Theorema Magnum MXMIII: Mirrorsymmetrie für Calabi-Yau-Hyperflächen in torischen Varietäten

Ein klassischer Satz, bewiesen 1849 von Cayley und Salmon, besagt die Existenz von genau 27 Geraden auf jeder kubischen Fläche in CP³. Ebenso klassisch (und ebenso heute über Berechnung von Chern-Klassen zu beweisen) ist die Existenz von genau 2875 Geraden (Kurven vom Grad 1) auf einer Quintik in CP4 . Der nächste Schritt war dann 1986 der Beweis von Sheldon Katz, dass es auf einer Quintik 609250 Kegelschnitte (Kurven vom Grad 2) und zumindest bis Grad 7 nur endlich viele Kurven von gegebenem Grad gibt.

Vor dem Hintergrund der Suche nach einer großen vereinheitlichenden Theorie für Gravitation, Elektromagnetismus, starke und schwache Wechselwirkung und speziell der heterotischen Stringtheorie hatten Physiker Beispiele für Spiegelmannigfaltigkeiten von Quintiken gefunden. Physikalisch soll man für die Spiegelmannigfaltigkeiten einen symmetrischen Vektorraum des Sigmamodells haben. (Das Sigmamodell ist eine gewisse Feldtheorie auf der Mannigfaltigkeit.) Beispielsweise für die Quintik z05+…+z45=ψz0…z4 (mit einer komplexen Zahl ψ) hat man eine Wirkung von (Z/5Z)³ (durch Multiplikation von Koordinaten mit Einheitswurzeln) und der Quotient hat Singularitäten, die sich auflösen lassen. Nach Auflösung der Singularitäten erhält man die Spiegelmannigfaltigkeit. Bemerkenswerterweise hatte in diesem Fall die Quintik die Euler-Charakteristik χ=200 und die Spiegelmannigfaltigkeit die entgegengesetzte Euler-Charakteristik χ=-200. (Physiker postulierten, dass dies ein allgemeines Prinzip sein sollte, wonach die Hodge-Zahlen der Spiegelmannigfaltigkeit gerade das „Spiegelbild“ der ursprünglichen Hodge-Zahlen sind.)

Eine Gruppe von vier Physikern war mit Hilfe der Spiegelmannigfaltigkeit das Problem angegangen, die Anzahl Nd der rationalen Kurven vom Grad d auf der Quintik z05+…+z45=ψz0…z4 zu berechnen. Für die Spiegelmannigfaltigkeit gibt es wieder (wie schon für die ursprüngliche 3-Faltigkeit) eine nirgends verschwindende 3-Form, die man über die Spiegelmannigfaltigkeit integrieren kann, womit man eine von ψ abhängende Zahl bekommt. Diese Funktion in ψ soll dann, so behaupteten die vier Physiker, die erzeugende Funktion der Nd sein. Auf einer Tagung trugen sie ihre Berechnungen vor. Aus der Behauptung folgt zum Beispiel, dass es auf dieser Quintik 317206375 Kurven vom Grad 3 geben soll – eine für die Mathematiker unglaubliche Vorhersage. Zwei Mathematiker führten eine Computerberechnung durch, mit der sie zu einem anderen Ergebnis kamen. Einen Monat später fanden sie aber den Fehler in ihrem Computerprogramm und nach der Korrektur bekamen sie dasselbe Resultat wie die Physiker. Die Vorhersage der Physik war korrekt gewesen, die Spiegelsymmetrie damit nicht nur für die Physik von die Interesse, sondern auch für das Abzählen von Kurven auf algebraischen Varietäten.

Allgemein soll es Spiegelmannigfaltigkeiten für alle kompakten Kähler-Mannigfaltigkeiten (d.h. komplex n-dimensionale Mannigfaltigkeiten mit kompatibler Metrik) mit c1=0 (oder äquivalent mit einer nirgends verschwindenden holomorphen n-Form) geben, also für die heute als Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten bezeichneten Mannigfaltigkeiten, für die Yau die Calabi-Vermutung (die Existenz einer Kähler-Metrik mit verschwindender Ricci-Krümmung) bewiesen hatte. Aus dem Satz von Riemann-Roch folgt, dass man auf einer generischen Calabi-Yau-3-Faltigkeit W nur endlich viele rationale Kurven von gegebenem Grad hat und die Arbeit der Physiker legte also nahe, dass man ihre Anzahl mit Hilfe der Spiegelmannigfaltigkeit berechnen kann. Konkret sollte die Funktion sich berechnen lassen mit Hilfe eines Differentialoperators vierter Ordnung, der eine gewisse hypergeometrische Reihe zu 0 macht. Ein Modell einer konformen Feldtheorie, die mit rationalen Kurven auf W zu tun hat, soll äquivalent sein zu einem Modell, das auf den Perioden holomorpher 3-Formen auf der Spiegelmannigfaltigkeit beruht. Damit kann man Probleme zu rationalen Kurven in Probleme zur Picard-Fuchs-Gleichung für Perioden holomorpher Formen auf der Spiegelmannigfaltigkeit übersetzen. Obige hypergeometrische Reihe ist eine dieser Perioden. (Nachdem die Spiegelsymmetrie ursprünglich eine Beziehung zwischen der Anzahl rationaler Kurven und den Koeffizienten der Perioden der harmonischen Strukturen als Funktion auf dem Modulraum komplexer Strukturen auf Calabi-Yau-3-Faltigkeiten herstellen sollte, bemerkte man später, dass man auch Voraussagen treffen kann für die Anzahl der Kurven höheren Geschlechts und für Varietäten höherer Dimension.)