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In der algebraischen Geometrie behandelt man Räume mittels der algebraischen Untersuchung der Ringe der auf ihnen definierten (algebraischen) Funktionen. Auch in anderen Gebieten der Mathematik betrachtet man oft geeignete Funktionenräume (in physikalischer Sprache: Observablen) statt der zugrundeliegenden Räume, zum Beispiel einfach die Algebra C0(X) der komplexwertigen stetigen Funktionen mit kompaktem Träger auf X. Diese Algebra…
Als Kontinuumshypothese bezeichnet man die 1878 von Georg Cantor aufgestellte Vermutung, dass es keine Mengen gibt, die einerseits mehr Elemente als die Menge der rationalen Zahlen und andererseits weniger Elemente als die Menge der reellen Zahlen haben. (Man muss bei solchen unendlichen Mengen natürlich genau definieren, was man mit “mehr” oder “weniger” Elementen meint: dafür…
Der Wolf-Preis, neben Fields-Medaille und Abel-Preis die wichtigste Mathematik-Auszeichnung, geht dieses Jahr an Ingrid Daubechies (und damit erstmals an eine Frau) für ihre Arbeiten über Wavelets und angewandte harmonische Analysis. Wavelets sind wichtig in der Signalverarbeitung. Es geht dort darum, eine Hilbertraum-Basis im (unendlich-dimensionalen) Vektorraum L2(R) aller quadratisch-integrierbaren Funktionen zu finden, so dass eine Funktion…
Heute wäre der 100. Geburtstag der Mathematikerin Olga Ladyschenskaja, bekannt vor allem für spektakuläre Arbeiten über die Gleichungen der Hydrodynamik, also für die Strömung von linear-viskosen Flüssigkeiten und Gasen. Sie arbeitete in Leningrad über die Analysis und Numerik dieser Gleichungen in ständiger Konkurrenz mit ihrer Moskauer Kollegin Olga Oleinik, die sich mit nichtlinearen Problemen der Elastizitätstheorie,…
Ursprünglich motiviert von Fragestellungen, die aus der Analysis reeller Funktionen stammen (Ausnahmemengen für die Konvergenz von Fourier-Reihen) und später aus eher metaphysischen Motiven hatte Georg Cantor seit den 1870er Jahren die Theorie der Punktmengen und dann die abstrakte Mengenlehre entwickelt. Felix Hausdorff beschäftigte sich ursprünglich aus philosophischem Interesse mit Cantors Mengenlehre, sein 1914 erschienenes Hauptwerk…
Die Euler-Gleichungen beschreiben die Strömung von reibungsfreien, elastischen Flüssigkeiten und Gasen. Sie sind der Grenzfall für Viskosität 0 der Navier-Stokes-Gleichungen . Olga Ladyzhenskaya bewies 1959 die globale eindeutige Lösbarkeit und die Glattheit der Lösungen für die Navier-Stokes-Gleichungen auf dem R2 und dem 2-dimensionalen Torus, und auch für die schwierigeren Euler-Gleichungen. Dieselbe Frage für die 3-dimensionalen…
Zentrales Thema der “klassischen” algebraischen Geometrie ist die birationale Klassifikation projektiver Varietäten. Der Ansatz dafür ist die Konstruktion minimaler Modelle: mittels birationaler Chirurgien will man die Varietät so verändern, dass sie in eine von zwei Klassen fällt: entweder ist sie eine eine Varietät, deren kanonisches Linienbündel nef ist (das heißt, das Integral der ersten Chern-Klasse…
Torsion in der Homologie liefert oft verfeinerte Informationen, mit denen man Probleme der algebraischen Topologie angehen kann. Daneben ist mit dem Langlands-Programm die Torsion in der Homologie arithmetischer Gruppe in den Mittelpunkt des Interesses gerückt. Als einfachstes Beispiel hat man dort die Kongruenzgruppen Γ0(N) für ein Ideal N in Od oder Z. Für Z hat der…
Zentrale Frage der Topologie 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten war lange die Poincaré-Vermutung, seit den 70er Jahren dann die Geometrisierungsvermutung, die 2003 von Perelman mit Hilfe des Ricci-Flusses bewiesen wurde. Das löste einerseits einen Boom an Arbeiten über Krümmungsflüsse aus, andererseits wurden in den folgenden Jahren auch jenseits von Krümmungsflüssen verschiedene zentrale Fragen der 3-dimensionalen Topologie gelöst. Calegari…
Semiklassische Analysis untersucht Quantensysteme – also Operatoren P(h) – in ihrem semiklassischen Limes, wenn man h gegen Null gehen läßt, wenn also Quantenmechanik gegen klassische Mechanik konvergiert. Durch die Untersuchung dieses Grenzwerts kann man Informationen über das (nicht direkt berechenbare) Spektrum des Operators P(h) gewinnen. Quantenchaos nennt man die Untersuchung derjenigen Operatoren, für die der…
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