Wie komplexe Zahlen erfunden wurden

Von Thilo / 7. November 2021 / 64 Kommentare

In der Lösungsformel für kubische Gleichungen kommen imaginäre Zahlen vor, und zwar auch dann, wenn das Endergebnis reell ist. Man kann sie einfach nicht vermeiden – das führte im 16. Jahrhundert zur Anerkennung der komplexen Zahlen.
Und in Physik und Elektrotechnik beschreibt man Schwingungen durch komplexe Zahlen, weil man so bequemer rechnen kann. Natürlich könnte man statt mit e^ix auch mit dem Realteil cos(x) rechnen, und eigentlich interessiert einen ja nur der Realteil, aber komplex werden die Rechnungen dann doch einfacher.
Das und mehr erzählt ein neues Video „How imaginary numbers were invented“ von Veritasium.

Kommentare (64)

#1 Markweger
7. November 2021

Na ja, bei der Lösung kubischer Gleichungen setzt man etwas Null was unter gewissen Voraussetzungen überhaupt nicht Null sein kann.
Man hat trotzdem eine Lösung gefunden wo man zwei Zahlen mit bestimmten Rechenregeln verbindet.
Das nennt man dann Rechnen mit Komplexem Zahlen.
Mehr ist es ganz einfach nicht.
#2 rolak
7. November 2021

Mehr ist es ganz einfach nicht.

Bravo! Ein Niveau der geistigen Durchdringung, auf das mein Goldfisch sich erst letzten Montag steigern konnte. Bei Grammatik scheint er jedoch schon etwas weiter zu sein.
#3 Gerald Fix
7. November 2021

Ich erlaube mir, dazu einen Witz einzustellen:
Der Nerd erzählt: “Meine Freundin ist eine √-100. Eine 10, aber rein imaginär.”
#4 hwied
7. November 2021

Danke für dieses erhellende Video. Zum ersten Mal verstehe ich, was e hoch ix beschreibt.
#5 Karl-Heinz
Graz
7. November 2021

@hwied

e^(i*phi) = cos(phi) + i*sin(phi)

e^(i*phi) … ist nicht nur eine symbolische Schreibweise. e hoch etwas imaginäres kann man wirklich durch ein e hoch i*phi ausrechnen. ;-)⁸
#6 hwied
7. November 2021

Karl-Heinz
Genauso spannend ist der Gebrauch dieser Einsicht bei Schrödinger. Und dass die Intensität zweier Lichtstrahlen, also ihr Quadrat, mit komplexen Zahlen erklärbar wird. (hoffentlich ist das richtig formuliert)
#7 Karl-Heinz
Graz
7. November 2021

@hwied
In der Elektronik könnte ich sogar erklären warum man zum Beispiel bei Netzwerken
komplexe Zahlen verwenden kann und darf und warum das die Berechnung so elegant macht.
Warum man das bei der Quantenphysik macht?
Keine Ahnung? Vielleicht weiß es ein Mit Kommentator. 😉
#8 aristius fuscus
7. November 2021

@Karl-Heinz
Dieser Mitkommentator wusste es zwar nicht, hat aber nicht weit von hier einen wirklich ausgezeichneten Artikel gefunden, in dem das erklärt wird: https://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2010/10/31/die-schrodingergleichung-teil-iv-alles-im-kasten/
Auch in der QM ist das nur ein Rechentrick, sobald es zu beobachtbaren Grössen kommt, fliegen die Imaginärteile raus.
#9 Karl-Heinz
Graz
7. November 2021

@aristius fuscus

Danke für die Info.
Ich werde es mir angucken. 🙂
#10 hwied
7. November 2021

aristius fuscus, Karl-Heinz
MartinB ist ein Zauberkünstler mit einem komplexen IQ.
Karl-Heinz, du meinst aber nicht den Blindstrom?
#11 Karl-Heinz
Graz
7. November 2021

@hwied

Karl-Heinz, du meinst aber nicht den Blindstrom?

Kommt auch vor.
Was ist der Blindstrom?
Zwischen Spannung und Strom gebe es ein Phasenverschiebung φ.
Dann ist der Blindstrom jener Anteil (Komponente) vom Gesamtstrom der 90° zur Spannung Phasenverschoben ist.
Alles klar?
#12 hwied
8. November 2021

Nachwort zum Sonntag
Wie versucht eine Blondine einen Vogel umzubringen ?
#13 Karl-Heinz
Graz
8. November 2021

@hwied

Wie versucht eine Blondine einen Vogel umzubringen ?

Sie wirft ihn vom Balkon! 🙂
#14 hwied
8. November 2021

Karl-Heinz
hey, du bist ja richtig gut, keine Spur von Corona.
#15 Joachim
8. November 2021

@Karl-Heinz #7
Lustiger … finde ich, dass sich nach #7 sofort e^(pi i) = -1 ergibt.
#16 Karl-Heinz
Graz
8. November 2021

@Joachim

Ja stimmt.
e^(i*φ) ist ein Zeiger der Länge 1, der in der komplexen Ebene, der um den Winkel φ von φ=0 ausgehen um φ in Radianten gegen den Uhrzeigersinn gedreht wird.
e^(i*0) = e^0 =1
e^(i*π) = -1 … Drehung des Zeigers um π bzw. 180°

Zumeist schreibt man diesen schönen Zusammenhang so an: e^(i*π) +1 = 0
#17 Bernd
Hildesheim
8. November 2021

i hoch i ergibt 0.20787957635…, eine reelle Zahl.
Man kann “i hoch i” in das Suchfeld von google eingeben.
#18 Karl-Heinz
Graz
8. November 2021

i^i = e^(-π/2 + 2kπ)
Für k=0 … 0.20787957635076
Für k=1 … 111.317778489856
Für k=2 … 59609.7414928722
Usw.
#19 Karl-Heinz
Graz
8. November 2021

Für k= -1 … 0.00038820320393
#20 schlappohr
8. November 2021

Ich erinnere mich an ein dunkles Zeitalter, als ich in der Berufsschule die Grundlagen der Wechelstromtechnik mit trigonometrischen Funktionen und deren unsäglichen Theoremen durchrechnen musste. Ströme, die der Spannung vor- oder nacheilen, und induktive/kapazitive Blindwiderstände boten aufgrund ihrer Mathematik genug Stoff für eine ganze Staffel von Alpträumen.
Viel später im Studium wurde das ganze mittels komplexer Zahlen nocheinmal wiederholt, und die absurd komplizierten Geichungen fielen in sich zusammen und wurden zu einfacher Bruchrechnung. In der digitalen Signalverarbeitung fand das ganze dann seine Vollendung. Seitdem liebe ich die komplexen Zahlen.
#21 Thilo
8. November 2021

i hoch i ist e hoch -pi/2 : https://scienceblogs.de/mathlog/2011/04/02/max-ernst-euklid-und-ii/
#22 Ingo
8. November 2021

Vorweg:
Hier spricht der Leihe, und ich hoffe auf ausreichend Widerspruch 🙂

Ich bin ehrlich gesagt nicht zu 100% ueberzeugt, und gehoere eher zu der Fraktion die meint, dass es sich meistens (aber nicht immer) um normale 2D-Vektoren handelt.

