Von Thilo / 29. Oktober 2023 / 5 Kommentare / Seite 4 von 4 / Auf einer Seite lesen

Und noch

Noch kurz ein paar weitere interessante Numberphile-Videos.

Im Juni 2017 wurde ein einfaches Gegenbeispiel zu einer Vermutung John Conways vorgestellt. Conway hatte gefragt, ob der Prozess, einer Zahl ihre Primfaktorzerlegung als Dezimalzahl (mit Exponenten als Ziffern) zuzuordnen, nach endlich vielen Iterationen stets zu einer Primzahl führt. Das Gegenbeispiel ist

Wirklich anspruchsvolle Mathematik erklärte June Huh im Juli 2018 in einem Video über die Geschichte der g-Vermutung.

Im Dezember 2020 erklärte Sabetta Matsumoto die Geometrie der „strukturellen Färbungen“ von Schmetterlingsflügeln und Gyroiden: “Structural color is based on reflection, not absorption”.

Im Februar 2022 malten Matt Henderson und seine “Plotter Machine” schöne Kurven.

Und das (zum Zeitpunkt der Erstellung dieses Artikels) letzte Video widmet sich dem Langlands-Programm, wieder mit Edward Frenkel.

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Kommentare (5)

#1 Frank Wappler
30. Oktober 2023

Thilo schrieb (29. Oktober 2023):
> […] die unendliche Reihe $\zeta[ ~ s ~ ] := \sum_{n = 1}^{\infty}\left[ ~ \frac{1}{n^s} ~ \right]$
> [… die für] Realteil $\text{Re}[ ~ s ~ ] > 1$ […] konvergiert [… und als Funktion von $s$ …] komplex differenzierbar ist.

Um untersuchen und entscheiden zu können, ob und für welche Werte $s$ ein (gegebener) Ausdruck konvergiert (und, falls so, womöglich darüber hinaus auch komplex differenzierbar wäre), muss der betreffende Ausdruck hinreichend formal gegeben (und insofern auch “formal als Reihe definiert”) sein.

> […] Der Punkt ist natürlich, dass $\zeta[ ~ s ~ ]$ eben nur für $\text{Re}[ ~ s ~ ] > 1$ auf diese Weise definiert war,

Hier bezieht sich die Charakterisierung als “definiert” offenbar auf die ausdrückliche Erfüllung der Forderung nach Konvergenz (alias “Wertigkeit”, die zur Bewertung von Differenzierbarkeit vorausgesetzt wird), bzw. sogar auf die ausdrückliche Erfüllung der Forderung nach komplex-Differenzierbarkeit.

Wäre es richtig zu sagen, dass die Reihe $\zeta[ ~ s ~ ]$ anhand ihrer o.g. formalen Definition eben nur für $\text{Re}[ ~ s ~ ] > 1$ als analytische Funktion von $s$ unmittelbar definiert ist ?

(Dann könnte es sich allerdings als vorteilhaft erweisen, “die formal überall definierte Reihe” auch symbolisch von der “daraus unmittelbar definierten analytischen Funktion auf entsprechend eingeschränktem Definitionsbereich” zu unterscheiden.)

> Es ist ein allgemeines Prinzip, dass man eine auf einer offenen Teilmenge der Ebene definierte komplex-differenzierbare Funktion (unter gewissen Voraussetzungen) “analytisch fortsetzen” kann, so dass man eine auf der ganzen Ebene (mit Ausnahme einzelner isolierter Singularitäten) definierte komplex-differenzierbare Funktion erhält.

(Und diese Fortsetzung ist offenbar eindeutig.)

> Im Fall von $\zeta[ ~ s ~ ]$ definiert diese analytische Fortsetzung

… der formal gegebenen/definierten Reihe in den Bereich $\text{Re}[ ~ s ~ ] &le 1$ (mit Ausnahme einzelner isolierter Singularitäten) …

> die sogenannte Riemannsche Zeta-Funktion […]

(Es könnte sich allerdings als vorteilhaft erweisen, “die aus der formal überall gebenen Reihe unmittelbar definierte analytische Funktion auf entsprechend eingeschränktem Definitionsbereich” auch symbolisch von deren eindeutiger “analytischen Fortsetzung” zu unterscheiden.)

> [Im Bereich $\text{Re}[ ~ s ~ ] &le 1$ hat] der Wert der analytischen Fortsetzung nichts mit dem (nicht existierenden) Wert der unendlichen Reihe zu tun.

