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Theorema Magnum MMXVII: Optimalität der E8-Kugelpackung

Von / 10. Februar 2022 / 13 Kommentare
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In seiner Broschüre “Vom sechseckigen Schnee” vermutete Johannes Kepler 1611, dass die optimalen Kugelpackungen im 3-dimensionalen Raum die hexagonale und die kubisch-flächenzentrierte Packung mit jeweils Dichte \frac{\pi}{\sqrt{18}} sind. Während die Optimalität der hexagonalen Kreispackung in der 2-dimensionalen Ebene 1940 von László Fejes Tóth bewiesen wurde, blieb die 3-dimensionale Vermutung lange offen und wurde nach verschiedenen lange umstrittenen und letztlich nicht anerkannten Beweisen anderer Mathematiker 1998 von Thomas Hales gelöst mit einem 1953 von Fejes Tóth vorgeschlagenen Ansatz, der den Beweis auf die Betrachtung einer endlichen (aber großen) Zahl von Fällen reduziert hatte. Hales’ Arbeit wurde dann bei den Annals of Mathematics eingereicht, wo ein langer Überprüfungsprozeß begann. Die erste Gruppe, angeführt von Gábor Fejes Tóth – dem Sohn von László Fejes Tóth – gab nach fünf Jahren auf. Alles, was sie geprüft hatten, sei korrekt gewesen. Aber es sei ihnen nicht möglich, jede einzelne Rechnung zu überprüfen. Robert MacPherson als zuständiger Herausgeber verglich ihre Aufgabe mit dem Überprüfen eines Telefonbuchs. Alle Nummern, die sie geprüft hätten, wären korrekt gewesen, und sie hätten wirklich viele Nummern überprüft. Er wollte die Arbeit zunächst mit einer Erklärung veröffentlichen, dass viele, aber nicht alle Teile des Beweises geprüft worden seien. Das stieß auf Widerspruch und so schickte er die Arbeit an einen neuen Gutachter. Der bestätigte, dass die theoretischen Grundlagen korrekt wären und schlug eine Aufteilung der Arbeit vor. Der theoretische Teil wurde in den Annals of Mathematics veröffentlicht, der nicht vollständig überprüfte Teil mit Computerberechnungen in der spezialisierteren Zeitschrift Discrete and Computational Geometry. Zu dieser Zeit hatte Hales bereits den Start eines Gemeinschaftsprojekts angekündigt, das einen vollständig formalisierten Beweis der Kepler-Vermutung erstellen sollte. 2015 war diese Arbeit abgeschlossen, der Beweis in computerisierter Form gelungen und eine Überprüfung durch interaktive Theorembeweiser wie HOL light erfolgt.

Computerüberprüfbare Beweise wurden vor allem von Voevodsky am Institute for Advanced Study propagiert. In einem langen Text auf seiner Webseite erzählte er die Geschichte verschiedener Fehler, die im Laufe der Jahre von ihm und anderen in einigen seiner grundlegenden Arbeiten gefunden worden waren. Auch in ständig zitierten Arbeiten seien Fehler über lange Zeit unentdeckt geblieben. Seine Folgerung daraus war, nur noch computerüberprüfbaren Beweisen zu vertrauen. Er entwickelte eine Bibliothek für das Computerbeweissystem Coq und vor allem entwickelte er neue “univalente” Grundlagen der Mathematik, die für den Zweck computerlesbarer Beweise besser geeignet sein sollten. Statt auf die in der Mathematik überall verwendete Mengenlehre und Kategorientheorie wollte er auf die Typentheorie zurückgreifen, allerdings auf eine sehr spezielle intuitionistische Typentheorie, in der Typen als Homotopietypen topologischer Räume interpretiert werden. Er organisierte dazu ein spezielles Jahr am Institute for Advanced Study, blieb aber doch der alleinige wichtigste Proponent seiner Theorie.

In höheren Dimensionen war die Frage nach optimalen Kugelpackungen völlig offen, es gab aber in sehr speziellen Dimensionen einige Kandidaten, nämlich in Dimension 8 die Gitterpackung zum E8-Gitter \left\{(x_i) \in \mathbb Z^8 \cup (\mathbb Z + \tfrac{1}{2})^8 : {\textstyle\sum_i} x_i \equiv 0\;(\mbox{mod }2)\right\} und in Dimension 24 die Gitterpackung zum Leech-Gitter.