Mit folgender Begruendung:

Das Argument fuer komplexen Zahlen ist oft “Rotationen lassen sich soooo elegant mit e^(i*winkel) darstellen”

Manchmal habe ich das Gefuehl, dass diese “Eleganz” einfach darin begruendet liegt, dass es fuer Rotationen mit normalen Vektoren keine elegante Notation fuer Rotationen gibt. Rotationsmatrizen sehen einfach furchtbarer aus, als die “e^i*Winkel”-Schreibweise.
Es gibt (meines Wissens) keine Schreibweise fuer “Vektor rotate 1/4pi” (abgesehen von Rotationsmatrixen).
Da bei der eigentlich Rotations-Berechnung letztendlich dann doch die Trigonomischen Funktionen herangezogen werden, ist es letztendlich genaugenommen nur eine elegantere Notation und nichts weiter.
Nirgendwo bei der konkreten Berechnung von e^i wird tatsaechlich die e-Zahl verwendet.
Man hat (als Leihe) irgendwie das Gefuehl, dass das Potenzieren folgendermassen definiert ist:
a^b = a*a*…*a (b-mal)
ausser bei a^i, denn dann gilt ploetzlich:
a^i*winkel = a* (cos(winkel) + a*sin(winkel) i)
Fuer mich wirkt diese Potenzierungs-Definition nicht sehr elegant, zumal letztendlich dann doch genau die Rotationsmatrixen (in anderer Form) verwendet werden.

Mir ist natuerlich bewusst, dass Komplexe Zahlen und 2D-Vektoren vollstaendig gegenseitig abbildbar sind, was mich um so mehr fragen laesst, was nun eigentlich die Unterschiede sind (abgesehen von Notationen)

Ein echter Unterschied zu Vektoren besteht doch nur dann, wenn die beiden Achsen tatsaechlich unterschiedliche Eigenschaften haben.
(2+0i) * (3+0i) = (6+0i)
(0+2i) * (0+3i) = (-6+0i)
da ist tatsaechlich ein Unterschied.
Hier wuerde ich es dann auch gelten lassen, dass es sich nicht um Vektoren handelt,- da bei Vektoren normalerweise die jeweiligen Basisvektoren gleiche Eigenschaften haben.
Bei Vektoren musste daher gelten:
(2,0) [irgendeine Operation X] (3,0) = (6,0)
(0,2) [irgendeine Operation X] (0,3) = (0,6)
Daher gibt es bei klassischen Vektoren auch Operation wie die Multiplikation bei komplexen Zahlen.
Wenn ich aber einfach nur eine Rotation ausdruecken will,- dann benoetige ich streng genommen jedoch nicht die Definitionen i^2=-1 und e^i*pi = -1

(Aber eventuell habe ich die e^i*pi auch einfach nur angewendet, aber nicht verstanden)

—

Dann hoert man oft “komplexe Zahlen gibt es auch in der Quantenphysik, also sind sie real”.

Ist das wirklich so?

Die komplexen Zahlen werden in der Quantenphysik oft nur angezogen um Winkel in der Wellenfunktion miteinander zu vergleichen, um so zu bestimmen ob sich irgendetwas gegenseitig weg-interferiert oder nicht.
Bei der eigentlichen Messung (bzw. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit) ist es dann aber unerheblich, ob die Schwingung in der reellen oder der imaginaeren ebene Schwingt. Nicht der Realanteil ist entscheidend, sondern die Laenge des Vektors.
Damit haben dann die beiden Achsen aber die gleichen Eigenschaften, sodass es sich doch eher um Vekotren (und nicht um komplexe Zahlen) handelt.
Komplexe Zahlen wurden dann nur verwendet, da die Schreibweise eleganter ist.
#23 schlappohr
8. November 2021

@Ingo
Mit der gleichen Argumentation könntest du die Existenz der negativen Zahlen anzweifeln. Damit kann man zwar bequem rechnen, aber in der Natur ist nun mal alles positiv: Längen, Massen, Energie. Und Schulden sind im Endeffekt auch nur Geld, das jemand anders hat.

Aber das ist nicht der entscheidende Punkt. In dem Moment, wo du die Gegenoperation zur Addition auf natürlichen Zahlen durchführen willst, kommen zwangsläufig die negativen und damit die ganzen Zahlen ins Spiel. Wenn du quadratische Gleichungen lösen willst, holst du zwangsläufig die Imaginären und damit komplexen Zahlen ins Boot.
Die Existenz der komplexen Zahlen ergibt sich aus der Notwendigkeit, alle Lösungen für bestimmte Gleichungen zu finden. Ja, sie sind ein mathematisches Konstrukt, und daher genauso real wie alle anderen mathematischen Konstrukte. Die Tatsache, dass man bestimmte Berechnungen mit den komplexen Zahlen einfacher durchführen kann, aber im Prinzip auch ohne sie auskommen würde, ist kein Indiz für ihre Nichtexistenz. Gleiches gilt für die irreationalen und damit die rellen Zahlen, nur haben wir uns an die schon gewöhnt.
#24 hwied
8. November 2021

Nach i hoch 0 = 1 habe ich den Verdacht, dass 0 keine gewöhnliche Zahl ist, so wie 1,2,3
#25 Ingo
8. November 2021

@Schlappohr #23

> Mit der gleichen Argumentation könntest
> du die Existenz der negativen Zahlen anzweifeln.

Das finde ich ein sehr valides Argument.
Letztendlich streift das Argument die uralte Frage, ob Mathematik denn nun entdeckt, oder erfunden wurde.

Tatsaechlich tendiere ich zu “erfunden”.
Auch negative Zahlen kommen in der Natur so nicht vor.
Bitte verstehe mich nicht falsch.
Ich sage nicht, dass komplexe (oder negative) Zahlen nutzloses Wissen ist.
Ganz im Gegenteil. Diese “Erfindungen” haben die Menschheit weiter gebracht, und ohne sie waeren wir vermutlich in der Bronzezeit stehengeblieben.
Und auch komplexe Zahlen (und ihre einfacherere Notation und Rechenregeln) ist ein Wissen, was es sich lohnt anzueignen.

Aber es ist eben kein Naturgesetz, sondern nur ein Hilfsmittel mit dem man Naturgesetze vereinfacht beschreiben kann.

Sogar eine Zahl wie Pi kommt streng genommen in der Natur nicht vor, weil man in der Natur keinen perfekten Kreis findet.

Sogar eine “2” gibt es streng genommen nicht.
Es gibt “2 Äpfel”, aber nicht “2”

Wenn man also die “Erfundene Mathematik” annimmt, dann darf man sie auch hier und da in Frage stellen.
Naturgesetze (=Entdeckte Mathematik) koennte man nicht in Frage stellen.

Trotzdem verstehe ich natuerlich auch die Gegenseite.
Es gibt einfach so viel interessante Zusammenhaenge, die immer wieder entdeckt werden, sodass man geneigt ist anzunehmen dass es sich tatsaechlich um etwas reales handelt.

Letztendlich bleibt meine Frage aber immer noch offen, ob nicht viele Dinge die mit komplexen Zahlen dargestellt werden, nicht in Wirklichkeit Vektoren sind.

e^i*winkel ist letztendlich nur eine schoene Notation, die aber nichts mit “e” zu tun hat. (bzw: ich habe den Zusammenhang nicht verstanden)

Nur wenn wirklich die beiden Achsen unterschiedliche Funktionen haben (komplexe und reeller Anteil), und i*i=-1 gilt,- dann habe ich es mit komplexen Zahlen (und nicht mit Vektoren) zu tun

(Obwohl ich grade argumentiert habe, dass weder das Vektoren, noch komplexe Zahlen oder Zahlen ueberhaupt existieren 🙂 )
#26 schlappohr
8. November 2021

@Ingo

ich glaube nicht, dass Mathematik “erfunden” wurde. Wenn man sich die natürlichen Zahlen anschaut, kann man damit z.B. zählen oder zusammenzählen (aka addieren). Dabei spielt es keine Rolle, ob man Äpfel, Birnen, Bäume, Knorpelfische oder Sterne zählt, oder abstraktere Objekte, Ideen, Ereignisse, Sonnenuntergänge, Wahrscheinlichkeiten, Kardinalzahlen, oder Löcher in einer Mannigfaltigkeit. Die Regeln sind immer die gleichen, die Ergebnisse sind immer die gleichen. Und das war schon so, bevor die Menschen so etwas wie Zahlen kannten (es würde mich jedenfalls wundern, wenn nicht).

