Theorema Magnum MMVIII: das Fundamentallemma

Für hyperbolische Flächen Γ\H² drückt die 1956 von Selberg bewiesene Spurformel Summen von Eigenwerten des Laplace-Operators durch die Längen geschlossener Geodäten auf der Fläche aus. Solche Spurformeln konnte Selberg dann auch in allgemeineren Zusammenhängen beweisen. Eine neue Sicht auf Spurformeln bekam man durch das seit 1967 entwickelte Langlands-Programm. Statt eine Spurformel isoliert zu betrachten zeigte Langlands, wie man durch Vergleich zweier Spurformeln tiefe Resultate etablieren kann. Dabei hatte er drei Arten, Spurformeln zu vergleichen. Das Reziprozitätsgesetz, das Jacquet und Langlands für GL(2) etabliert hatten, bedeutet erstens eine bemerkenswerte Korrespondenz zwischen den Spektra zweier hyperbolischer Flächen, von denen die eine kompakt und die andere nichtkompakt ist. Zweitens hat man eine Korrespondenz zwischen den Eigenwerten der Hecke-Operatoren zu Γ\H² und (Γ\H²)_p, wobei letzteres die algebraische Kurve über dem endlichen Körper F_p ist, die man durch Reduktion des zu Γ\H² assoziierten Z-Schemas bekommt. (Die relevante Spurformel ist Grothendiecks Version des Lefschetzschen Fixpunktsatzes und die Eigenwerte sind die des Frobenius-Automorphismus Frob_p auf der l-adischen Kohomologie.) Und drittens eine Korrespondenz zwischen dem Spektrum der hyperbolischen Fläche und dem eines höherdimensionalen lokal symmetrischen Raums, der zu einer zyklischen Körpererweiterung von Q assoziiert ist. Diese dritte Korrespondenz hatte eine spektakuläre Konsequenz beim Beweis einer Vermutung Artins für den Spezialfall 2-dimensionaler Darstellungen auflösbarer Galois-Gruppen.

Die allgemeine Situation war bei Langlands zunächst, dass er alle automorphen, kuspidalen Darstellungen π von GL(2,A) betrachtete, wobei A die Adele über Q sind, also . Wenn ρ eine Darstellung von GL(2,A) ist, bezeichnet man mit m(π,ρ) die Ordnung der Polstelle s=1 der L-Funktion L(s,π,ρ). Für geeignete Funktionen auf GL(2,A) bekommt man einen Spurklasseoperator auf dem Vektorraum der Darstellung π, dessen Spur mit tr(π) bezeichnet sei. Dann sucht man eine Spurformel, deren eine Seite ist und deren andere Seite “geometrisch”, also etwa als Summe über Konjugationsklassen in GL(2,A) definiert sei. Damit würde man die Darstellungen mit m(π,ρ)>0 isolieren können. Diese wiederum sollten durch einen funktoriellen Transfer aus Darstellungen einer “dualen” Gruppe gewonnen werden (die im Fall von GL(2) wieder GL(2) und im Fall von SL(2) aber PGL(2) ist) und man kann hoffen, dass die Spurformel mit der Spurformel der dualen Gruppe zusammenpaßt. Das sollte dann auch für allgemeinere Gruppen als GL(2) funktionieren. Langlands vermutete eine “Endoskopietheorie”, was eine allgemeine Strategie zum Vergleich von Spurformeln reduktiver Gruppen sein sollte. Er nannte seine Vermutung das Fundamentallemma, weil er sie zunächst für ein elementares kombinatorisches Problem hielt. (Mit Labesse bewies er 1979 das Fundamentallemma für SL(2).)