Nach den langen Diskussionen um den Beweis der (3-dimensionalen) Kepler-Vermutung war man natürlich davon ausgegangen, dass die Beweise der höherdimensionalen Versionen um so schwieriger sein würden. Überraschenderweise hatte die 8-dimensionale Version dann aber einen viel kürzeren Beweis. Eine Arbeit Viazovskas bewies die Optimalität der durch das E8-Gitter gegebenen 8-dimensionalen Kugelpackung auf nur 22 Seiten (von denen ein Teil expositorisch war, so erhielt man nebenbei noch eine Einführung in die Theorie der Modulformen). Der Beweis baute noch auf einer älteren Arbeit von Cohn und Elkies auf, die aber auch nur 25 Seiten lang war. Neben der Kürze überraschte an dem Beweis vor allem die Methodik: wichtigstes Werkzeug im Beweis waren Modulformen, die sonst eigentlich in der Zahlentheorie ein unverzichtbares Werkzeug sind.

Cohn und Elkies hatten in einer 2003 veröffentlichten Arbeit gezeigt, dass man mittels der Fourier-Transformation \widehat{f}(y)=\int_{{\bf R}^n}f(x)e^{-2\pi ix.y}dx sogenannter “zulässiger Funktionen” f\colon{\bf R}^n\to{\bf R} obere Schranken für die Dichte von Kugelpackungen beweisen kann. Die “zulässigen Funktionen” sind Funktionen, für die \vert f(x)\vert \le C(1+\vert x\vert)^{-n-\delta}, \vert\widehat{f}(y)\vert\le C(1+\vert y\vert)^{-n-\delta} mit geeigneten Konstanten C und δ gilt. Für eine beliebige solche Funktion mit f(x)\le 0 für \vert x\vert \ge 1 und \widehat{f}(y)\ge 0 für alle y bewiesen Cohn und Elkies, dass \frac{f(0)}{\widehat{f}(0)}\frac{\pi^\frac{n}{2}}{2^n\Gamma(\frac{n}{2}+1)} eine obere Schranke für die Dichte jeder n-dimensionalen Kugelpackung liefert. Für n=8 gibt das die obere Schranke \frac{f(0)}{\widehat{f}(0)}\frac{1}{16}\frac{\pi^4}{384} und um die Optimalität der durch das E8-Gitter gegebenen Kugelpackung zu beweisen musste dann also “nur” noch eine den Ungleichungen genügende zulässige Funktion mit \frac{f(0)}{\widehat{f}(0)}=16 gefunden werden. Viazovskas Konstruktion einer solchen Funktion f benutzte verschiedene Modulformen, nämlich die j-Funktion und die Theta-Funktionen. Der Ausdruck für die gesuchte Funktion war dann ziemlich kompliziert, er bestand aus 8 Summanden, die jeweils Integrale von verschiedenen Kombinationen dieser Funktionen sind, der fünfte Summand sah beispielsweise so aus: \int_{-1}^i 128(\frac{\theta_{00}(z)^4+\theta_{01}(z)^4}{\theta_{10}(z)^8}+ \frac{\theta_{00}(z)^4+\theta_{10}(z)^4}{\theta_{01}(z)^8})e^{\pi i\parallel x\parallel^2z}dz, die anderen Summanden waren ähnlich kompliziert. Mittels der Symmetrieeigenschaften und der Abschätzungen für Fourierkoeffizienten von Modulformen wurde in ihrer Arbeit letztlich bewiesen, dass die konstruierte Funktion f die gewünschten Eigenschaften hat und es also nach Cohn-Elkies keine dichteren Kugelpackungen als die durch das E8-Gitter gegebene geben kann.

Wenige Wochen nach der Lösung des achtdimensionalen Problems bewies Viazovska dann mit Cohn, Kumar, Miller, Radchenko und mit ähnlichen Methoden in einer 17 Seiten langen Arbeit, dass das Leech-Gitter die optimale Kugelpackung im R24 liefert. Viele Mathematiker glauben, dass es in anderen Dimensionen als 8 und 24 keine so eleganten Lösungen geben wird.

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Kommentare (13)

  1. #1 Ingo
    11. Februar 2022

    Ich bin leider kein Mathematiker,- und habe das meiste aus dem Artikel nicht verstanden,-
    – aber das Thema “optimale Kugel-Packungsdichte in hoeher-Dimensionalen Raeumen” finde ich aus anderer Perspektive wichtig und interessant.