Ich halte Mathematik für das grundlegende Konzept der Realität, so fundamental, dass sich selbst die Naturgesetze mathematisch formulieren lassen. Sie ist die höchste Stufe der Abstraktion.

Was wir hingegen erfunden haben, ist der Formalismus, mit dem wir uns die Mathematik zugänglich machen, z.B. die Vorgehensweise, komplexe Zahlen als e**ix oder a+bi zu schreiben und die formalen Regeln zum Umgang mit Ihnen. Aber das _Konzept_ der komplexen Zahlen haben wir nicht erfunden, sondern entdeckt. Es ergibt sich letztenendes aus der Tatsache, dass man Dinge zählen kann und ist damit a priori real.
#27 Ingo
8. November 2021

@schlappohr #26

> Was wir hingegen erfunden haben,
> ist der Formalismus

Das ist klar.
Die Symbole “2”, “i”, “+” sind selbstverstaendlich irgendwann erfunden worden.

> Ich halte Mathematik für das grundlegende Konzept
> der Realität, so fundamental, dass sich selbst die
> Naturgesetze mathematisch formulieren lassen.

Ich glaube das klassische Gegenbeispiel sind die Formeln die Gravitation beschreiben.
Newton hat damit angefangen.
Irgendwann hat man dann aber bemerkt, dass die Newton-Gravitationsformel nur in einem bestimmten Bereich funktioniert,- und z.b. die Merkur-Bahn-Drehung nicht einwandfrei beschreiben kann.
Anschliessend kam Einstein mit einer neuen Formel (AR) um die Ecke welche die Gravitation besser beschreibt.
Daraus folgt streng genommen, dass die Newton-Formel falsch ist*.

*Bitte nicht falsch verstehen: Es macht trotzdem Sinn sie zu lernen, zu verstehen und anzuwenden. Newton hat uns geholfen zum Mond zu fliegen.

Jetzt kommt die Quantenphysik um die Ecke, und versucht herauszufinden, ob Gravitation quantisiert ist und ob es Gravitonen gibt. Waere dies so,- so waeren die Feldgleichungen der allgemeinen Relativitaetstheorie auch falsch, in dem Sinne, dass sie nicht alle Phenomene der Gravitation beschreiben, und teileweise falsche Vorhersagen machen.

Die naechste Frage waere also:
Ist das nur bei der Gravitation so, oder sind alle Formeln nur in bestimmten Grenzen gueltig.

Ist das ein Problem, dass die Menschheit einfach zu bloed ist eine allgemein-gueltige Formel aufzustellen, oder ob es sie prinzipiell nicht geben kann.

Der Sinn solcher Formeln ist es letztendlich die Abhaenigkeiten zwischen bestimmten Groessen zu modelieren, und aus der Kenntniss dieser abhaenigkeiten Vorhersagen zu machen.
Oft genug sind Abhaenigkeiten aber nur unter bestimmten Vorraussetzungen gueltig, und daher auch die damit gefolgerten Vorhersagen in Extremsituationen falsch.*

* Auch hier bitte nicht falsch verstehen. Ich betone es, weil es mir so wichtig ist, dass niemand denkt, dass ich denke die Formeln waeren alle Quatsch. Dass ein Paul Dirac sich ein paar Formeln angeschaut hat, und daraus die Antimaterie vorhersagen konnte ist eines der vielen Beweise dafuer, dass der Formalismus definitiv wichtig, sinnvoll und unglaublich wertvoll ist.

Sogar in ganz einfachen Situationen koennen mathematische Vorhersagen zusammenbrechen.
1 Apfel + 1 Apfel = 2 Aepfel.
10.000 Aepfel + 10.000 Aepfel auf einen Haufen geworfen sind jedoch nicht 20.000 Aepfel, sondern 19.000 Aepfel und Apfelmatsch von den untersten Aepfeln.
In der Natur gibt es letztendlich nur irgendwelche Apfelatome die durch Kraefte zusammen gehalten werden, und mit Kraeften auseinandergezogen werden koennen. (Und selbst dieses Bild ist stark vereinfacht bis falsch)

Fortschritt gibt es immer dann
* wenn man neue Zusammenhaenge und Abhaenigkeiten erkannt hat (und diese mit mathematischen Mitteln auch formulieren kann)

aber auch wenn

* wenn man erkennt, wann diese Zusammenhaenge und Abhaenigkeiten ploetzlich nicht mehr gueltig sind, und sich daher ein “Tor zu neuer Forschung” oeffnet
#28 Markweger
8. November 2021

Auch die Negativen Zahlen sind am Ende nichts anderes als eine Zusammenfassung von Rechenregeln.
Und das Plus/Minus Zeichen bei der Lösung quadratischer Gleichungen ist letztendlich nicht mehr als die Zusammenfassung zweier Lösungen.
Diese Plus/Minus Regel macht sonst auch keinen Sinn.
#29 schlappohr
9. November 2021

@Ingo

Die Symbole “2”, “i”, “+” sind selbstverstaendlich irgendwann erfunden worden.

Ich meine nicht die Symbole, wie sind beliebig austauschbar. Ich meine den formalen Umgang mit diesen Symbolen. Welche Transformationen müssen wir mit einer Gleichung auf einem Blatt Papier machen, um sie nach einer bestimmten Variablen aufzulösen, ohne die Aussage der Gleichung zu verändern. Beispielsweise die Regeln zur Addition zweier komplexer Zahlen in kartesischer Darstellung.

Ich glaube das klassische Gegenbeispiel sind die Formeln die Gravitation beschreiben.

Newton konnte noch keine Kenntnis der Relativität haben, deswegen war seine Beschreibung unvollständig (und nicht falsch!). Die ART ist auch unvollständig, weil sie in bestimmten Fällen der Quantenmechanik widerspricht. Aber das ist ist kein Effekt der Mathematik. Nicht jede mathematisch korrekte Gleichung beschreibt notwendigerweise einen Aspekt der physikalischen Realität. Die korrekte Beschreibung für ein Naturgesetz zu finden, ist meistens kein rein mathematisches Problem.

Was dein Beispiel mit den Äpfeln angeht: Die Mathematik macht aufgrund ihrer abstrakten Natur keine Aussagen darüber, was ein Apfel ist. Ob du Apfelmatsch noch als Apfel durchgehen lässt oder nicht, ist deine Entscheidung, ebenso ob du die Äpfel zählst bevor oder nachdem du sie auf einen Haufen geworfen hast, Aber wenn du die Entscheidung getroffen hast, sagt dir die Mathematik, wie du zählen must.

