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Theorema Magnum MXMIII: Mirrorsymmetrie für Calabi-Yau-Hyperflächen in torischen Varietäten

Von / 26. August 2021 / 1 Kommentar / Seite 2 von 2 / Auf einer Seite lesen
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Die ursprüngliche (physikalische) Motivation der Spiegelsymmetrie waren sogenannte Yukawa-Paarungen auf den Kohomologiegruppen H2,1(W) und H1,1(W) einer Calabi-Yau-3-Faltigkeit W. (Yukawa-Paarungen sind Formen auf der Kohomologie einer Calabi-Yau-3-Faltigkeit, die in der Physik als Korrelationsfunktion eines Modells der konformen Feldtheorie vorkommen.) Während man die Yukawa-Paarung auf H2,1(W) mathematisch über die Deformationen der komplexen Struktur definieren kann, läßt sich die Yukawa-Paarung auf H1,1(W) zunächst nicht mit den Methoden der klassischen algebraischen Geometrie definieren. Die Spiegelsymmetrie war nun der Trick der Physiker, mit dem sie die mysteriöse Yukawa-Paarung auf H1,1(W) über die Deformationen der komplexen Struktur auf der Spiegelmannigfaltigkeit W’ definierten.

Es gab noch andere Gründe, an eine Dualität zwischen komplexen und symplektischen Mannigfaltigkeiten zu glauben. So wußte man aus einem relativ elementaren analytischen Lemma Mosers, dass die Deformationen symplektischer Strukturen der zweiten Kohomologie entsprechen. Andererseits entsprachen nach der Theorie von Kodaira und Spencer die Deformationen komplexer Strukturen der ersten Kohomologie mit Koeffizienten in der Garbe holomorpher Vektorfelder. Die beiden Kohomologiegruppen sind isomorph, die Modulräume könnten also übereinstimmen.

Eine wichtige Invariante von Kähler-Mannigfaltigkeiten sind die Dimensionen der Kohomologiegruppen hp,q=dim(Hq(X,Ωp)) der Garbe der holomorphen p-Formen (oder äquivalent die Dimension des Raumes der harmonischen (p,q)-Formen), die man sich in Form eines Diamanten angeordnet denkt, des “Hodge-Diamanten”.

Man hat die Symmetrien hp,q=hq,p (durch komplexe Konjugation) und hp,q=hn-p,n-q (nach Serre-Dualität). Berechnen kann man diese Hodge-Zahlen beispielsweise für vollständige Durchschnitte mit dem Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch durch eine von Hirzebruch beschriebene erzeugende Funktion. Für die Spiegelmannigfaltigkeit soll nun der Diamant gerade der gespiegelte sein, also der hp,q-Eintrag gerade dem hn-p,q-Eintrag der ursprünglichen Mannigfaltigkeit entsprechen – deswegen der Name Spiegelsymmetrie.

Der erste Fall, für den man die Spiegelsymmetrie beweisen konnte, betraf Calabi-Yau-Hyperflächen in “torischen Varietäten” (Varietäten mit einer C*-Wirkung) in zwei 1993 und 1994 im Duke Mathematical Journal bzw. im Journal of Algebraic Geometry veröffentlichten Arbeiten “Variations of the mixed Hodge structure of affine hypersurfaces in algebraic tori” und “Dual polyhedra and mirror symmetry for Calabi-Yau hypersurfaces in toric varieties” von Viktor Batyrev. Torische Varietäten kann man durch Polytope beschreiben. Batyrev charakterisierte diejenigen Polytope, für die man als Hyperflächen der entsprechenden torischen Varietäten Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten bekommt, und er bewies, dass sich in diesem Fall Spiegelsymmetrie gerade durch die kombinatorische (polare) Dualität der assoziierten Polytope manifestiert. Damit hat man eine präzise mathematische Definition der Spiegelmannigfaltigkeit und die Yukawa-Paarungen lassen sich einfach durch Deformationen der klassischen Hodge-Strukturen berechnen. Das war die erste Klasse von Varietäten, für die dieses Problem mit mathematischen Methoden gelöst werden konnte.

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Kommentare (1)

  1. #1 Fluffy
    28. August 2021

    Ein klassischer Satz, bewiesen 1849 von Cayley und Salmon, besagt die Existenz von genau 27 Geraden auf jeder kubischen Fläche in CP3

    Eine Gerade ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Das heißt durch 54 Punkte sind die 27 Geraden bestimmt. Es geht aber auch mit weniger Punkten, da ein Punkt mit mehreren anderen verbunden kann. 2 Punkte definieren 1 Gerade, 3 Punkte bilden 3 Geraden, 4 Punkte bilden 6 Geraden usw. Allgemein bilden n Punkte n(n-1)/2) Geraden. Das sind sogenannte Dreieckszahlen. Die ersten Dreieckszahlen sind also
    1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 …
    Die 27 ist keine Dreieckszahl, folglich kann man keine Punktmenge finden, die jeder mit jedem verbunden, die 27 Geraden definieren.
    Aber man kann versuchen, die 27 als Summe mehrerer Dreieckszahlen darzustellen. Da die 1 ebenfalls eine Dreieckszahl ist, gibt es eine ganze Reihe solcher Möglichkeiten. Durch die Methode endlichen Probierens (MeP) kann man diese alle finden.
    Beispiele sind: 27 = 21+6*1 oder 27 = 21+3+3, 27 = 15+6+6. Die kürzeste Summe wäre
    27 = 21+6.
    Diesen entsprechen jeweils eine bestimmte Anzahl von Punkten. So lassen sich 21 Geraden durch 7 Punkte bilden und 6 Geraden durch 4 Punkte. Man kann zeigen, dass diese Punkte die kleinste Menge sind, die diese 27 Geraden definieren können. Im Allgemeinen hängt das von der Art der Oberfläche ab. Bei jeweils 4 Punkten alle untereinander verbunden, schneiden sich jeweils 3 Geraden in einem Punkt. Diese bilden die sogenannten Eckhardt-Punkte. Das heißt wir hätten in diesem Fall die Zahl von 4 Eckhardt-Punkten. Es gibt noch einige andere Möglichen mit der 6 als Summand. Interessant ist es zu untersuchen, für welche Oberflächen möglichst viele der Geraden durch jeweils einen gemeinsamen Punkt gehen.

    Abschließend bedenke man, dass alle diese Geraden im Gegensatz zu einer Ebene windschief im Raum liegen können. Das heißt, zwei unterschiedliche Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt. In der 2-Dimensionalen Ebene geht das nur mit Parallelen, ein wesentlicher Unterschied zu höherdimensionalen Geometrien.