    Im speziellen deswegen, weil bei digitaler Signaluebertragung auf Kabeln oder per Funk auf der Luftschnittstelle, die Fehlerstreuung beim dekodieren oft als Kugeln dargestellt werden.
    In Wirklichkeit streut das Rauschen ein Signal natuerlich in einer Gauss-Fehlerverteilung,- da man jedoch beim dekodieren irgendwo die Erkennungsgrenze setzen muss nimmt man idR Kugeln als Grenze an.
    d.h. wenn ein Symbol uebertragen wird, und verrauscht beim Emfaenger ankommt, so gibt es den erwartungswert (so, wie der Signal waere, wenn es unverrauscht waere), und den verrauschten (tatsaechlich empfangenden) Wert.
    Die Differenz zwischen den beiden Werten (Rauschabstand), darf nicht zu gross werden (=nicht ausserhalb der gedachten Kugel liegen), sonst wird das uebertragende Symbol nicht erkannt.

    Da man bei einer Uebertragung mehrere Freiheitsgrade hat (Ampitude, Phase, Frequenz etc) ergeben sich daher hoehere-Dimensionale Raume, in dem die “Kugeln” geschickt gestapelt werden muessen, sodass der Raum moeglichst gut genutzt wird.

    Wenn ich mich richtig erinnere ist bereits im vier-Dimensionalen Raum die optimale Packung der Kugeln doppelt so hoch wie bei einer einfachen als Gitter angeordneten Packung. (Bei 4 Dimensionen ist zwischen den Kugeln genuegend Platz um eine weiter Kugel hinein zu nehmen)

    Dadurch hat man einen enormen Geschwindigkeitsgewinn bei digitalen Uebertragungen.

    Es handelt sich also nicht um eine Spielwiese fuer Mathematiker, sondern um etwas, was wir jeden Tag benutzen, wenn wir WLAN oder Telefone benutzen.

  2. #2 hwied
    nach einem dreidimensionalen Frühstück
    14. Februar 2022

    Ingo,
    als Nichtmathematiker fällt mir auf, dass man bei der 4. Dimension gar nicht mehr an ein Volumen denken kann.

    Die 2. Dimension ergibt eine Fläche bzw. Oberfläche, die 3. Dimension ergibt das Volumen,

    Wenn man jetzt von einer Raumpackung spricht, dann setzt das voraus, dass man ein Volumen meint, das so gar nicht existiert. Man muss es anders nennen.

    Mathematisch ist es sicher sinnvoll , sich solche Gedanken zu machen. Ob dem etwas Reelles entspricht, ??

  3. #3 Ingo
    14. Februar 2022

    @hwied:

    Wie du das “4-Dimensionale Volumen” nun nennst ist eher eine linguistische Diskussion.
    (Hyper-Volumen? 4d-Volumen? – brauch jede hoehere Dimension eine eigene Vorsilbe??)

    > Ob dem etwas Reelles entspricht, ??

    “Real” im Sinne von “Existiert irgendwo ein 4D-Raum in unseren realen Universum”?
    -> Nein, vermutlich nicht (Nebendiskussion: Ist Mathematik erfunden oder Entdeckt. Ich bin eher bei “erfunden”)

    “Real” im Sinne von “brauchen wir das?”
    -> Ja, ja, und definitiv ja

    Deswegen habe ich ja den teil ueber digitale Signaluebertragung geschrieben, wo solche Ueberlegungen in technischen Anwendung resultieren, die ich im Moment benutze um ueber WLAN und Kabel-Internet solche Kommentare zu schreiben.

  4. #4 hwied
    bei einem Kaffee
    14. Februar 2022

    Ingo,
    wenn man also mit mehreren Parametern eine 4er Matrix macht, dann ist das der 4 D-Raum ??

    Oder noch praktischer, du überlegst, ob du mehrere Signale parallel überträgst, dann wartest und wieder mehrere Signale auf 8 Kabeln gleichzeitig überträgst.

    Oder du nimmst nur 4 Kabel überträgst wieder parallel, aber diesmal ist die Übertragungszeit länger.
    Du hast aber 4 Kabel gespart.

    Oder du nimmst nur 1 Kabel und überträgst linear hintereinander, was noch länger dauert aber billiger ist.
    so stelle ich mir das vor.