Fortschritt gibt es in erheblichen Maße auch in der “reinen” Mathematik, die nicht in erster Linie an Anwendungen z.B. in der Physik denkt. Nimm z.B. mal das Langlands-Programm, das verblüffende Zusammenhänge zwischen völlig verschiedenen Teilgebieten der Mathematik herstellt. Wenn du Mathematik nur hinsichtlich ihrer Anwendbarkeit in der Physik beurteilst, wirst du ihre wahre Natur nicht erkennen, obwohl die Physik ihr wichtigstes Anwendungsfeld ist und viele neue Ansätze der Mathematik aus der Physik kommen (Beispiel Stringtheorie).
#30 Karl-Heinz
Graz
9. November 2021

@Ingo

Nur ganz kurze Anmerkungen, da ich wenig Zeit habe.

Ja wenn man komplexe Zahlen addiert bzw. subtrahiert benehmen sie sich wie Vektoren.
Wenn man zwei komplexe Zahlen (Zeiger in der komplexen Ebene) miteinander multipliziert, dann hat der resultierender Zeiger die Länge vom ersten Zeiger mal Länge des zweiten Zeigers. Der Gesamtwinkel des resultierenden Zeigers ist aber der Winkel vom ersten Zeiger + Winkel vom zweiten Zeigers.

einfache Anwendung
Fließt ein Wechselstrom durch die Induktivität, dann ist der Strom der Spannung 90° nach eilend bzw. die Spannung eilt dem Strom um 90° vor.

Spannung = Strom * X * i … mit i lasse ich den Spannungzeiger (Strom * X) 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn rotieren (voreilend). Ist jetzt noch ein Ohmscher Widerstand in Serie geschaltet, dann ist die Summe der Spannungen = Strom • R + Strom • X • i. Also quasi eine vektorielle Zeiger Addition der zwei Spannungen.

X … induktiver Widerstand
i … Komplexe Zahl i in der Elektrotechnik meistens mit j gekennzeichnet.
#31 Ingo
9. November 2021

@Karl-Heinz #30

> […. Berechnung von Schein, Blind und
> Wirkwiederstand ueber Winkel zwischen
> Strom und Spannung … ]

ich hatte das frueher auch mal gelernt,- das meisste aber wieder vergessen.
Soweit ich mich erinnere werden da aber keine komplexen Zahlen multipliziert. Sie werden immer nur addiert oder gedreht.
Eigentlich muessten einfache Vektoren ausreichen.

(Ich koennte ich aber irren. Sobald irgendwo eine Multiplikation zweier komplexer Zahlen irgendwo auftaucht, wird man tatsaechlich mit reinen Vektoren nicht weiter kommen. (Drehungen um 90° a la bla*i ausgenommen)

—-

@schlappohr #29
> Welche Transformationen müssen wir mit
> einer Gleichung auf einem Blatt Papier
> machen, um sie nach einer bestimmten
> Variablen aufzulösen, ohne die Aussage der
> Gleichung zu verändern [..wurde erfunden]

Diese Aussage ueberraschte mich jetzt.
Wenn ich sage
a = 3*b
und daraus folge dass
a/b = 3
dachte ich bisher immer, dass genau das eine mathematische Schlussfolgerung ist, die nach deiner Meinung einen realen Bezug hat.
(Einig sind wir uns natuerlich, dass die Symbole und die Notation erfunden wurden)
Eventuell habe ich deinen Satz auch falsch verstanden

> Newton konnte noch keine Kenntnis der
> Relativität haben, deswegen war seine
> Beschreibung unvollständig (und nicht falsch!)

Da bin ich tatsaechlich anderer Meinung.
“Richtig” wuerde bedeuten, dass sie immer korrekte Vorhersagen macht,–> und das macht sie eben in extrem-Situationen nicht.
Ich kann mich darauf einigen die Vokabeln “vollstaendig und unvollstaendig” zu verwenden.
Natuerlich konnte er keine Kenntnis der Relativitaet haben,- und natuerlich war es einer der wichtigen Fortschritte der Wissenschaftsgeschichte.
Aber der Punkt bleibt doch, dass jede Beschreibung bisher “unvollstaendig” ist,- und die Frage bleibt, ob es ueberhaupt moeglich ist ein tatsaechliche vollstaendige Gleichung aufzustellen die die Realitaet abbildet.
Ich tendiere eher zu der Antwort “nein,- es ist prinzipiell nicht moeglich”

Um bei den Beispiel mit dem Apfelhaufen zu bleiben:
Ich muesste zunaechst definieren was genau ein Apfel ist (und Apfelmatsch ausschliessen),-
– um dann eine Vorhersage zu machen muesste ich zunaechst ein vereinfachtes Modell erstellen, wann genau ein Apfel zu Matsch wird.
Dann werde ich feststellen, dass die unterscheidung zwischen Apfel und Apfelmatsch in Grenzfaellen nicht trennscharf ist,-
– um dann eine genauere Vorhersage zu machen muesste ich ein Modell erstellen, wo Aepfel aus Apfelatomen zusammengesetzt sind,- die bei zu grossen Kraeften ihren zusammenhalt verlieren,-
– dann werde ich feststellen, dass das Modell der Apfelatome grenzen hat, und ich muesste irgendwann tatsaechlich die Molekuehle (oder die tatsaechlichen Elementarteilchen) betrachten.
Ganz am Ende muesste ich dann sogar die Quantenmechanischen Vorgaenge beim zermatschen von Aepfeln betrachten.

Egal wie detailiert ich mein Modell aufbaue,- ich werde niemals in der Lage sein ein wirklich vollstaendiges Modell aufzubauen, was mir vorhersagt wieviel Aepfel ist habe, wenn ich 10.000 Aepfel und 10.000 Aepfel auf einen Haufen schmeisse.

Wenn aber die Mathematik die Realitaet niemals vollstaendig abbilden kann, dann kann sie immer nur als Werkzeug verwendet werden um Naeherungen an die Realitaet abbilden zu koennen, und unvollstaendige Vorhersagen zu machen.

> Fortschritt gibt es in erheblichen Maße auch
> in der “reinen” Mathematik, die nicht in erster
> Linie an Anwendungen z.B. in der Physik denkt.

Das stimmt natuerlich,- und in der normalen Oeffentlichkeit wird immer wieder unterschaetzt wie wichtig diese Fortschritte sind.
Es ist aber kein Beweis dafuer dass die Mathematik entdeckt (und nicht erfunden) worden ist.

Ansonsten koennte man auch mit dem gleichen Argument behaupten, dass immer wenn die Informatik einen neuen Algorithmus entwickelt dieser entdeckt, und nicht erfunden wurde.
Die Informatik ist jedoch eindeutig eine “erfundene” Wissenschaft. Computer sind erfunden worden, und nicht entdeckt.

Uebrigens: Wenn man sich vorstellt, dass die Mathematik erfunden wurde (und nicht entdeckt), dann steigert das den Respekt vor den Mathematikern noch einmal erheblich. Da waren einfach geniale Menschen am Werk.
#32 hwied
nach cats in the cradle
9. November 2021

Ingo,
übrigens, die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. (Kronecker)
#33 Bernd Nowotnick
9. November 2021

#30
Das Problem zu Strom und Spannung besteht darin dass zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems eine Erhaltungsgröße gehört. Symmetrien führen dazu, dass sich eine bestimmte Größe im System nicht ändern kann. Bei der Messung auf einer Raumdimension kann nicht zwischen AM- oder FM-moduliert unterschieden werden. Die Abläufe des Elektromagnetismus als AM-moduliert (Spannung) und der Gravitation als FM-moduliert (Strom) können nur mit zeitlosen Datenbanksystemen als Hintergrund auf jeder Position der Raumzeitdimensionen rekonstruiert werden.
#34 hwied
9. November 2021

B. Nowotnick
Bei der AM Modulation wird die Trägerfrequenz im Rhytmus der Musik in der Amplitude verändert. Mit einem Oszillografen kann man das schön sehen.