Die allgemeine Spurformel, wie sie dann Arthur für reduktive Gruppen über Q entwickelte, betraf die folgende Situation. Eine Funktion f auf G(A), beliebig oft differenzierbar und mit kompaktem Träger, definiert einen Konvolutionsoperator R(f) auf L²(G(Q)\G(A)), der eine Orthogonalzerlegung entsprechend diskretem und kontinuierlichem Spektrum von R(f) hat. Die allgemeine Spurformel, die Arthur 1981 in Annals of Mathematics veröffentlichte (und in den folgenden zwanzig Jahren immer weiter verallgemeinerte), ist eine Formel für die Spur von R(f) auf dem zum diskreten Spektrum gehörenden Unterraum. Sie wird als Summe relativ einfacher Terme geschrieben, indiziert über elliptische Konjugationsklassen in G(Q), mit komplizierteren Fehlertermen, die von hyperbolischen Konjugationsklassen in G(Q) kommen, welche wiederum von elliptischen Konjugationsklassen in Untergruppen komplementär zum Radikal in G parametrisiert werden. Weiterhin trägt das kontinuierliche Spektrum, parametrisiert durch das diskrete Spektrum besagter Untergruppen, zu den Fehlertermen bei. Zum Beispiel bekommt man eine endliche, geschlossene Formel für den Lefschetz-Charakter (also die Wechselsumme der Spuren der Kohomologiemorphismen) der Wirkung des Hecke-Operators auf der L²-Kohomologie einer Shimura-Varietät. Auf der anderen Seite der Formel treten nur die Konjugationsklassen elliptischer halbeinfacher Elemente auf und die vorkommenden Ausdrücke haben einfache geometrische Interpretationen. Der Beweis von Arthurs Spurformel war mit sehr großen technischen Schwierigkeiten verbunden gewesen, die weit über den Beweis von Langlands’ Vergleichssatz hinausgingen.

Langlands’ Vermutung betraf allgemeinere automorphe Formen zu einer über einem Zahlkörper k definierten reduktiven linearen algebraischen Gruppe: er betrachtet die L2-Funktionen auf G(A)/G(k) und interessiert sich dann für natürliche Darstellungen von G im Unterraum der parabolischen Formen E₀. Jede irreduzible Darstellung gehört zu einer L-Reihe, einem unendlichen Produkt lokaler Faktoren zu den Primidealen in k. Langlands hatte vermutet, dass man damit alle in Zahlentheorie und algebraicher Geometrie vorkommenden Reihen der Form Σ_n f(n)/n^s berechnen könnte. Man sollte also eine L-Funktion als (zu definierende) L-Reihe einer gewissen cuspidalen Darstellung von G(A) interpretieren – so wie man Heckes L-Reihe aus Hecke-Operatoren ohne Rückgriff auf die Spitzenformen definieren konnte – und diese dann als L-Reihe einer Galois-Darstellung bekommen. Von Hecke stammte ein Kriterium (der Umkehrsatz), wann eine Reihe der Form Σ_n f(n)/n^s die L-Reihe einer Modulform ist. Analoge Umkehrsätze hatten Jacquet und Langlands für GL(2) und dann – mit besseren Kriterien – Jacquet, Piatetski-Shapiro und Bernstein für GL(n) bewiesen. Die Beweise funktionierten durch Invarianten, die auf beiden Seiten gleich sind. Analog zur Klassenkörpertheorie vorArtins Reziprozitätssatz, wo man kommutative Körpererweiterungen aus zyklischen und entsprechend Idealklassengruppen aus einfacheren Bausteinen aufbaute.