  5. #5 Ingo
    15. Februar 2022

    @ hwied

    > wenn man also mit mehreren Parametern
    > eine 4er Matrix macht, dann ist das der 4 D-Raum ??

    Du meinst das richtige. Ja.
    Genaugenommen ist eine 4er-Matrix nicht der 4D-Raum, sondern alle Moeglichkeiten die du hast, wenn du etwas mit einem 4er-Vektor darstellst.
    Ein richtiger Mathematiker wird das sicherlich noch genauer definieren koennen.

    “Raum” hat in der Mathematik nichts mit “Raum in den ein Raumschiff hineinfliegen kann” zu tun

    > Oder du nimmst 8/4/1 Kabel und überträgst
    > linear/parallel.

    Natuerlich kann man mit 8 Kabeln schneller uebertragen als mit 4 Kabeln (oder mit einem).
    Das ist klar.
    Das spannende ist aber, dass du mit 8 Kabeln viel viel mehr als nur 8 mal so schnell bist wie mit einem Kabel.
    Der Gewinn ist theoretisch bei 8 Dimensionen bereits bei 1500% gegenueber nicht packungsbasierten Verfahren (wenn ich mich nicht verrechnet habe)
    Bitte stell dir allerdings lieber nicht “Kabel” vor, sondern besser verschiedene Kanaele (z.b. Frequenzen, oder sonstige Freiheitsgrade in der Uebertragung) auf einem Kabel.

    Im Vergleich “am Gitter ausgerichtete Anordnung von Kugeln/Spaeren” versus “optimale Packungsdirchte” hast du ungefaehr folgenden Gewinn:
    2 Dimensionen 15%
    3 Dimensionen 41%
    4 Dimensionen 100% (verdopplung)
    5 Dimensionen 183% (vermutet, nicht bewiesen)
    6 Dimensionen 362% (vermutet, nicht bewiesen)
    7 Dimensionen 700% (vermutet, nicht bewiesen)
    8 Dimensionen 1500% (bewiesen – s. Artikel)
    ..
    24 Dimensionen 1677721492% (bewiesen – s. Artikel)

    Das sind nur theoretische Werte, die in der Praxis so natuerlich nicht erreicht werden. U.a. ist der Raum bei Uebertragungen nicht unendlich,- irgendwann schmilzt dein Kabel schlichtweg.
    Aber man kann sehen, dass da enormes Potenzial ist.

    Und das wird auch genutzt,- und das ist der Grund warum solche Mathematischen Forschungen dafuer gesorgt haben, dass Dein WLAN, und deine Mobilfunkverbindung heute viel schneller als vor 20 Jahren sind.

  6. #6 hwied
    15. Februar 2022

    Ingo,
    Bei UKW beträgt die Bandbreite glaube ich 10 kHz.
    Das Trägersignal hat also z.B. 100 MHz und davon sind 10 KHz Frequenzmoduliert.
    Zwischen 99,9 MHz und 100 MHz könnte man also 10 Sender gleichzeitig übertragen .

    Bei G4 arbeitet man schon mit 2,4 GHz.
    Die Trägerfrequenz ist also 24 x größer, die Anzahl der Kanäle also auch 24 x größer.(bei gleicher Bandbreite)

    Ich weiß auch, dass man gleichzeitig mit verschieden hohen Frequenzen auf dem gleichen Kanal modulieren kann.
    Jetzt zu deiner Aussage:”Das spannende ist aber, dass du mit 8 Kabeln viel viel mehr als nur 8 mal so schnell bist wie mit einem Kabel.”
    Wie ist das zu erklären ?
    Und wie groß ist die Bandbreite bei WLAN.

  7. #7 Frank Wappler
    15. Februar 2022

    Ingo schrieb (15. Februar 2022):
    > […] “Raum” hat in der Mathematik nichts mit “Raum in den ein Raumschiff hineinfliegen kann” zu tun

    Dem ist entgegenzusetzen, dass sich auch der “Raum in den ein Raumschiff hineinfliegen kann” als “Raum” in Sinne der Mathematik auffassen lässt, also als eine bestimmte geeignete “Menge” mit bestimmer geeigneter “Struktur”;

    wobei die geeignete “Menge” aus dem vorgegebenen Raumschiff sowie zusätzlichen (vorhandenen, oder zumindest denkbaren) Beteiligten (anderen Raumschiffen o.Ä.) besteht, die insbesondere so ausgewählt sind, dass

