Für die Chirurgien, wo man also entlang von 2-Sphären aufschneiden will, mußte man beweisen, dass es keinen Häufungspunkt der Zeiten gibt, zu denen Chirurgien durchgeführt werden müssen. Das Problem dabei ist, dass frühere Chirurgien die Gültigkeit der beiden bewiesenen Sätze – des Satzes über kanonische Umgebungen und des Satzes über keinen lokalen Kollaps – ungültig machen könnten. Das war ein technische Problem, welches Perelman letztlich durch Wahl der Chirurgieparameter und Chirurgie an den richtigen Stellen löst.
Für das Langzeitverhalten konnte er auf einen von Colding und Minicozzi in ihren Arbeiten über Minimalflächen bewiesenen Satz zurückgreifen. Wenn M einfach zusammenhängend ist, dann bleibt nach endlich vielen Chirurgien nur die leere Menge übrig, die Mannigfaltigkeit ist also zusammenhängende Summe von Quotienten der S3 und S1xS2. Weil sie einfach zusammenhängend ist, muss sie also die S3 sein.
Wenn die 3-Mannigfaltigkeit nicht einfach zusammenhängend ist, hat Perelman eine Dick-Dünn-Zerlegung. Für den dicken Teil hat er beidseitige Krümmungsschranken und beweist, dass er gegen eine hyperbolische Mannigfaltigkeit (bis auf einen Faktor 2) konvergiert. Der dünne Teil hat lokal kollabierendes Volumen, aber untere Krümmungsschranken und mit Hilfe einer Arbeit von Shioya und Yamaguchi beweist Perelman, dass für große Zeiten der dünne Teil eine Graphmannigfaltigkeit ist. Damit ist also jede 3-Mannigfaltigkeit zusammenhängende Summe von Mannigfaltigkeiten, die sich in hyperbolische Mannigfaltigkeiten und Graphmannigfaltigkeiten zerlegen lassen, was Thurstons Geometrisierungsvermutung beweist.
Schnell begannen Mathematiker in der ganzen Welt, die Arbeiten zu lesen. Perelman hielt zunächst auch einige Vorträge, zu denen er an einer Reihe wichtiger Universitäten eingeladen wurde. Drei Gruppen machten sich daran, die Einzelheiten des Beweises aufzuschreiben: Kleiner und Lott in Michigan, Morgan und Tian, sowie Cao und Zhu, zwei frühere Studenten Yaus. Perelmans Beweis stimulierte zahlreiche neue Anwendungen von Krümmungsflüssen nicht nur in der 3-dimensionalen Topologie.
Kommentare (1)