Bei der FM Modulation wird nicht die Amplitude verändert, sondern die Trägerfrequenz wird mit der Frequenz der Musik überlagert, sodass Verzerrungen in der Sinusschwingung sichtbar werden.

Ob man das jetzt mit komplexen Zahlen berechnet, weiß ich nicht.
#35 Bernd Nowotnick
9. November 2021

#34

In der DDR gingen auch Telefonverbindungen (Musik) gemeinsam mit der Leistungsübertragung über die Energieübertragungsnetze. Die Frequenz macht die Musik, egal ob AM- oder FM-moduliert, bzw. auch die Leistungsübertragung mit Photovoltaik.
#36 schlappohr
9. November 2021

a = 3*b … a/b = 3

Du musst unterscheiden zwischen den symbolischen Transformationen auf dem Papier und der mathematischen Bedeutung der Symbole. Die Bedeutung ist in beiden Fällen in deinem Beispiel:
“Die natürlichen Zahlen a und b+b+b sind identisch”.
Der Formalismus hingegen erlaubt es dir, die rechte Seite der Gleichung durch 3 zu ersetzen, wenn du die linke Seite durch a/b ersetzt. Es handelt sich um ein formale Ersetzung von Symbolen auf dem Papier. Die Bedeutung bleibt davon unangetastet (falls nicht, ist die angewendete Transformationensystem nicht konsistent). Diese Dinge sind sehr eingehend beschrieben in dem Buch “Gödel, Escher, Bach” von Douglas Hofstaetter.

“Richtig” wuerde bedeuten, dass sie immer korrekte Vorhersagen macht,–> und das macht sie eben in extrem-Situationen nicht.

Sie macht immer korrekte Vorhersagen im Kontext der nicht-relativistischen Mechanik. Dafür wurde die Newton-Gravitation formuliert. Newton hat keine falsche Theorie aufgestellt, sondern er konnte ihren Gültigkeitsbereich nicht genau angeben, weil er nichts von der relativistischen Mechanik wusste. Daher ist sie unvollständig. Aber das ist im Endeffekt Wortklauberei. Wenn du die Newtonmechanik falsch nennst, dann ist konsequenterweise die gesamte Wissenschaft falsch, weil wohl alle Naturgesetze einen Gültigkeitsbereich haben. Das ist genau die Argumentation vieler Cranks (zu denen du aber zum Glück nicht gehörst).

Egal wie detailiert ich mein Modell aufbaue,- ich werde niemals in der Lage sein ein wirklich vollstaendiges Modell aufzubauen, …

Das ist volkommen richtig, aber es ist ein physikalisches Problem, ein Modell zu finden, kein mathematisches. Es spielt keine Rolle, ob du Äpfel zählst, oder Apfelzellen, oder Moleküle, oder Kilogramm Apfelmasse. Die Art und Weise wie zu zählst und Zwischenergebnisse addierst und zu einem Ergebnis kommst, ist immer die gleiche. Das meinte ich damit, dass Mathematik fundamental ist.

Ich tendiere eher zu der Antwort “nein,- es ist prinzipiell nicht moeglich”

Das ist interessant, viele vertreten diese Meinung. Ich sehe es so: Wir müssen uns fragen, ob wir mit unserem prinzipbedingt begrenzten Verstand jemals in der Lage sein werden, das Universum im Detail zu begreifen. Möglicherweise nicht, aber dazu können wir keine Aussage machen, ohne herumzuorakeln.
Daraus auf die prinzipielle Unmöglichkeit der Modellierbarkeit des Universums zu schließen, halte ich jedoch für eine sehr gewagte These. Warum sollten Teile mathematisch beschreibbar sein, aber das Ganze nicht?

Eine Anmerkung zur Fragestellung entdeckt/erfunden in der Informatik. Ein Algorithmus ist eine mathematische Funktion, die einen Bitvektor in einen anderen Bitvektor transformiert. Es gibt in der Mathematik Probleme, für die man die Existenz einer Lösung beweisen kann, diese Lösung bisher aber tatsächlich nicht gefunden wurde (weil viel zu schwierig, oder weil einfach noch niemand gesucht hat, whatever). Offenbar können also mathematische Objekte existieren, ohne dass sie “erfunden” wurden, wohl aber potenziell entdeckt werden können. Ebenso können z.B. Algorithmen beweisbar nicht existieren und werden also auch niemals weder erfunden noch entdeckt, Beipiel das Halteproblem.
#37 Ingo
10. November 2021

> Es handelt sich um ein formale Ersetzung von
> Symbolen auf dem Papier. Die Bedeutung bleibt
> davon unangetastet

Ganz habe ich noch nicht verstanden was du meinst.
Was genau ist denn dann “die Mathematik”, wenn nicht die Kunst aus bestimmten Zusammenhaengen andere Zusammenhaenge zu erschliessen.
Und was genau ist dann der unterschied zum “erfundener Formalismus”
Das Herumantieren mit Formeln hat ja letztendlich auch zur “endeckung/erfindung” der komplexen Zahlen gefuehrt, indem einfach sqrt(-1)=i postuliert wurde, um (zunaechst) als “merkwuerdiges Hilfskonstrukt” bei der Loesung kubischer Gleichungen zu dienen welches sich spaeter wegkuerzt.
Spaeter wurde dann erkannt, dass dieses erfundene(?) Konstrukt super nuetzlich ist.

> Wenn du die Newtonmechanik falsch nennst,
> dann ist konsequenterweise die gesamte
> Wissenschaft falsch, weil wohl alle Naturgesetze
> einen Gültigkeitsbereich haben. Das ist genau die
> Argumentation vieler Cranks

Das klingt negativer als von mir beabsichtigt.
Ich werde mich bemuehen das Wort “falsch” durch “unvollstaendig” zu ersetzen, und fortfahren zu betonen, dass diese Formeln trotzdem genial sind und die Mondlandung ermoeglicht haben.
Aber stimmt: Meine Aussage ist, dass saemtliche Wissenschaft zwangslaeufig unvollstaendig ist. (Aber trotzdem genial)
Daraus zu schliessen, dass die Wissenschaft Unsinn ist und alle Wissenschaftler doof sind waere natuerlich fatal.

> “Gödel, Escher, Bach”
Das Buch ist mir schon oefters untergekommen,- und leider mangels Zeit immer noch unangetastet.
Ich werde dies hoffentlich bald aendern.

> Warum sollten Teile [des Universums] mathematisch
> beschreibbar sein, aber das Ganze nicht?

Gutes Argument.
Eventuell kann man folgenermassen gegenargumentieren:
Ein Modell bildet zwangslaeufig immer einen endlichen Teil ab, und kann daher nur endlich viele Zustaende annehmen.
Das Universum ist jedoch (vermutlich) unendlich und kann daher unendlich viele Zustaende annehmen.
Ich kann daher mit einen endlichen Modell kein unendlich grosses Universum abbilden.

Falls irgendjemand mit einen Beweis um die Ecke kommt das das Universum endlich ist, wuerde immer noch gelten, dass das Modell genauso viele Zustaende annehmen muss wie das Univerum um vollstaendig zu sein.