    – keine zwei (oder mehr) jemals zusammenstießen oder noch zusammenstoßen würden; d.h. von denen keine zwei (oder mehr) koinzident am selben Ereignis teilgenommen haben oder teilnehmen würden; die also zusammen eine sogenannte Kongruenz bilden (oder zumindest eine Teilmenge einer Kongruenz, die auch das vorgegebene Raumschiff umfasst),

    und die geeignete “Struktur” insbesondere die Ping-Koinzidenz-Beziehungen jedes Mitgliedes der Menge bzgl. allen anderen ist, wobei diese Menge außerdem auch so auszuwählen ist, dass

    – jedes Mitglied der Menge (insbesondere das vorgegebene Raumschiff) durchwegs Ping-Echos bzgl. zumindest einigen anderen Mitgliedern wahrnahm und

    – jedes Mitglied der Menge (insbesondere das vorgegebene Raumschiff) innerhalb jedes seiner Ping-Verläufe bzgl. eines anderen Mitgliedes (d.h. jeweils von seiner Anzeige eines Signals bis zu seiner Anzeige der Wahrnehmung des betreffenden Ping-Echos) zwei oder mehr aufeinanderfolgende Ping-Verläufe bzgl. zumindest einiger weiterer Mitglieder wahrnahm.

  8. #8 Ingo
    15. Februar 2022

    > Bei G4 arbeitet man schon mit 2,4 GHz.
    > Die Trägerfrequenz ist also 24 x größer, die Anzahl
    > der Kanäle also auch 24 x größer

    Verstehe ich nicht.
    ich schreibe es mal in absoluten Zahlen auf
    Bei “UKW” (100 MHz, Brandkreite 1kHz):
    1.000.000 Hz – Bandbreite 1.000 Hz
    d.h. ein Sender braucht die Bandbreite von
    999.000 Hz bis 1.001.000 Hz

    Bei 2,4GHz und angenommener Bandbreite von 1kHz ergibt sich fuer einen Sender:
    2.400.000.000Hz -> 2,399,999.000Hz – 2.400.001.000Hz
    Wo kann da 24x so viel hineingepackt werden?
    Natuerlich ist zwischen 2.4GHz und 2.5Ghz mehr Platz als zwischen 2.4Mhz und 2.5Mhz,- wenn die Bandbreite bei 1khz bleibt.

    Egal – darum geht es nicht. WLAN und 5G verwenden ja auch nicht FM-modulation.

    Stell dir zunaechst einen Kanal vor.
    Mit dem kanal kannst du ein (zunaechst) analoges Signal uebertragen.
    Angenommen das Signal kann irgendwo zwischen “0” und “4” platziert werden.
    * 0Volt bis 4Volt oder
    * -10kHz Frequenzoffset bis 10kHz Frequenzoffset oder
    * 0Grad Phasendifferenz bis 360Grad Phasendifferenz.
    Was auch immer. Nehmen wir an dies waere eine x-Koordinate die irgendwo zwischen 0-4 liegen kann.

    Ich will aber ein Digitales Signal uebertragen,- also verteile ich “Symbole”.
    0 (-10kHz oder 0° Phasendiff) bedeutet = “00”
    1 ( -3 kHz oder 90° Phasendiff) bedeutet = “01”
    2 (+3 khz oder 180° Phasendiff) bedeutet = “10”
    3 (+10kHz oder 270° Phasendiff) bedeutet = “11”

    Moechtest du also 01 11 00 10 uebertragen, musst du folgende Werte uebertragen:
    1, 3, 0, 2 (bzw die Frequenzen, oder Phasendifferenzen oder was auch immer)
    beim Empfänger kommt das jedoch verrauscht an:
    aus 1, 3, 0, 2 wird dann 0.9, 3.1, 0.2, 1,8.
    Der Empfaenger muss nun daraus die Korrekten Symbole erkennen.
    Die Rauschverteilung folgt einer Gauss-Verteilung.

    Wenn ich 2 Kanaele habe kann ich dagegen ein 2D-Feld aufbauen.

