Theorema Magnum MMXIV: die Grunewald-Ash-Vermutung

p-adische algebraische Varietäten sind im Sinne von Tate als rigide analytische Räume zu betrachten und es war nicht so klar, wie man dort überhaupt eine etale Kohomologie definiert, mit der man Chancen auf einen Beweis des Isomorphismus der Kohomologietheorien hat. Etale Kohomologie ist eine algebraische Invariante, die man nicht im p-adisch analytischen Sinne interpretieren kann. Schließlich wurden durch Fujiwara, Berkovich und Huber drei konkurrierende Ansätze vorgeschlagen, die alle eine Erweiterung der in der p-adischen Geometrie betrachteten Räume bedeuten und auch alle sofort Anwendungen fanden. Hubers Theorie adischer Räume wurde dabei wenig beachtet, doch gerade sie wurde dann zur Grundlage für Scholzes Arbeit.
Perfektoide Räume sind abstrakte, sehr komplizierte (keinen Endlichkeitsbedingungen genügende und in gewisser Weise solenoid-artige) adische Räume, auf denen man etale Kohomologie hat und p-adische de Rham-Kohomologie etablieren kann. Sie erlauben die Verallgemeinerung des Satzes von Fontaine und Wintenberger auf n-dimensionale Varietäten. Das ist im Sinne Grothendiecks, der der Ansicht war, dass Wirkungen auf Ringen als lokale Versionen von Wirkungen auf Räumen gesehen werden sollten.

Die Anwendung, mit der die Experten von der Wirkmächtigkeit des neuen Ansatzes überzeugt wurden, war dass Scholze mit der Tilting-Operation Delignes Beweis von Spezialfällen der Gewichtsmonodromievermutung auf weitere Fälle ausdehnen konnte. Diese 1970 von Deligne aufgestellte Vermutung gilt als die zentrale offene Frage über die etale Kohomologie algebraischer Varietäten. Es geht um die Zerlegung V=⊕Vj der etalen Kohomologie unter der Wirkung des Frobenius-Automorphismus Frobp, wobei in Vj die Eigenwerte Betrag qj/2 haben. Die Vermutung besagt, dass für alle j≤i der Monodromieoperator einen Isomorphismus Vi+j–>Vi-j gibt.

Ein Problem bei der Übertragung mathematischer Sachverhalte von Funktionenkörpern auf Zahlkörper war stets gewesen, dass man zu der im Funktionenkörperfall per Definition existierenden Kurve kein passendes Analogon im Funktionenkörperfall hat. Zwar kann man in Verallgemeinerung von Spec(Z) auch Spec (OK) als Kurve auffassen, doch verhält sich dieses affine Schema nur als topologischer Raum wie eine Kurve. Wenn man, wie es Grothendieck anstrebte, Punkte als Funktoren betrachtet, dann ist beispielsweise Spec(Z)xSpec(Z) wieder Spec(Z) und damit ein schlechter Ersatz für die im Zusammenhang mit der Zetafunktion für Funktionenkörper verwendete Fläche als Produkt zweier Kurven. Aufbauend auf Scholzes Arbeit entdeckten aber Fargues und Fontaine eine Kurve, die fundamental für die arithmetische Geometrie werden sollte. Die Idee war folgende: zu einem algebraisch abgeschlossenen Körper C der Charakteristik p betrachtet man alle algebraisch abgeschlossenen Körper K, deren Quotientenkörper Charakteristik p haben und für die C=Kb gilt mit einem den Bewertungsring erhaltenden Isomorphismus. Natürlich ist C selbst eine Entkippung, aber es gibt zahlreiche weitere. Es stellt sich heraus, dass die “Kurve” aller Entkippungen ein guter Ersatz für Spec(Z) ist und die Teilmenge der Entkippungen von Charakteristik 0 ein guter Ersatz für Spec(Q). Tatsächlich gibt es ein Schema X, dessen abgeschlossene Punkte den Isomorphismenklassen von Entkippungen der Charakteristik 0 modulo der von Frobp induzierten Wirkung entsprechen. Dieses Schema hat viele bemerkenswerte Eigenschaften, die im Wesentlichen Analoga zu den Eigenschaften einer algebraischen Kurve vom Geschlecht 0 sind. Scholze und Fargues schlugen dann vor, dass das lokale Langlands-Programm für Qp äqivalent sein sollte zur geometrischen Version des Langlands-Programm für die Kurve X. Dieses geometrische Programm war ursprünglich von Beilinson und Drinfeld vorgeschlagen worden. Es postuliert für eine reduktive Gruppe G und eine algebraische Kurve X eine Äquivalenz zwischen zwei derivierten Kategorien, einerseits der D-Moduln auf dem Modulstack von G-Prinzipalbündeln über X, andererseits quasikohärenter Garben auf dem Modulstack von LG-lokalen Sytemen über X für die Langlands-duale Gruppe LG.

In Analogie zu den Kongruenzuntergruppen Γ₀(N) und den zugehörigen Überlagerungen der Modulkurve SL(2,Z)\H² hat man für Shimura-Varietäten und eine Primzahl p die Level Γ₁(p^m). Perfektoide Räume kann man benutzen, um eine Shimura-Varietät für aller Levels (bzgl. einer Primzahl p) gleichzeitig zu untersuchen. Die Motivation ist eine Vermutung, die die mod p-Version der globalen Langlands-Korrespondenz ist. Zu einem Zahlkörper F hat man eine gewisse lokal symmetrische Varietät X, auf deren Kohomologie die Hecke-Operatoren wirken. Franke bewies, dass diese Kohomologiegruppen mit der Hecke-Wirkung durch automorphe Darstellungen von GL_n(A_F) beschrieben werden können. Nach der Langlands-Philosophie sollten das nach Wahl eines Isomorphismus Darstellungen der Galois-Gruppe entsprechen. Die Kohomologie wird im allgemeinen sehr viel größere Dimension haben als , sie sollte nach der Ash-Grunewald-Vermutung aber auch noch Galois-Darstellungen entsprechen. Die Frobenius-Eigenwerte sollen Hecke-Eigenwerten entsprechen (für fast alle Primzahlen l). Ash hatte dies insbesondere für die Kohomologie von GL(n,Z) in verschiedenen Fällen untersucht und 1992 eine präzise Vermutung formuliert – die sich für n=2 durch mod-p-Reduktion aus der Eichler-Shimura-Theorie ergibt – wonach p-Torsions-Hecke-Eigenklassen in der ganzzahligen Kohomologie einer Kongruenzuntergruppe n-dimensionalen Galois-Darstellungen entsprechen sollen. Das ist also eine Umkehrung der Verallgemeinerung der (damals noch offenen) Serre-Vermutung.