In den 90er und 00er Jahren gab es eine Reihe spektakulärer Ergebnisse wie die lokale Version der Langlands-Korrespondenz und die globale Korrespondenz für GL(n,K) über Funktionenkörpern, oder wie die Modularität elliptischer Kurven und die Serre-Vermutung über die Modularität der 2-dimensionalen, ungerade, irreduziblen Darstellungen von Galois-Gruppen (über einem endlichen Körper, kurioserweise wurden Darstellungen über endlichen Körpern in der Darstellungstheorie schon immer als modulare Darstellungen bezeichnet, was aber nichts mit Modulformen zu tun gehabt hatte) sowie durch Luis Dieulefait einige Fälle der Vermutung, dass p-adische Galois-Darstellungen durch Darstellungen auf der etalen Kohomologie einer Varietät induziert sind. Das Langlands-Programm wurde auch in der öffentlichen Wahrnehmung immer mehr zum zentralen Thema der Mathematik stilisiert. Jeder Fortschritt war ein großes Ereignis und wurde mit wichtigen Preisen geehrt. Der Beweis des Fundamentallemmas durch Ngo Bao Chau war aber auch vor diesem Hintergrund ein besonderer Durchbruch. Das Time Magazine wählte ihn auf Platz 7 der bedeutendsten wissenschaftlichen Entdeckungen des Jahres 2009.

Zwölf Jahre nach seinem Brief an André Weil hatte Langlands erstmals in seinen Notizen das Fundamentallemma erwähnt und es dann in einer Arbeit mit Diane Shelstad weiter präzisiert und verallgemeinert. Rückblickend meinte er später, er habe zwar fast jedes seiner mathematischen Projekte nie zu einem richtigen Abschluß gebracht, im Zusammenhang mit Endoskopie und der stabilisierten Spurformel sei das für das Fundamentallemma aber besonders unbefriedigend. Im Nachhinein scheine es ihm aber unvermeidlich, denn diese präzise und rein kombinatorische Behauptung, die er für elementar gehalten habe, sei sehr viel schwieriger gewesen als von ihm angenommen.

Beim Fundamentallemma geht es um die allgemeine Spurformel von Arthur. Für eine algebraische Gruppe G hat man die spektrale und geometrische Seite der Spurformel und kann nun Aussagen über die automorphen Darstellungen, die auf der spektralen Seite auftre, zu zeigen, indem man etwas über die geometrische Seite beweist. Insbesondere kann man Beziehungen zwischen automorphen Darstellungen unterschiedlicher Gruppen beweisen, wenn es gelingt, die geometrischen Seiten der Spurformeln in Übereinstimmung zu bringen. Dazu müssen aber zunächst einmal die Konjugationsklassen, über welche auf der geometrischen Seite summiert wird, zueinander passen. Das ist in der Regel nicht der Fall, weshalb man die geometrische Seite “stabilisiert”, indem man die Summe über Konjugationsklassen ersetzt durch eine Summe über “stabile Konjugationsklassen”, was im wesentlichen den Konjugationsklassen im algebraischen Abschluß entspricht. Wenn man die Bahnintegrale auf der geometrischen Seite der Spurformel durch stabile Bahnintegrale ersetzt, treten Fehlerterme auf, die sich in Termen anderer algebraischer Gruppen, der sogenannten endoskopischen Gruppen von G ausdrücken lassen. Das Fundamentallemma behauptet, dass die Fehlerterme ihrerseits wieder stabile Bahnintegrale der endoskopischen Gruppen sind.
Das sah nach einer kombinatorischen Übungsaufgabe aus, die man zunächst auch mit Methoden aus der Theorie der Gebäude anging, aber die Lösung benötigte dann fast dreißig Jahre. (Zuvor war das Lemma schon für SL(n) und einige Gruppen von kleinem Rang bewiesen worden.) Mit einem von Kazhdan und Lusztig eingeführten Begriff affiner Springer-Fasern war es gelungen, eine Beziehung des Fundamentallemmas zur algebraischen Geometrie herzustellen. Die Orbitintegrale, um die es im Fundamentallemma, hängen ab von den Anzahlen von Punkten in affinen Springer-Fasern. Laumon hatte die Singularitäten solcher Fasern und ihre Deformationen untersucht und Goresky, Kottwitz und MacPherson hatten eine Vermutung über die Reinheit der Kohomologie dieser Fasern aufgestellt, aus der das Fundamentallemma folgen würde. Diese Vermutung blieb offen, aber dieser Themenkreis bildete den Hintergrund für Ngo Bao Chaus Beweis. Man läßt die affinen Springer-Fasern in einer sogenannten Hitchin-Faserung variieren. Die Basen dieser Faserungen lassen sich vergleichen und die Anzahlen von Punkten in der Faser lassen sich ähnlich der Lefschetzschen Fixpunktformel angewandt auf den Frobeniusautomorphismus bestimmen. Wegen eines von Ngo bewiesenen “Trägersatzes” genügt es, die gewünschte Spurformel auf einer gewissen offenen Teilmenge der Hitchin-Faserung zu überprüfen, wo er sich durch eine Rechnung ergibt.