    Kanal1:0 Kanal2:0 0000
    Kanal1:0 Kanal2:1 0001
    Kanal1:0 Kanal2:2 0010
    Kanal1:0 Kanal2:3 0011
    Kanal1:1 Kanal2:0 0100
    Kanal1:1 Kanal2:1 0101
    Kanal1:1 Kanal2:2 0110
    Kanal1:1 Kanal2:3 0111
    Kanal1:2 Kanal2:0 1000
    Kanal1:2 Kanal2:1 1001
    Kanal1:2 Kanal2:2 1010
    Kanal1:2 Kanal2:3 1011
    Kanal1:3 Kanal2:0 1100
    Kanal1:3 Kanal2:1 1101
    Kanal1:3 Kanal2:2 1110
    Kanal1:3 Kanal2:3 1111

    In einem Bild koennte man ein 2D-Feld zeichen, wo ein Kanal die X-Koordinate repraesentiert, und ein Kanal die Y-Koordinate. In dem Feld sind dann die 16 Symbole angeordnet.
    Mit 2 Kanaelen kann man dann pro Signalschritt 16 Symbole unterscheiden (Bei 1 Kanal nur 4)
    Damit bin ich doppelt so schnell, bei doppelt so viel Kanaelen.

    Soweit – so un-sensationell. Hier ist noch kein Gewinn, (ausser das ich doppelt so viel Kanaele benutze)

    Die Rauschverteilung folgt jedoch einer 2D-Gaus-Verteilung. Dies sieht annaehert wie ein unscharfer Kreis auf meinen Feld aus.
    Diese Kreise sind aber nicht optimal verteilt.
    Zwischen den Kreisen sind Luecken.

    Aehnlich wie wenn ich Muenzen optimal auf einen Tisch verteile, dann lege ich sie ja auch nicht wie in einen Gitter an, sondern lege die Reihen gegeneinander versetzt, sodass die jeweilige Reihe etwas zwischen die obere und untere Reihe rutschen kann, sodass ich letztendlich mehr Muenzen auf dem Tisch unterbringen kann. 15% mehr um genau zu sein.

    Meine Symbole kann ich nun ebenfalls gegeneinander versetzt anordnen.

    Kanal1:0 Kanal2:0 0000
    Kanal1:0 Kanal2:1 0001
    Kanal1:0 Kanal2:2 0010
    Kanal1:0 Kanal2:3 0011
    Kanal1:0,9 Kanal2:0,5 0100
    Kanal1:0,9 Kanal2:1,5 0101
    Kanal1:0,9 Kanal2:2,5 0110
    Kanal1:0,9 Kanal2:3,5 0111
    Kanal1:1,8 Kanal2:0 1000
    Kanal1:1,8 Kanal2:1 1001
    Kanal1:1,8 Kanal2:2 1010
    Kanal1:1,8 Kanal2:3 1011
    Kanal1:2,7 Kanal2:0,5 1100
    Kanal1:2,7 Kanal2:1,5 1101
    Kanal1:2,7 Kanal2:2 5 1110
    Kanal1:2,7 Kanal2:3,5 1111
    …. und ploetzlich bekomme ich noch eine zusaetzliche Reihe unter
    Kanal1:3,6 Kanal2:0,5 ExtraSymbol1
    Kanal1:3,6 Kanal2:1,5 ExtraSymbol2
    Kanal1:3,6 Kanal2:2 5 ExtraSymbol3
    Kanal1:3,6 Kanal2:3,5 ExtraSymbol4

    Trotzdem ist der Abstand zwischen 2 Symbolen immer noch 1,- ohne das sich 2 “Kreise” (Rauschglocken) ueberschneiden.

    Von “Kanal1:0,9 Kanal2:0,5” nach
    “Kanal1:1,8 Kanal2:1” ist der Abstand
    sqrt((1,8 – 0,9)² + (1 – 0,5)²) = 1 (mehr oder weniger)

    In diesen Beispiel habe ich ein wenig beim Runden der Zahlen geschummelt,- aber das Prinzip bleibt.
    Durch geschickte Anordnung der Symbole kann ich einen Gewinn erziehlen.
    Und je mehr Kanaele ich zusammen benutze, desto groesser ist der Gewinn. Bei 4 Kanaelen kann ich bereits doppelt soviel Symbole anordnen.

    Man kann es sich auch anders vorstellen.
    Wenn etwas auf einen Kanal um “mehr als 1 verrauscht”,- dann kann der Empfaenger das Symbol nicht mehr dekodieren, und ich bekomme einen Uebertragungsfehler.
    Normal ist aber, dass etwas “um weniger als 1 verrauscht”.
    Das es aber auf beiden Kanaelen gleichzeitig um knapp 1 verrauscht ist sehr unwahrscheinlich. Das nutze ich aus, indem ich die Symbole so anordne, dass es zwar auf einen Kanal um 1 verrauschen darf, aber nicht auf beiden gleichzeitig.
    So gewinne ich mehr Symbole.