(Bitte keinen Ausflug in das holografische Prinzip, sonst explodiert das Logikwoelkchen)

> Offenbar können also mathematische
> Objekte existieren, ohne dass sie
> “erfunden” wurden, wohl aber potenziell
> entdeckt werden können

Das ist ein sehr schoenes Argument.
Ist den die Aussage “das muesste prinzipiell gehen, aber wir wissen nicht wie” ein Beweis, dass es sich um den Bereich der Naturwissenschaften, und nicht der Geisteswissenschaften handelt?

Wird denn umgekehrt durch die Aussage “es muesste ein gerechtes System zur Verteilung der Steuern geben, aber wir kennen es nicht” die Finanzwissenschaft ploetzlich zur Naturwissenschaft?*

*polemisches Argument, ich weiss. Ich wollte diesen Gedankenganz aber nicht unaufgeschrieben lassen.
*schwaches Argument, weil “gerecht” nicht definiert ist
#38 Karl-Heinz
Graz
10. November 2021

@Ingo

ich hatte das frueher auch mal gelernt,- das meisste aber wieder vergessen.
Soweit ich mich erinnere werden da aber keine komplexen Zahlen multipliziert. Sie werden immer nur addiert oder gedreht.
Eigentlich muessten einfache Vektoren ausreichen.

So richtig durchschaut hast die komplexen Zahlen wohl noch nicht, oder?

3i = 3 * i … Drehung des Zeiger (3*e^(i*0)) um 90°

3 … Komplexe Zahl 1
i … Komplexe Zahl 2

Oder |S|^2 = (S )• (S*)
S … Scheinleistung
S* … konjugiert komplex zu S
#39 schlappohr
10. November 2021

Und was genau ist dann der unterschied zum “erfundener Formalismus”

Schau mal in https://de.wikipedia.org/wiki/Formales_System
dort ist es ansatzweise erklärt (und es wird auch auf Hofstadter verwiesen). Man benutzt in der Mathematik formale Systeme als Notation, aber aber die Mathematik _ist_ kein formales System.
Beispiel: Die natürlichen Zahlen sind 0, 1, 2, 3.. usw. wird dir jeder bestätigen. Aber das sind nur Krakel auf dem Papier. Die _Idee_ der natürlichen Zahlen ist etwas völlig anderes: Die natürlichen Zahlen sind eine abzählbar unendliche wohlgeordnete Menge von Elementen, auf die man eine 2-wertige Funktion definieren kann, unter der diese Menge abgeschlossen ist. (Das ist sicher nicht die korrekte Definition der natürlichen Zahlen, dient hier nur als Beispiel). Von Neumann hat glaube ich mal eine Definition der natürlichen Zahlen erdacht, die nur auf leeren Mengen basiert.

Anderes Beispiel: Wir haben alle mal in de Schule gelernt, dass die irrationalen Zahlen die nichtperiodischen Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen sind. Aber diese Definition taugt nicht, weil sie Annahmen über die Art und Weise macht, wie man Zahlen aufschreibt, nämlich mit einem Komma und Dezimalziffern. Aber das muss nicht sein. man könnte (zumindest theoretisch) jeder reellen Zahl ein eigenes Symbol spendieren (die armen Schulkinder), dann liefe diese Definition der irrationalen Zahlen ins Leere. Die korrekte Definition erfolgt über Grenzwertprozesse, unabhängig von irgend einer Notation.

Nein, man hat nicht einfach mal sqrt(-1)=i postuliert. Sondern man ist irgendwann auf den Trichter gekommen, dass man auf den rellen Zahlen Operationen machen kann, die aus den rellen Zahlen herausführen. Manche rellen Zahlen lassen sich nicht als ein Produkt von zwei gleichen rellen Faktoren darstellen. Es muss also noch mehr geben als die rellen Zahlen. Dann hat man überlegt, wie man diese Menge von neuen Zahlen sinnvoll definiert und sich dann den Formalismus überlegt.

Die Trennung zwischen formalem System und der Bedeutung dahinter ist sehr schwierig zu verstehen. Wir sind alle darauf dressiert worden, dass Mathematik nichts anderes als kryptische Zeichen auf dem Papier ist. Mir ist das auch erst klar geworden in den Vorlesungen zur theoretischen Informatik. Wenn man z.B. ein Computer-Algebrasystem anschaut, das selbstständig Gleichungen umstellen oder auflösen oder sogar Beweise durchführen kann, so muss dies vollkommen durch formale Transformationen erfolgen. Der Computer weiß nichts von Mengen und natürlichen Zahlen, er kennt nicht die Bedeutung der Symbole, mit denen er hantiert.

Ich kann daher mit einen endlichen Modell kein unendlich grosses Universum abbilden.

Kannst du nicht? Warum kann ein unendliches Universum nicht durch endlich viele Naturgesetze determiniert werden? Inbesondere, da sich in einem unendlich großen Universum zwangsläufig Quantenzustände wiederholen müssten. Man kann auch einem unendlich großen vollbelegten Hilbert-Hotel Platz für unendlich viele neue eintreffende Gäste schaffen, indem man eine einzige und sehr einfache Regel anwendet.
#40 Ingo
10. November 2021

@Karl-Heinz #38
> So richtig durchschaut hast die komplexen
> Zahlen wohl noch nicht, oder?
> 3i = 3 * i … Drehung des Zeiger (3*e^(i*0)) um 90°

(3*e^(i*0)) = 3*e^0 = 3*1 = 3

Ich vermute du meinst
3*e^((pi/2)i) = 3*i = 3i
reale Zahl “3” um 90° gedreht.
#41 Bernd Nowotnick
10. November 2021

Zu „Man kann auch einem unendlich großen vollbelegten Hilbert-Hotel Platz für unendlich viele neue eintreffende Gäste schaffen, indem man eine einzige und sehr einfache Regel anwendet.“:
Am „Beispiel: Die natürlichen Zahlen sind 0, 1, 2, 3.. usw. wird dir jeder bestätigen. Aber das sind nur Krakel auf dem Papier… a = 3*b und daraus folge dass a/b = 3“ und „3*e^((pi/2)i) = 3*i = 3i, reale Zahl “3” um 90° gedreht“ –> nun haben die Null (=) als Definition einer Torsion und die 3 neue Orientierungen in einer neuen Dimension erzeugt.
#42 Ingo
10. November 2021

Zu 3*e^((pi/2)i) = 3i

tatsaechlich ist ein grossen Problem von mir, dass ich die Eulerische identitaet zwar oefters anwende,- aber nicht verstehe.
e^(pi*i) = -1 — aber warum

Vermutlich ist mein groesstes Problem, dass ich die definition der Potenzierung nicht verstehe.

a^b = a*a*a*…*a (b-mal) — ok – klar.
a^0 = 1 — ok – klar. sieht man relativ schnell warum
a^(b/c) — auch klar.

aber

e^(w*i) = cos(w) + sin(w)i = drehung um winkel w -> WTF

Fuer mich gehoert das in die Kategorie “kann ich anwenden, aber verstehe ich nicht”
Man kann noch nachvollziehen, dass e^(w*i) sich aus dem unendlichen Polynom definiert.
e^(w*i) = 1 + w*i + ((w*i)^2 / 2!) + ((w*i)^3 / 3!) + ((w*i)^4 / 4!) …
alles fein! Man kann sogar halbwegs nachvollziehen warum das Polynom eine Drehung definiert.

Aber warum scheint es “zwei definitionen” fuer das potenzieren zu geben.

Wenn zu einer reelen Zahl potenziert wird gilt Definition 1,- Wenn zu einer imaginaeren Zahl potenziert wird gilt Definition 2.
Da bekomme ich mein Kopf schwer herum.
Eine “Wenn dann” Bedingung in einer Definition erscheint mir nicht elegant,- und vermutlich ist die Definition in Wirklichkeit anders.