Das wichtigste Ingredient in Ngos Beweis wurde also die Hitchin-Faserung, die Hitchin ursprünglich zur Bestimmung der Topologie von Darstellungsvarietäten verwendet hatte.
Untersuchungen zur Topologie von Modulräumen und insbesondere die Berechnungen ihrer Betti-Zahlen hatten in den vergangenen Jahrzehnten in zahlreichen Gebieten der Mathematik eine Rolle gespielt. Günter Harder hatte Anfang der 70er Jahre die Kohomologiegruppen des Modulraums stabiler Vektorbündel vom Rang 2 berechnet und in diesem Spezialfall die damals noch unbewiesenen Weil-Vermutungen über den Zusammenhang von Betti-Zahlen und Anzahlen von Punkten über F_p bestätigt. Nachdem Deligne 1974 die Weil-Vermutungen bewies, schrieben Harder und Narasimhan wenige Monate später eine Arbeit, in der sie allgemein die Kohomologiegruppen des Modulraums stabiler Vektorbündel über einer komplexen Kurve berechneten. (Der Beweis war eine Tour de Force, in der sie zunächst die Anzahl der Punkte über endlichen Körpern berechnen mussten.) Narasimhan hatte schon lange zu Modulräumen holomorpher Vektorbündel über projektiven Mannigfaltigkeiten gearbeitet und insbesondere mit Seshadri die stabilen Vektorbündel vom Grad 0 durch ihre Monodromie mit den irreduziblen, unitären Darstellungen der Fundamentalgruppe identifiziert. (Diese Verbindung zwischen holomorphen und unitären Strukturen war im Nachhinein schon in einer älteren Arbeit Weils sichtbar, im Fall der Linienbündel entsprach sie im Wesentlichen der Identifikation zwischen holomorphen und harmonischen 1-Formen, die wiederum der Startpunkt für die Hodge-Theorie harmonischer Formen gewesen war.) Damit entsprachen diese Modulräume also U(n)-Darstellungsvarietäten, wodurch Darstellungsvarietäten interessant wurden. Nach Thurstons Arbeiten zur Hyperbolisierung der dreidimensionalen Topologie wurden seit Anfang der 80er Jahre SL(2,C)-Charaktervarietäten (zunächst in Arbeiten von Culler und Shalen) zu einem wichtigen Thema der niedrigdimensionalen Topologie. In der Eichtheorie waren Modulräumen flacher Zusammenhänge von Bedeutung, die über die Monodromie eines Zusammenhangs mit Darstellungsvarietäten identifiziert werden können.