  9. #9 hwied
    15. Februar 2022

    Ingo,
    Danke für die Ausführlichkeit,
    wenn ich das alles verstanden habe, bin ich dann ein Netzwerkfachmann ?
    Ich kämpfe gerade mit meinem Web-Anbieter. Der hat auf sftp umgestellt und ich kann meine Site nicht mehr vollständig hochladen. Die arbeitet auch mit flash componenten und ich vermute sftp akzeptiert die nicht mehr.
    Das hat jetzt Vorrang. Ich melde mich später wieder.

  10. #10 Ingo
    15. Februar 2022

    @hwied

    Im realen Leben wird meistens die “Quadraturamplitudenmodulation” angewendet.

    Die wurde bereits in der analogen Welt verwendet, um Farbfernsehn zu realisieren.
    Beim Farbfernsehn wurde auf Kompatibilitaet zujm Schwarz-Weiss-Fernsehn geachtet.
    Daher gibt es eine Frequenz, wo das Schwarz-Weiss-Bild uebertragen wird,- und eine Oberfrequenz, wo ZWEI(!) Farbhilfstraeger auf einer Frequenz uebertragen werden, damit ich so letztendlich meine 3 Kanaele (Rot, Gruen, Blau) bekomme.
    Das ZWEI Kanaele auf einer Frequenz uebertragen werden koennen ist der Quadraturamplitudenmodulation zu verdanken. (2 Kanaele auf einer Frequenz).
    Bei klassischen FM wird nur die Frequenz genutzt um die Information zu uebertragen,- bei QAM wird auch die Phase benutzt,- daher 2 Kanaele.

    Dies wird in der Digitaltechnik verwendet um meine “2 Kanaele” zu uebertragen.
    Wenn ich 16 Symbole (=4 Bit) in einem Symbolschritt uebertragen kann, wird dies QAM16 genannt.
    Wenn ich 256 Symbole (=1 Byte) pro Signalschritt uebertrage, ist dies QAM256.
    Durch geschickte Anordnung der Punkte, wo die Symbole in meinen Feld liegen, kann ich den “Gewinn” mitnehmen.
    Wenn ich 2 Frequenzen mit je 2 Kanaelen (=4 Kanaele) mit einander kombiniere, beginnt die Magie.

  11. #11 Frank Wappler
    16. Februar 2022

    Frank Wappler schrieb (#7, 15. Februar 2022):
    > […] dass sich auch der “Raum in den ein Raumschiff hineinfliegen kann” als “Raum” in Sinne der Mathematik auffassen lässt, […]
    > […] geeignet[ ausgewählte] “Menge” aus dem vorgegebenen Raumschiff sowie zusätzlichen (vorhandenen, oder zumindest denkbaren) Beteiligten [und]
    > […] geeignete “Struktur” insbesondere die Ping-Koinzidenz-Beziehungen jedes Mitgliedes der Menge bzgl. allen anderen

    Um die Gelegenheit nicht ungenutzt zu lassen, auch entsprechende Notation vorzulegen, sei

    (\mathsf P, \Psi^{\mathsf P})

    der “Raum in den ein (bestimmtes, vorgegebenes) Raumschiff hineinfliegen kann”,

    bestehend aus Menge \mathsf P von geeignet ausgewählten bestimmten Beteiligten, alias den “Punkten des Raumes”, einschl. des vorgegebenen “Raumschiffs”;
    und den zwischen diesen bestehenden Ping-Koinzidenz-Beziehungen \Psi^{\mathsf P},

    die die einzenen Ping-Funktionen \psi^A_{\leftrightarrow B} jedes Mitgliedes A \in \mathsf P bzgl. jedes (anderen) Mitgliedes B \in \mathsf P beinhaltet, d.h.

    \Psi^{\mathsf P} \equiv \{ \, \psi^A_{\leftrightarrow B} \, | \, A, B, \in \mathsf P \, \},

    worin diese einzelnen Ping-Funktionen jeweils eine Abbildung

    \psi^A_{\leftrightarrow B} : \mathcal A \rightarrow \mathcal A

    der geordneten Menge \mathcal A der Anzeigen $A$s auf sich selbst darstellen;
    wobei insbesondere die Ping-Funktion jedes Beteiligten bzgl. sich selbst die identische Funktion ist, d.h.