(Bin aber auch kein Mathematiker)
#43 Bernd Nowotnick
10. November 2021

Zu: Eine “Wenn dann” Bedingung in einer Definition erscheint mir nicht elegant,- und vermutlich ist die Definition in Wirklichkeit anders. -> Eine Eins erzeugt in der Raumzeit den Spiegel und die Null alles andere.
#44 Sebi
10. November 2021

Die Definition von e^x über die potenzreihe funktioniert für beliebige komplexe x, ist also die einzige benötige und konsistente Definition. Ich denke man kann auch zeigen dass das die analytische Fortsetzung der klassischen Definition e^2 =e×e ist. Also das ist eigentlich schon alles sehr eindeutig und klar definiert.
#45 Ingo
10. November 2021

@Sebi #44

Wenn die Definition fuer e^x ueber die Potenzreihe die einzige Definition des Potenzierens waere …

e^x = 1 + w*i + (x^2 / 2!) + (x^3 / 3!) + (x^4 / 4!) …

… dann wuerde gelten:
e^x = 5^x
(wobei fuer “5” eine beliebige Zahl eingesetzt werden kann)

Grund:
In der Reihe taucht “e” garnicht auf,- folgerichtig ist es voellig egal was dort steht. Ob “e” oder “5” spielt keine Rolle, da es eh verloren geht.

Die Definition fuer e^x funktioniert wirklich nur bei “e”

Das ist genau das,- wo ich meinen Kopf nicht drum bekomme. Wieso scheint es bei e^x eine “spezial-definition” des Potenzieren zu geben.

Anders gefragt: Wie genau ist denn das Potenzieren definiert?
#46 Ingo
10. November 2021

@Sevi #44
> Ich denke man kann auch zeigen dass
> das die analytische Fortsetzung der
> klassischen Definition e^2 =e×e ist.

e*e = 7.38905609893 (laut Taschenrechner)

und

e^x = 1 + x + (x^2 / 2!) + (x^3 / 3!) + (x^4 / 4!) + …
bei x=2:
((2^0)/(0!))+((2^1)/(1!))+((2^2)/(2!))+((2^3)/(3!))+((2^4)/(4!))+((2^5)/(5!))+((2^6)/(6!))+((2^7)/(7!))+((2^8)/(8!))+((2^9)/(9!)) = 7.38871252205 (laut Google bei 9 Iterationen)

Kein Beweis,- aber das kommt schon hin

Bleibt die Frage “warum gilt fuer e^x scheinbar eine spezial-definition fuer das Potenzieren,- oder anders gefragt: wie ist die allgemeine definition fuer das potentieren)
#47 Frank Wappler
10. November 2021

Ingo schrieb (#45, 10. November 2021):
> […] Anders gefragt: Wie genau ist denn das Potenzieren definiert?

Eine wesentliche (und an sich offensichtliche) Eigenschaft ist:

$(a^x) \, (a^y) = a^{(x + y)}.$

Auch für Produkte von “Eulerschen Potenzreihen” gilt

$\left( \sum_{j = 0}^{\infty} x^j / (j!) \right \, \left( \sum_{j = 0}^{\infty} y^j / (j!) \right = \sum_{j = 0}^{\infty} (x + y)^j / (j!)$;

insbesondere für jeden Term der Summe auf der rechten Seite der Gleichung wegen der entsprechenden binomischen Formel:

$(x + y)^n / (n!) = \sum_{k = 0}^n x^k y^{(n - k)} (1/k!) (1/(n - k)!).$

Das rechtfertigt, die “Eulerschen Potenzreihen” selbst auch als Potenzen aufzufassen, mit der Eulerschen Zahl

$e^1 := \sum_{j = 0}^{\infty} 1 / (j!) := e$

als Basis.
#48 Frank Wappler
10. November 2021

Ingo schrieb (#45, 10. November 2021):
> […] Anders gefragt: Wie genau ist denn das Potenzieren definiert?

Eine wesentliche (und an sich offensichtliche) Eigenschaft ist:

$(a^x) \, (a^y) = a^{(x + y)}.$

Auch für Produkte von “Eulerschen Potenzreihen” gilt

$\left( \sum_{j = 0}^{\infty} x^j / (j!) \right \, \left( \sum_{j = 0}^{\infty} y^j / (j!) \right = \sum_{j = 0}^{\infty} (x + y)^j / (j!)$ ;

insbesondere für jeden Term der Summe auf der rechten Seite der Gleichung wegen der entsprechenden binomischen Formel:

$(x + y)^n / (n!) = \sum_{k = 0}^n x^k y^{(n - k)} (1/k!) (1/(n - k)!).$

Das rechtfertigt, die “Eulerschen Potenzreihen” selbst auch als Potenzen aufzufassen, mit der Eulerschen Zahl

$e^1 := \sum_{j = 0}^{\infty} 1 / (j!) := e$

als Basis.
#49 Frank Wappler
10. November 2021

Ingo schrieb (#45, 10. November 2021):
> […] Anders gefragt: Wie genau ist denn das Potenzieren definiert?

Eine wesentliche (und an sich offensichtliche) Eigenschaft ist:

$(a^x) \, (a^y) = a^{(x + y)}.$

Auch für Produkte von “Eulerschen Potenzreihen” (Exponentialreihen) gilt

$\left( \sum_{j = 0}^{\infty} x^j / (j!) \right) \, \left( \sum_{j = 0}^{\infty} y^j / (j!) \right) = \sum_{j = 0}^{\infty} (x + y)^j / (j!)$;

insbesondere für jeden Term der Summe auf der rechten Seite der Gleichung wegen der entsprechenden binomischen Formel:

$(x + y)^n / (n!) = \sum_{k = 0}^n x^k y^{(n - k)} (1/k!) (1/(n - k)!).$

Das rechtfertigt, die “Eulerschen Potenzreihen” selbst auch als Potenzen aufzufassen, mit der Eulerschen Zahl

$e^1 := \sum_{j = 0}^{\infty} 1 / (j!) := e$

als Basis.
#50 Frank Wappler
10. November 2021

Ingo schrieb (#45, 10. November 2021):
> […] Anders gefragt: Wie genau ist denn das Potenzieren definiert?

Eine wesentliche (und an sich offensichtliche) Eigenschaft ist:

$(a^x) \, (a^y) = a^{(x + y)}.$

Auch für Produkte von “Eulerschen Potenzreihen” (Exponentialreihen) gilt

$\left( \sum_{j = 0}^{\infty} x^j / (j!) \right) \, \left( \sum_{j = 0}^{\infty} y^j / (j!) \right) = \sum_{j = 0}^{\infty} (x + y)^j / (j!)$ ;

insbesondere für jeden Term der Summe auf der rechten Seite der Gleichung wegen der entsprechenden binomischen Formel:

$(x + y)^n / (n!) = \sum_{k = 0}^n x^k y^{(n - k)} (1/k!) (1/(n - k)!).$

Das rechtfertigt, die “Eulerschen Potenzreihen” selbst auch als Potenzen aufzufassen, mit der Eulerschen Zahl

$e^1 := \sum_{j = 0}^{\infty} 1 / (j!) := e$

als Basis.
#51 Karl-Heinz
Graz
11. November 2021

@Ingo

Worin unterscheidet sich a^x vom e^x?