Nach Donaldsons Arbeit war bald entdeckt worden, dass auch die Topologie von Modulräumen mit eichtheoretischen Methoden neu behandelt werden kann. Atiyah und Bott reproduzierten mit neuen Methoden (darunter äquivariante Kohomologie und die Momentenabbildung auf Funktionenräumen) das Resultat von Harder und Narasimhan. Für die beiden war das eine Rückkehr zu den Themen ihrer Doktorandenzeit, für Atiyah zu algebraischen (über den komplexen Zahlen: holomorphen) Vektorbündeln, für Bott zur Morse-Theorie. Der Katalysator kam aus einer überraschenden Ecke, nämlich den Yang-Mills–Gleichungen der theoretischen Physik. Die Idee war, Morse-Theorie auf das Yang-Mills-Funktional anzuwenden. Die Yang-Mills–Gleichungen auf einer Fläche sind eigentlich trivial in dem Sinne, das alle Lösungen leicht zu beschreiben sind. Über der Sphäre erhielt man aber aus der Analyse des Yang-Mills-Funktionals trotzdem alles über die Topologie des Schleifenraums von U(n) (und zwar entsprachen die kritischen Punkte genau den Homologiegruppen) und so machte es Sinn, Flächen höheren Geschlechts zu betrachten. Unter zusätzlicher Ausnutzung der Symmetrien (d. h. der äquivarianten Theorie) konnten Atiyah und Bott eine perfekte Morse-Funktion konstruieren, deren kritische Punkte also genau den Betti-Zahlen des Modulraums entsprechen.
Modulräume stabiler Vektorbündel lassen sich als Charaktervarietäten der Darstellungen der Fundamentalgruppe in eine Lie-Gruppe G interpretieren und solche Charaktervarietäten kann man für alle endlich präsentierten Gruppen definieren. Die verschiedenen lokalen Starrheitssätze besagten freilich, dass beispielsweise für Gitter in symmetrischen Räumen vom Rang >1 die Charaktervarietäten stets 0-dimensional sind. (Schon die Existenz von Gittern in solchen symmetrischen Räumen ist ein Wunder, ihre Deformierbarkeit wäre eine noch größeres.) Anders ist es für Fundamentalgruppen hyperbolischer Flächen oder 3-Mannigfaltigkeiten, wo oft Deformationen möglich sind. William Goldman bestimmte in seiner Dissertation 1980 die Zusammenhangskomponenten der Darstellungsvarietät für Darstellungen von Flächengruppen nach SL(2,R) oder PSL(2,R). Für PSL(2,R) werden die Zusammenhangskomponenten durch eine charakteristische Klasse (die Euler-Klasse) unterschieden. Ähnliches hatten Atiyah und Bott für kompakte Gruppen wie G=U(n) bewiesen. 
Die 1983 in Phil. Trans. Roy. Soc. London veröffentlichte Arbeit Arbeit “The Yang-Mills-Equation over Riemann surfaces” von Atiyah und Bott gilt als hervorragende Einführung nicht nur in die Eichtheorie, sondern überhaupt in die moderne Geometrie. Vier Jahre später beschrieb Hitchin die Topologie der Charaktervarietät von Flächengruppen für G=PSL(n,R) ebenfalls durch Untersuchung des Yang-Mills-Funktionals. Hier gab es drei oder sechs (für n ungerade oder gerade) Zusammenhangskomponenten, die nicht alle durch charakteristische Klassen unterschieden wurden. Eine der Komponenten bezeichnete er als höheren Teichmüller-Raum, weil sie ein Bild des Teichmüller-Raums enthielt und die Darstellungen ähnliche Eigenschaften hatten; heute wird sie als Hitchin-Komponente bezeichnet.
Hitchins Ansatz war, statt der Charaktervarietät einen anderen Modulraum zu betrachten, nämlich den von holomorphen G-Bündeln V (über der Fläche) mit einer zusätzlichen Struktur, einer End(V)-wertigen holomorphen 1-Form. Bündel mit dieser zusätzlichen Struktur bezeichnete er als Higgs-Bündel. Die stabilen Higgs-Bündel über einer Fläche entsprechen den Darstellungen der Fundamentalgruppe nach GL(n,C). Für stabile Bündel gibt es eine eindeutige Lösung der Yang-Mills-Gleichung, so dass man auch den Modulraum der Lösungen dieser Gleichung betrachten kann. 