    \forall Y_{\circ X} \in \mathcal Y : \psi^Y_{\leftrightarrow Y}[ \, Y_{\circ X} \, ] = Y_{\circ X};

    und wobei sich insbesondere die Forderung, dass keine zwei (verschiedene) Mitglieder (alias Punkte) der Menge \mathsf P koinzident sein dürfen, darin äußert, dass ein Beteiligter X, der koinzident mit einem Mitglied A der Menge \mathsf P an Ereignis \varepsilon_{AX} teilgenommen hatte, nicht ebenfalls Mitglied der Menge \mathsf P sein darf:

    \forall \, A \in \mathsf P : (A_{\circ X} \in \mathcal A) \implies (X \not\in \mathsf P).

  12. #12 hwied
    beim essen einer Orange
    22. Februar 2022

    Frank Wappler
    Zum letzten Abschnitt sagt der Volksmund, ein Mensch kann nicht an zwei Orten zugleich sein.
    Die Orange ist an zwei Orten zugleich. Einmal in meiner Hand und gleichzeitig in meinem Bauch.
    Die Koinzidenz kann also auch über einen längeren Zeitraum stattfinden,
    (wenn ich das richtig interpretiert habe )

  13. #13 Frank Wappler
    (beim Aufnehmen eines Kredits zur Finanzierung einer Wärmepumpenheizung ... (?))
    27. Februar 2022

    hwied schrieb (#12, 22. Februar 2022):
    > Zum letzten Abschnitt

    … von Kommentar #12, d.h. (wie in Mathematik-Blogs auch zu schreiben sein dürfte):
    zur unzusammenhängenden natürlichen Topologie einer Kongruenz …

    > sagt der Volksmund, ein Mensch kann nicht an zwei Orten zugleich sein.

    Entsprechend steht ja auch in den Physik-Blogs spätestens seit um 1905 herum, dass »anstatt von “Ort” jeweils (schlichter und menschlicher) von einem bestimmten “identifizierbare materiellen Punkt”« zu schreiben ist; oder so ähnlich.

    > [ beim Essen einer Orange: ] Die Orange ist an zwei Orten zugleich. Einmal in meiner Hand und gleichzeitig in meinem Bauch.

    Falls die Apfelsine im Ganzen von den Hand an die Magenpforte gereicht worden ist (kann ja mal vorkommen), dann war das, grob gesagt, doch nur ein einziges Ereignis, eine Koinzidenz der drei genannten Beteiligten.

    Oder, bei genauerer Betrachtung, handelt es sich dabei um einen Ablauf von Ereignissen, an denen die immer die ganze süß-säuerliche Südfrucht beteiligt war (also eine dadurch zeitlich geordnete Menge von Ereignissen), aber immer weniger Fingerspitzen und immer mehr Magenschleimhautzellen.

    Oder man schält sie vorher, teilt sie in Stückchen, die man einzeln zum Munde führt und ggf. sogar abbeißt, zerkaut den jeweiligen Bissen erst mal in Ruhe (da gehört idealerweise gar nicht so viel Kauen dazu), und schluckt den so entstandenen saftig-leckeren Speisebrei durch die Speiseröhre.

    > Die Koinzidenz kann also auch über einen längeren Zeitraum stattfinden,

    Von “Koinzidenz” war in #12, zur Definition von “Raum (mit Raumschiff)”, nur insofern die Rede, als Koinzidenz zwischen dessen (denkbaren) Bestandteilen untereinander oder mit dem besagten Raumschiff überhaupt nicht auftreten soll.

    Ansonsten lässt sich von “Koinzidenz über einen längeren gemeinsamen Verlauf von (zwei) unterscheidbaren Beteiligten” durchaus dann sprechen, falls verschiedene Abschnitte solchen “Zusammenbleibens” dadurch unterscheidbar sind, dass weitere (“dritte”) Beteiligte jeweils nur momentan oder Abschnitts-weise ebenfalls koinzident mit den beiden ersteren waren.

    Apfelsine wird ja z.B. gelegentlich von Steak begleitet, oder Huhn, oder Lachs, oder Garnele. Oder kaltem Hund. (Bevorzugt Bissen-weise, versteht sich.)