Theorema Magnum MMIII: die Poincaré-Vermutung

Insbesondere betrachtete Hamilton in einer 1982 im Journal of Differential Geometry erschienenen Arbeit „Three-Manifolds with positive Ricci curvature“ den Ricci-Fluss für die Ricci-Krümmung, bzw. in normalisierter Form für die über die Mannigfaltigkeit gemittelte Skalarkrümmung r(g(t)). Dabei ist g(t) eine sich mit der Zeit ändernde Riemannsche Metrik, ausgehend von einer Metrik g(0). Wenn dieser Fluß konvergiert, dann ist der Grenzwert eine Einstein-Metrik (d.h. Metrik konstanter Ricci-Krümmung), was im speziellen Fall 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten äquivalent zu konstanter Schnittkrümmung ist. Wenn die Ausgangsmetrik g(0) positive Ricci-Krümmung hat, konnte Hamilton zeigen, dass der Ricci-Fluss tatsächlich konvergiert, man also eine Metrik konstanter positiver Schnittkrümmung bekommt, womit in diesem speziellen Fall die Poincaré-Vermutung folgt.

Im allgemeinen Fall stieß Hamiltons Ansatz jedoch auf Hindernisse. Unter dem Ricci-Fluß bildet eine Mannigfaltigkeit Singularitäten aus: Hälse und, noch problematischer, Zigarren. Perleman schrieb Mitte der 90er Jahre eine Arbeit über Kollaps, die hilfreich sein würde, sobald man das Zigarrenproblem gelöst hatte.

Die Flußgleichung ist eine (schwach) parabolische partielle Differentialgleichung. Es gibt zwei Fälle, in denen sie konvergiert. Wenn Ric>0, dann fließt sie gegen einen Punkt in endlicher Zeit. Die Renormierung mit der zeitabhängigen Funktion 2r(g(t))g(t) bewirkt, dass der Durchmesser konstant bleibt, und gibt eine 1-Parameterfamilie von Metriken, die gegen eine Metrik konstanter positive Krümmung konvergiert – das war Hamiltons Resultat. Zweitens hatte Hamilton auch bewiesen, dass wenn der Fluß für alle Zeiten existiert und geeignete geometrische Schranken gelten, nach der Reskalierung zu konstantem Durchmesser man Konvergenz gegen eine Metrik konstanter negativer Krümmung hat.
Resultate im allgemeinen Fall sind viel komplizierter zu formulieren und schwieriger zu beweisen. Hamilton bewies jedenfalls die Kurzzeitexistenz von Lösungen der Flußgleichung. Andererseits hat man beispielsweise bei zusammenhängenden Summen immer Singularitäten in endlicher Zeit, was einfach durch die Topologie erzwungen wird. Und selbst bei einfacher Topologie hat man meist Singularitäten in endlicher Zeit. Deshalb muß man einen Fluß mit Chirurgien betrachten, was Hamilton mehr als zehn Jahre nach seiner ersten Arbeit in niedrigen Dimensionen versuchte. Man führt in einer diskreten Menge von Zeitpunkten Chirurgien durch, bei denen sich der topologische Typ der Mannigfaltigkeit ändert.

Hamilton bewies, dass in Singularitäten die Schnittkrümmung gegen Unendlich geht und versuchte dann durch Reskalieren die Singularitäten zu analysieren. Man nimmt also eine konvergente Folge von reskalierten Lösungen und betrachtet den Grenzwert. Wenn er existiert, muß er sehr speziell sein: er existiert für alle negative Zeiten (man spricht von anzienten Lösungen) und hat nichtnegative Krümmung – das folgt aus der Hamilton-Ivey-Abschätzung und es bedeutet im 3-dimensionalen, dass man Chirurgien nur an 2-Sphären durchführen muß, was für topologische Anwendungen natürlich nützlich ist. Nach der Chirurgie entfernt man dann die Stücke, deren Geometrie S2xS1 oder S3 ist und man möchte beweisen, dass dieser Fluß mit Chirurgie dann für alle Zeit existiert.

Die Existenz des Grenzwerts, also einen Kompaktheitssatz bewies Hamilton unter der Annahme von gleichmäßigen Krümmungsschränken auf Kugeln und gleichmäßigen unteren Schranken für den Injektivitätsradius im Basispunkt. Die Krümmungsschranken bekommt man, wenn die Aufblasungspunkte sorgfältig auswählt. Das Problem war, die Schranke für den Injektivitätsradius zu beweisen und die dann möglichen Grenzwerte zu bestimmen.

Über diese Fragen arbeitete Perelman sieben Jahre in Isolation und veröffentlichte dann 2002/03 in kurzer Folge drei Arbeiten auf dem ArXiv. Geometrisierung wurde dort nicht erwähnt, doch die Kollegen erkannten gleich, dass es sich um eine große Sache handelte. Ein früherer Bekannter aus Sowjetzeiten, inzwischen in den USA tätig, fragte ihn schließlich per e-Mail, ob es zutreffe, dass seine Arbeiten zwar nicht in allen Fällen die Existenz des Flußes mit Chirurgie für alle Zeiten zeige, die von ihm behandelten Fälle aber ausreichten, um Geometrisierung zu beweisen. “Das ist korrekt. Grisha” schrieb Perelman nur zurück.

Seine wichtigste neue Entdeckung waren gewisse Quantitäten, mit denen er zeigen konnte, dass die Mannigfaltigkeiten während des Flußes nicht kollabieren, dass die Krümmungsschranken also untere Schranken für den injektivitätsradius implizieren. Diese Quantitäten nannte er Entropie und reduziertes Volumen. Beide Größen sind monoton entlang des Flusses und haben die richtigen Skalierungseigenschaften, weshalb sie (nach den Reskalierungen) konvergieren. Man bekommt für die Reskalierungen beschränkte Krümmung in beschränktem Abstand, womit nach der Reskalierung der Aufblasungsgrenzwert existiert. Wenn der Fluß konvergiert, muß sein Grenzwert konstantes reduziertes Volumen haben. Damit konnte Perelman die möglichen Aufblasungsgrenzwerte des Flusses klassifizieren. Weiter erhielt er den Satz über kanonische Umgebungen: jede Umgebung hoher Skalarkrümmung entspricht nach Reskalierung der entsprechenden Umgebung in einem Aufblasungsgrenzwert.