Theorema Magnum MMX: Eindeutige Quantenergodizität für SL(2,Z)\H

Einen Beweis zumindest in einer speziellen Situation fand Elon Lindenstrauss 2003, veröffentlicht 2006 in Annals of Mathematics. Er betrachtete arithmetische hyperbolische Flächen. Für diese hat man eine reiche arithmetische Struktur, nämlich die mit dem Laplace-Operator Δ kommutierenden Hecke-Operatoren und diese kann man auf die Maass-Wellenformen F (Eigenfunktionen von Δ, die in den Spitzen nur polynomiell wachsen) anwenden. Er bewies dann die Behauptung, dass IF(z)I2dxdy/y2 gegen die Gleichverteilung 3/π dxdy/y2 konvergiert, bis auf die Möglichkeit dass für eine Folge solcher Wellenformen ein Teil der Masse in die Spitzen entkommt. Insbesondere hatte er damit die Vermutung für geschlossene arithmetische Flächen bewiesen. Ohne die Arithmetizitätsannahme blieb die Vermutung offen.
In Lindenstrauss’ Arbeit ging es vor allem um Maßstarrheitssätze. Der geodätische Fluss einer hyperbolischen Fläche läßt sich beschreiben als Wirkung von Diagonalmatrizen auf SL(2,R)/Γ. In einer früheren Arbeit hatten Bourgain und Lindenstrauss gezeigt, dass die schwach-*-Grenzwerte der dμ_j dort positive Entropie bzgl. des geodätischen Flusses haben. Mit den von ihm bewiesenen Maßstarrheitssätzen für Wirkungen von Diagonalmatrizen auf (SL(2,R)xL)/Γ (für S-arithmetische Gruppen L über R, C oder Q_p) folgerte Lindenstrauss daraus die Vermutung zur eindeutigen Quantenergodizität für kompakte, arithmetische, hyperbolische Flächen. (Für diese Anwendung benötigte er den Fall L=SL(2,Q_p).)
Nach Marina Ratners Arbeiten, in denen Ende der 80er Jahre die invarianten Maße für von unipotenten Elementen erzeugte Wirkungen auf lokal homogenen Räumen G/Γ klassifiziert worden waren, eröffneten diese Arbeiten weitere Entwicklungen insbesondere auch für den schwierigeren Fall von Wirkungen halbeinfacher Elemente. So klassifizierten Einsiedler, Katok und Lindenstrauss in einer ebenfalls 2006 in Annals of Mathematics veröffentlichten Arbeit “Invariant measures and the set of exceptions to Littlewood’s conjecture” die invarianten Maße für die Wirkung positiver Diagonalmatrizen auf SL(n,R)/SL(n,Z), womit sie zum Beispiel eine Vermutung Littlewoods über diophantische Approximation “fast” (bis auf eine Ausnahmemenge der Hausdorff-Dimension 0) beweisen konnten.

Aufbauend auf Lindenstrauss’ Arbeit konnte Kannan Soundararajan in seiner 2010 in Annals of Mathematics veröffentlichten Arbeit “Quantum unique ergodicity for SL(2,Z)\H“ die Vermutung dann auch für die (nichtkompakte) Modulfläche H2/SL(2,Z) beweisen (zuvor mit Holowinsky für holomorphe Wellenformen und in dieser Arbeit dann im allgemeinen Fall), indem er die bei Lindenstrauss im nichtkompakten Fall übriggebliebene Möglichkeit des Entkommens von Masse ausschloß. Der Beweis beruhte auf einer Abschätzung der Hecke-Eigenwerte einer Maass-Wellenform.