphen von B(2,3). Nachdem Burnside die Endlichkeit von B(r,3) gezeigt hatte, bewiesen 1940 Sanow und 1958 Hall die Endlichkeit von B(r,4) bzw. B(r,6). Dagegen ist die Endlichkeit von B(r,5) selbst für r=2 offen. Es gibt mit Ausnahme von B(1,n)=Z/nZ keine B(r,n) mit n>6, deren Endlichkeit man beweisen kann.

Die beschränkte Burnside-Vermutung würde folgen, wenn B(r,n) nur endlich viele endliche Quotienten oder äquivalent einen maximalen endlichen Quotient hat. Diese Frage nannte Wilhelm Magnus in den 30er Jahren das eingeschränkte Burnside-Problem. Sie ist äquivalent zur Endlichkeit von B₀(r,n), dem Quotienten von B(r,n) nach dem Durchschnitt aller Untergruppen von endlichem Index.

Wadim Kostrikin bewies 1959 die Endlichkeit von B₀(r,n) für den Fall, dass n=p eine Primzahl ist. Fünf Jahre später fanden Golod und Schafarewitsch Gegenbeispiele zu Burnsides ursprünglicher Frage. In den folgenden Jahrzehnten wurden zahlreiche weitere Gegenbeispiele gefunden, das wohl berühmteste ist das von Olshanskii konstruierte Tarski-Monster. Weiterhin zeigten Adyan und Novikov 1968, dass für ungerade n>4380 die Gruppe B(2,n) unendlich ist, womit auch das beschränkte Burnside-Problem eine negative Lösung hat. Die Forschung in diesem Gebiet verlagerte sich deshalb zum eingeschränkten Burnside-Problem.

Schon 1956 hatten Hall und Higman einen Satz bewiesen, demzufolge sich das eingeschränkte Burnside-Problem für lösen läßt, wenn es sich für die Primzahlpotenzen lösen läßt, vorausgesetzt dass es nur endlich viele einfache endliche Gruppen vom Exponenten n gibt und für diese endlich vielen Gruppen die äußeren Automorphismengruppen auflösbar sind. Die beiden letzteren Bedingungen folgen aus der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen (oder für ungerade n auch schon aus dem Satz von Feit-Thompson). Man muß also das eingeschränkte Burnside-Problem nur noch für Primzahlpotenzen lösen.

Kostrikins Beweis für n=p benutzte den Lie-Ring einer Gruppe. Diesen definiert man mit Hilfe der absteigenden Zentralreihe als mit der Lie-Klammer . Hat die Gruppe Exponenten p, so erfüllt der Lie-Ring die (p-1)-Engel-Bedingung, d.h. für alle x,y verschwindet der iterierte Kommutator mit p-1 y’s. Kostrikin bewies nun den allgemeinen Satz, dass aus der k-ten Engel-Bedingung (in Charakteristik p≥k oder auch in Charakteristik 0) für einen endlich erzeugten Lie-Ring seine Nilpotenz folgt. Aus der Nilpotenz endlich erzeugter Lie-Ringe mit Charakteristik p und (p-1)-Engel-Bedingung folgt dann die Lösung des eingeschränkten Burnside-Problems für Exponent p.

Efim Zelmanow konnte Kostrikins Argumente später wesentlich vereinfachen und dann auch auf den Fall von Primzahlpotenzen p^k mit ungeraden Primzahlen p verallgemeinern. Für den Fall von Zweierpotenzen 2^k ließ sich dieses Lie-Algebren verwendende Argument aber nicht anwenden (während der Fall n=2 ja lange bekannt und sehr einfach war). Stattdessen benötigte man dort Jordan-Algebren.

Jordan-Algebren waren ursprünglich ein Ansatz des deutschen Physikers Pascual Jordan (bekannt vor allem als Begründer der Quantenfeldtheorie) zur Algebraisierung der Quantenmechanik. Die Idee war, dass zwar das Matrizenprodukt xy zweier Hermitescher Matrizen x und y nicht hermitesch sein muss, dass aber das Produkt wieder eine hermitesche Matrix ist. Alle algebraischen Aspekte der Theorie lassen sich aus dem Kommutativgesetz und der Jordan-Identität herleiten. Das wurden dann die Axiome einer Jordan-Algebra.
Jede assoziative Algebra liefert mittels eine Jordan-Algebra. Physiker suchten aber auch nach anderen (sogenannten “speziellen”) Jordan-Algebren. Jordan, von Neumann und Wigner klassifizierten 1934 endlich-dimensionale, formal-reelle Jordan-Algebren. Aus ihrer Klassifikation folgte insbesondere, dass es nur eine endlich-dimensionale spezielle Jordan-Algebra gibt, die Algebra der hermiteschen 3×3-Matrizen über den Oktaven, heute als Albert-Algebra bezeichnet. Sie vermuteten aber, dass es weitere unendlich-dimensionale spezielle Jordan-Algebren geben sollte.
Algebraiker entwickelten in den folgenden Jahrzehnten eine reichhaltige Strukturtheorie für Jordan-Algebren über Körpern der Charakteristik ≠2, die dann aber Ende der 70er und Anfang der 80er Jahre in einer Serie von Arbeiten von Efim Zelmanov komplett revolutioniert wurde. Insbesondere folgte aus seiner Theorie, dass es auch in unendlichen Dimensionen neben der Albert-Algebra keine weiteren speziellen Jordan-Algebren gibt.

Etwa zehn Jahre später gelang es Zelmanov zunächst, Kostrikins Argumente im Beweis des eingeschränkten Burnside-Problems auf ungerade Primzahlpotenzen zu verallgemeinern und das Problem dann auch für Zweierpotenzen zu lösen. Sein Beweis für Zweierpotenzen folgte zwar dem selben Plan wie der Beweis für ungerade Primzahlpotenzen, war aber viel komplizierter und verwendete insbesondere an entscheidender Stelle Jordan-Algebren statt Lie-Algebren.