Theorema Magnum MIM: Vergleich der Regulatoren von Beilinson und Borel

In der algebraischen Zahlentheorie befaßt man sich hauptsächlich mit Zahlkörpern und eine zentrale Frage ist, ob man dort eindeutige Primfaktorzerlegungen hat. Dies ist genau dann der Fall, wenn jedes Ideal im Ganzheitsring des Zahlkörpers ein Hauptideal ist, also wenn der Zahlkörper die Klassenzahl 1 hat. (Die Klassenzahl ist die Anzahl der Elemente der Idealklassengruppe, diese ist definiert als die Gruppe der Ideale modulo der Hauptideale.) Zum Beispiel hat man für den Zahlkörper K=Q(i√5) die Klassenzahl h_K=2. Die Nichteindeutigkeit der Primzerlegung im Ganzheitsring O_K=Z[i√5] sieht man zum Beispiel an 2.3=(1+i√5).(1-i√5).

Eine Formel zur Berechnung der Klassenzahl fand bereits 1839 Dirichlet. (Damals kannte man noch keine Zahlkörper, seine Formel berechnete die Klassenzahl quadratischer Formen, was aber äquivalent ist, jedenfalls für quadratische Zahlkörper. Gauß soll die Formel auch schon gekannt haben. Dirichlet verwendete diese Formel um die Existenz unendlich vieler Primzahlen in arithmetischen Folgen zu beweisen.) In Dirichlets Klassenzahlformel steht auf der linken Seite das Residuum der Riemannschen Zetafunktion (bzw. in Dirichlets Formulierung einer gewissen L-Reihe) in s=1. Dieses Residuum kann man berechnen, indem man die Residuen der zu den verschiedenen Primzahlen gehörenden Euler-Faktoren berechnet, es handelt sich also um eine „lokale“ (für jede Primzahl leicht zu bestimmende) Größe. Auf der rechten Seite der Klassenzahlformel kommen neben der Klassenzahl noch weitere (berechenbare) Invarianten des Zahlkörpers vor, darunter der Dirichlet-Regulator. Mit dieser Formel wird von heutigen Computeralgebrasystemen die Klassenzahl von Zahlkörpern berechnet.

Der in der Klassenzahlformel vorkommende Dirichlet-Regulator ist ein Nebenprodukt des Dirichletschen Einheitssatzes. Dieser besagt, dass die Einheitengruppe im Ganzheitsring eines Zahlkörpers ein Gitter in R^r+s ist. Dabei sind r die Anzahl der Einbettungen K—>R und s die Anzahl der Paare komplex-konjugierter Einbettungen K—>C. Für einen quadratischen Zahlkörper K=Q(√D) ist zum Beispiel r=2,s=0 falls D>0 und r=0,s=1 falls D<0. Man kann dann eine „Regulatorabbildung“ von O_K nach R^r+s definieren, indem man für die r reellen und s komplexe Einbettungen jeweils den Logarithmus des Betrags des Bildes eines Elements betrachtet.
Das Bild unten zeigt den Fall K=Q(√2), wo die beiden reellen Einbettungen x+y√2 auf x+y√2 bzw. x-y√2 abbilden und der Regulator dementsprechend x+y√2 auf abbildet. Die Punkte sind also das Bild von O_K unter der Regulatorabbildung. Die Einheitengruppe von O_K liegt auf der blau gezeichnete Gerade, man sieht die durch Dirichlets Einheitensatz gegebene Einbettung der Einheitengruppe als Gitter in R¹. Der Erzeuger der Einheitengruppe ist 1+√2, was auf abgebildet wird. Der Dirichletsche Einheitensatz besagt in diesem Fall, dass die Einheitengruppe ein Gitter in R¹ und ihr Rang also 1 ist.

Allgemein ist die Einheitengruppe O_K* ein Gitter in R^r+s-1 und das Kovolumen des Gitters ist der in der Klassenzahlformel vorkommende Dirichlet-Regulator.

Die Anfang der 70er Jahre von Quillen entwickelte algebraische K-Theorie sollte zahlreiche Verbindungen zu Algebra und Zahlentheorie haben. Ein Beispiel dafür ist die Verallgemeinerung der Klassenzahlformel. Die im Dirichletschen Einheitensatz vorkommende Einheitengruppe O_K* ist dasselbe wie K₁(O_K) und dies brachte Borel auf die Idee, für beliebige i einen ebenfalls als Regulator bezeichneten Homomorphismus r:K_2i-1(O_K)—>R^d (mit d=r+s für ungerade i und d=s für gerade i) zu definieren, deren Bild ein Gitter in R^d sein soll.
Borel gelang es die stabile Kohomologie arithmetischer Gruppen Γ zu berechnen, indem er zeigte, dass bis zu einem gewissen Grad die Kohomologie von Γ isomorph zu den Γ-invarianten Differentialformen auf dem zugehörigen symmetrischen Raum G/K ist, die man berechnen kann. Für SL(O_K) bekam er so, dass die Dimension der (2i-1)-ten Kohomologiegruppe gerade obiges d (also r+s für ungerade i, s für gerade i) ergibt.
Die K-Theorie eines Ganzheitsrings O_K stimmt (modulo Torsion) mit der Kohomologie von SL(O_K) (im stabilen Rang) überein. Der Rang von K_2i-1(O_K) ist also d und der Borel-Regulator bildet K_2i-1(O_K) auf ein Gitter in R^d ab. (Dagegen sind die Gruppen K_2j(O_K) endlich, haben also Rang Null.)
Stephen Lichtenbaum stellte 1973 die Vermutung auf, dass das Kovolumen R_i dieses Gitters (relativ zu einem geeignet gewählten „Einheitsgitter“)  ist, man also einen Zusammenhang zwischen den Werten der Zetafunktion des Körpers und der algebraischen K-Theorie des Ganzheitenrings herstellen kann. Für i=1 entspricht das der Klassenzahlformel.

In der Zahlentheorie interessiert man sich für sogenannte „Perioden“, die man als Integrale algebraischer Differentialformen über Gebiete, die durch algebraische Gleichungen oder Ungleichungen mit rationalen Koeffizienten gegeben sind, erhält. Alle algebraischen Zahlen und viele andere interessante Zahlen wie π, 2πi oder die Logarithmen natürlicher Zahlen sind Perioden, ebenso wie auch die Werte der Riemannschen Zeta-Funktion an ganzzahligen Stellen.
Pierre Deligne stellte 1979 die Vermutung auf, dass die Werte motivischer L-Funktionen an sogenannten kritischen Werten algebraische Vielfache der Determinante einer Matrix seien, deren Einträge Perioden sind. Tatsächlich hatte er die genaue Form dieser Periodenmatrix postuliert in Termen der Filtrierung der Kohomologiegruppen. Nicht alle speziellen Werte von L-Funktionen fielen unter diesen Begriff der kritischen Werte, zum Beispiel war das nicht der Fall für die Klassenzahlformel oder die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung, die den Rang einer elliptischen Kurve mit der Ordnung ihrer L-Funktion in s=1 gleichsetzt. In diesen Fällen involvierte die vermutete Formel einen “Regulator”, der die Determinante einer gewissen Matrix ist. (Bei der Klassenzahlformel sind die Einträge die Logarithmen der Einheiten, bei der Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung die Höhen rationaler Punkte.) Scholl zeigte später, dass dieser Regulator ebenfalls aus Perioden berechenbar ist.