Dem stinknormalen Gleichheitszeichen, wie es u.a. im obigen ScienceBlog-Artikel in der Gleichung “ $- \frac{1}{12} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \dots$ ” sogar mehrfach auftritt,
ist diese recht spezielle Bedeutung allerdings nur schwerlich zu entnehmen.
(Es wurde bereits gelegentlich vorgeschlagen, stattdessen “ $- \frac{1}{12} \doteq 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \dots$ ” zu schreiben.)

p.s.
> $\sum_{i = 1}^{\infty}$ […]

Da das Zeichen $i$ konventionell die imaginare Einheit symbolisiert, ist dessen Verwendung als Index nicht zu empfehlen. Man beachte z.B.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \left[ ~ (-1)^k ~ \frac{1}{i} ~ \right] = i ~ \left( \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ ~ (-1)^{(k + 1)} ~ \right] \right)$

und

$\sum_{k = 1}^{\infty} \left[ ~ (-1)^i ~ \frac{1}{k} ~ \right] = \frac{1}{e^{\pi}} ~ \left( \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ ~ \frac{1}{k} ~ \right] \right)$ .
#2 Frank Wappler
30. Oktober 2023

Thilo schrieb (29. Oktober 2023):
> […] die unendliche Reihe $\zeta[ ~ s ~ ] := \sum_{n = 1}^{\infty}\left[ ~ \frac{1}{n^s} ~ \right]$
> [… die für] Realteil $\text{Re}[ ~ s ~ ] > 1$ […] konvergiert [… und als Funktion von $s$ …] komplex differenzierbar ist.

Um untersuchen und entscheiden zu können, ob und für welche Werte $s$ ein (gegebener) Ausdruck konvergiert (und, falls so, womöglich darüber hinaus auch komplex differenzierbar wäre), muss der betreffende Ausdruck hinreichend formal gegeben (und insofern auch “formal als Reihe definiert”) sein.

> […] Der Punkt ist natürlich, dass $\zeta[ ~ s ~ ]$ eben nur für $\text{Re}[ ~ s ~ ] > 1$ auf diese Weise definiert war,

Hier bezieht sich die Charakterisierung als “definiert” offenbar auf die ausdrückliche Erfüllung der Forderung nach Konvergenz (alias “Wertigkeit”, die zur Bewertung von Differenzierbarkeit vorausgesetzt wird), bzw. sogar auf die ausdrückliche Erfüllung der Forderung nach komplex-Differenzierbarkeit.

Wäre es richtig zu sagen, dass die Reihe $\zeta[ ~ s ~ ]$ anhand ihrer o.g. formalen Definition eben nur für $\text{Re}[ ~ s ~ ] > 1$ als analytische Funktion von $s$ unmittelbar definiert ist ?

(Dann könnte es sich allerdings als vorteilhaft erweisen, “die formal überall definierte Reihe” auch symbolisch von der “daraus unmittelbar definierten analytischen Funktion auf entsprechend eingeschränktem Definitionsbereich” zu unterscheiden.)

> Es ist ein allgemeines Prinzip, dass man eine auf einer offenen Teilmenge der Ebene definierte komplex-differenzierbare Funktion (unter gewissen Voraussetzungen) “analytisch fortsetzen” kann, so dass man eine auf der ganzen Ebene (mit Ausnahme einzelner isolierter Singularitäten) definierte komplex-differenzierbare Funktion erhält.

(Und diese Fortsetzung ist offenbar eindeutig.)

> Im Fall von $\zeta[ ~ s ~ ]$ definiert diese analytische Fortsetzung

… der formal gegebenen/definierten Reihe in den Bereich $\text{Re}[ ~ s ~ ] \le 1$ (mit Ausnahme einzelner isolierter Singularitäten) …

> die sogenannte Riemannsche Zeta-Funktion […]

(Es könnte sich allerdings als vorteilhaft erweisen, “die aus der formal überall gebenen Reihe unmittelbar definierte analytische Funktion auf entsprechend eingeschränktem Definitionsbereich” auch symbolisch von deren eindeutiger “analytischen Fortsetzung” zu unterscheiden.)

> [Im Bereich $\text{Re}[ ~ s ~ ] \le 1$ hat] der Wert der analytischen Fortsetzung nichts mit dem (nicht existierenden) Wert der unendlichen Reihe zu tun.

Dem stinknormalen Gleichheitszeichen, wie es u.a. im obigen ScienceBlog-Artikel in der Gleichung “ $- \frac{1}{12} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \dots$ ” sogar mehrfach auftritt,
ist diese recht spezielle Bedeutung allerdings nur schwerlich zu entnehmen.
(Es wurde bereits gelegentlich vorgeschlagen, stattdessen “ $- \frac{1}{12} \doteq 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \dots$ ” zu schreiben.)

p.s.
> $\sum_{i = 1}^{\infty}$ […]

Da das Zeichen $i$ konventionell die imaginare Einheit symbolisiert, ist dessen Verwendung als Index nicht zu empfehlen. Man beachte z.B.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \left[ ~ (-1)^k ~ \frac{1}{i} ~ \right] = i ~ \left( \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ ~ (-1)^{(k + 1)} ~ \right] \right)$

und

$\sum_{k = 1}^{\infty} \left[ ~ (-1)^i ~ \frac{1}{k} ~ \right] = \frac{1}{e^{\pi}} ~ \left( \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ ~ \frac{1}{k} ~ \right] \right)$ .
#3 Frank Wappler
30. Oktober 2023

Frank Wappler schrieb (#2, 30. Oktober 2023):
> […] (Es wurde bereits gelegentlich vorgeschlagen, stattdessen
“- \frac{1}{12} \doteq 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \dots” zu schreiben.)

Eine weitere Korrektur:
Der damalige Vorschlag war stattdessen:
“- \frac{1}{12} \bumpeq 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \dots”.
#4 Jack
3. November 2023

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8. November 2023

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