Dieselbe Struktur wurde von Carlos Simpson in seiner Dissertation betrachtet. Er kam aus der algebraischen Geometrie und sah H₁(X,GL(n,C)) als eine nichtkommutative Verallgemeinerung von H₁(X,C). Im letzteren Fall gibt die Theorie harmonischer Formen einen Isomorphismus H₁(X,C)=H₁(X,O_X)+H₀(X,Ω¹X). Ähnlich gibt die Korrespondenz zwischen Darstellungen und Higgs-Bündeln eine Zerlegung von H₁(X,GL(n,C)) in H₁(X,GL(n,O_X)) und eine End(V)-wertige 1-Form. In diesem Sinne ist die Korrespondenz eine nichtkommutative Verallgemeinerung der Theorie harmonischer Formen und wird deshalb als nichtabelsche Hodge-Theorie bezeichnet.
Man hat also zu jedem Higgs-Bündel ein flaches Bündel und damit eine Darstellung der Fundamentalgruppe, und umgekehrt zu jedem flachen Bündel ein Higgs-Bündel. Diese Umkehrung wurde dann noch einmal von Donaldson für G=SL(2,C) und Corlette für reelle reduktive Gruppen mit Existenzsätzen für harmonische Abbildungen bewiesen: sie zeigten, dass jede reduktive Darstellung durch eine äquivariante harmonische Abbildung in den entsprechenden symmetrischen Raum realisiert werden kann. Zuvor waren harmonische Abbildungen bereits von Uhlenbeck-Yau und Donaldson benutzt worden, um die Korrespondenz zwischen stabilen Vektorbündeln und unitären Darstellungen auf beliebige glatte projektive Varietäten statt nur komplexe Kurven auszudehnen. Nichtabelsche Hodge-Theorie wurde auch ein nützliches Werkzeug für die Frage, welche Gruppen als Fundamentalgruppen von Kähler-Mannigfaltigkeiten und insbesondere projektiven Varietäten vorkommen können.
Via nichtabelscher Hodge-Theorie lassen sich Modulräume von Darstellungen einer Flächengruppe in G also als Modulräume von Higgs-Bündeln interpretieren. Für den Modulraum von Higgs-Bündeln hatte Hitchin in seiner Konstruktion einer Morse-Funktion eine Abbildung des Modulraums nach definiert. (K ist das kanonische Bündel über der Riemannschen Fläche.) Diese Abbildung definiert die Hitchin-Faserung und man kann mit ihr die Topologie des Modulraums bestimmen. Neben der Topologie des Modulraums interessierten sich Geometer dann seit den Nuller Jahren auch für die geometrische Charakterisierung der Darstellungen. Labourie – und allgemeiner für hyperbolische Gruppen dann Guichard und Wienhard – charakterisierten Darstellungen durch dynamische Eigenschaften, während Fock und Goncharov Darstellungen durch aus der projektiven Geometrie stammende Invarianten ihrer Randabbildungen charakterisierten und damit auch eine Verbindung zur von Fomin und Zelevinsky entwickelten Theorie der Clusteralgebren herstellten.

Die neue Idee, die Ngo bereits mit Laumon (in einem Beweis des Fundamentallemmas für unitäre Gruppen) verfolgt hatte und mit der er 2008 den allgemeinen Fall in einer 188-seitigen Arbeit bewies, war also die Verwendung der Hitchin-Faserung. Der Kern von Ngos Beweis besteht darin, dass der anisotrope Teil der Hitchin-Faserung ein Stack im Sinne von Deligne-Mumford ist. Dadurch können die auf Deligne zurückgehenden Reinheitssätze auf die Hitchin-Faserung angewandt werden.

Ngos Arbeit “ The fundamental lemma for Lie algebras” wurde 2010 in Publ. Math. IHÉS veröffentlicht. Mit dem Fundamentallemma war also die Stabilisierung in Arthurs Spurformel möglich. Die Methoden beim Beweis der lokalen Langlands-Korrespondenz konnten verbessert werden, und die stabilisierte Spurformel war nützlich für Berechnungen der Kohomologie von Shimura-Varietäten (höherdimensionalen Analoga der Modulkurve) in Arbeiten von Morel und Shin.