a^x = e^ ( ln (a^x)) = e^ ( x ln (a)) = e^ ( ln(a) • x))

a^x = e^ (ln(a) • x))
#52 hwied
11. November 2021

Karl-Heinz
Der Zusammenhang von a hoch x zu e hoch x mal anders

Definition : log a zur Basis b = c daraus folgt a = b hoch c

Jetzt zu a und x

log a zur Basis e = x daraus folgt a = e hoch x
log e zur Basis e = x daraus folgt e = e hoch x

Würde das als Erklärung durchgehen oder ist das ein plumper Trick
#53 schlappohr
12. November 2021

Mein Senf zur Potenzierung. Betrachten wir a^x:

– Für eine natürliche Zahl x ist a^x = a*a*…*a
– Für negative ganze Zahlen ist a^x = 1/a^(-x)
– Für x=p/q rational ist a^x = sqrt_q(a^p) (q-te Wurzel)

Bis hierher ist das alle noch anschaulich. Falls x aber irrational ist, kann x nur als Grenzwert dargestellt werden. Folglich muss auch a^x ein Grenzwert sein. Da hat man nun die Potenzreihendarstellung für e^x gefunden. Wegen a^x=e^(x*ln(a)) kann diese Potenzreihe auch auf alle anderen Zahlen, z.B. unser a, angewendet werden.

Nun ist es so, dass die Potenzreihendarstellung natürlich konsistent mit den Ergebnissen für die einfachen Verfahren für natürliche, ganze oder rationale Exponenten sein sollte.Zum Glück ist sie das auch. Man kann a^x für natürliche x als a*a*…*a berechnen, oder als Potenzreihe über e^(x*ln(a)). Kommt das gleiche raus. Bei irrationalen oder komplexen x muss man die Potenzreihe berechnen, da gibts keine Abkürzung. Die Potenzreihendarstellung ist also eine mächtigere Methode, die auch für irrationale und komplexe Zahlen funktioniert. Die einfachen Potenzierungen wie oben beschrieben sind Spezialfälle.
Genauso lässt sich der dekadische Logarithmus von Zehnerpotenzen durch Zählen der Nullen berechnen, für alle anderen Zahlen ist es komplizierter.
Vielleicht beseitigt das den scheinbaren Widerspruch.
#54 hwied
12. November 2021

schlappohr,
du hast das gut und ausführlich beschrieben.
Karl-Heinz kam es meiner Meinung nur darauf an zu zeigen, dass man jede Exponentialfunktion a hoch x auch als e hoch ln a mal x ….. schreiben kann.
Das setzt aber schon viel Vorwissen voraus.
Ich bin von der allgemeinen Logaritmusfunktion ausgegangen mit beliebiger Basis und wollte zeigen, wie a, x und e zusammenhängen. Ist aber auch nicht besser als das Beispiel von Karl Heinz.
Über die Potenzreihen habe ich auch schon nachgedacht und mich gewundert, dass man mit e multiplizieren kann, dividieren kann , obwohl e ja die Summe einer unendlichen Reihe ist, bei der es kein Ende gibt. Das gilt auch für Pi. Die Mathematiker sind schon Zauberkünstler.
Letzte Frage, Wenn die komplexen Zahlen über den reellen Zahlen stehen, wieso kann man dann als Basis beim Logaritmus keine komplexe Zahl wählen.
#55 schlappohr
12. November 2021

wieso kann man dann als Basis beim Logaritmus keine komplexe Zahl wählen.

Kann man das nicht? Ehrlich gesagt habe ich da noch nie drüber nachgedacht, aber warum sollte das nicht gehen? Z.B. kann man doch log_i(x) = ln(x)/ln(i) umformen, und ln(i) kann man berechnen. Aber vielleicht gibt bei komplexen Basen einen Showstopper.
#56 Karl-Heinz
Graz
12. November 2021

@hwied

log a zur Basis e = x daraus folgt a = e hoch x
log e zur Basis e = x daraus folgt e = e hoch x

Ich habe dir die Variablen fett markiert.
Fällt dir was auf? 😂
#57 PDP10
12. November 2021

@schlappohr:

Aber vielleicht gibt bei komplexen Basen einen Showstopper.

Nein, gibts nicht. Ganz ruhig! 🙂

https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion#Exponentialfunktion_auf_den_komplexen_Zahlen

Alles ganz normal wie immer und wenn man damit rumspielt, kriegt man sogar die berühmte Identität:

e^(2*Pi*i) = 1 raus.
#58 hwied
12. November 2021

Karl-Heinz,
natürlich ist mir aufgefallen, dass log e zur Basis e = ln e = 1 ist. darum war ja meine Frage, ob dass als plumper Trick zu werten ist. Oder ist ln a = 1 zu trivial ?
schlappohr,
super, da habe ich auf dem Schlauch gestanden.
#59 Karl-Heinz
Graz
13. November 2021

Sorry Latex Test

$\log_{a} a$
#60 hwied
frierend
13. November 2021

log a zur Basis a = c denn a = a hoch c
daraus folgt c = 1
#61 Karl-Heinz
Graz
13. November 2021

$f(x) = a^x$
$f_{-1}(a^x)= x = log_{a} (a^x)= x \cdot log_{a} a$
Damit muß $log_{a} a$ gleich 1 sein.
#62 hwied
13. November 2021

Karl-Heinz
Wie schaffst du es, x hochzustellen und a tief zu stellen ?

Zur Auflockerung.
Nützliche Anwendung von Logaritmen.

Bei einem Autoreifen wird seit neuestem der Schallpegel angegeben.
Bei Autos wird auch der Schallpegel angegeben. Typisch sind 70 dB bei 130 km/h.
Jetzt fahren zwei Autos nebeneinander, welchen Schallpegel erzeugen sie ?

Die Rechnung ist schwer zu durchschauen, aber leicht zu rechnen.

dB ist die Abkürzung für deziBel , also 70 dB = 7 Bel . Das bedeutet Briggscher Logaritmus = Logaritmus zur Basis 10.

Ausgerechnet sind 10 hoch 7 = 10000000 bei einem Auto.
Bei zwei Autos sind das 10000000 + 10000000 = 20000000
Davon lg 20000000 = 7,301 das sind 7,301 Bel oder 73,01 deziBel (dB)

Bei zwei Autos steigt der Schallpegel von 70 auf 73 dB. Bei 10 Autos steigt der Schallpegel um 10 dB, was wir als Verdoppelung der Lautstärke bemerken.
Anmerkung: Der Bezugspunkt sind 0 dB was einem Schalldruck von 20 Mikropascal entspricht.
Jetzt versteht man auch warum man den Schallpegel in logaritmischer Form an gibt und sich die großen Zahlen erspart.

Quelle: Addition von Schall und Pegel Schallpegel 10 Berechnung addieren Summe – Pegeladdition bis zu zehn inkohaerenten 10 Schallquellen Schall Pegel SPL Summe Geraeusch Laerm Oktavband Filter Zusammenhang Summenpegel Rauschen Rauschpegel Volt Schalldruck – sengpielaudio Sengpiel Berlin
#63 Karl-Heinz
Graz
13. November 2021

@hwied

Für die Formel-Syntax verwende ich Latex.
Eingeschlossen wird die Formel zwischen Dollarzeichen und gleich darauf das Wort Latex und anschließend Formel und ganz zum Schluss mit Dollarzeichen wieder abschließen.

Beispiel: Statt Dollarzeichen Verwende ich jetzt #, damit du siehst, was ich schreibe.
#Latex \log_{10} 3#

$\log_{10} 3$
#64 hwied
13. November 2021

Test Latex2
$\log_{10} 3$

Danke !