Lösungen von Differentialgleichungen haben oft eine hohe Regularität, d.h. sie sind häufiger differenzierbar als es für die Formulierung der Differentialgleichung eigentlich notwendig wäre. David Hilbert hatte deshalb als neunzehntes seiner 23 Jahrhundertprobleme die Frage nach der Analytizität von Lösungen elliptischer partieller Differentialgleichungen mit analytischen Koeffizienten gestellt. Das Problem wurde bereits 1903 von Sergei Bernstein gelöst…
Die Hauptachsentransformation ist das klassische Verfahren, um Kegelschnitte in Standardform zu bringen. In der Sprache der linearen Algebra bedeutet sie, dass jede symmetrische Bilinearform (über den reellen Zahlen) diagonalisiert werden kann. Tatsächlich kann man nach dem 1852 bewiesenen Trägheitssatz von Sylvester über R so diagonalisieren, dass auf der Diagonale der zugehörigen Matrix nur -1, 0…
Schon die Babylonier hatten vor 3600 Jahren eine Formel, mit der sie unendlich viele ganzzahlige Lösungen der Gleichung x2+y2=z2 finden konnten. Diophantus bewies später, dass man alle Lösungen aus der Formel der Babylonier erhält. Im 17. Jahrhundert entwickelte Pierre de Fermat die Methode des unendlichen Abstiegs, um zu bewiesen, dass es keine positiven ganzzahligen Lösungen…
Algebraische Kurven werden als Lösungsmengen von Polynomen in zwei Variablen beschrieben. Der Fundamentalsatz der Algebra oder der Satz von Bézout zeigen, dass sich allgemeine Sätze besser über den komplexen Zahlen formulieren lassen, man also komplexe Kurven im C2 betrachten sollte. Häufig ist es auch einfacher, in kompakten Räumen und mit homogenen Koordinaten zu arbeiten, weshalb…
Ein klassischer Satz, bewiesen 1849 von Cayley und Salmon, besagt die Existenz von genau 27 Geraden auf jeder kubischen Fläche in CP3. Ebenso klassisch (und ebenso heute über Berechnung von Chern-Klassen zu beweisen) ist die Existenz von genau 2875 Geraden (Kurven vom Grad 1) auf einer Quintik in CP4 . Der nächste Schritt war dann…
Das Ziel, alle einfachen endlichen Gruppen zu klassifizieren, wurde erstmals 1892 von Otto Hölder formuliert. Zu diesem Zeitpunkt kannte man an einfachen Gruppen die alternierenden Gruppen An für n≥5 und die meisten projektiven linearen Gruppen über endlichen Körpern, an sporadischen Gruppen nur die fünf Mathieu-Gruppen. Im 20. Jahrhundert wurden zunächst eine Reihe endlicher einfacher Gruppen…
Gruppentheorie war im 19. Jahrhundert die Theorie endlicher Gruppen gewesen. (Daneben gab es noch die Theorie kontinuierlicher Gruppen, heute als Lie-Gruppen bezeichnet, die aber vor allem die Lie-Algebren und kaum gruppentheoretische Argumente verwendete.) Burnside stellte 1902 die Frage, ob eine endlich erzeugte Gruppe unendlich sein kann, wenn jedes Element endliche Ordnung hat. (Burnside sprach nicht…
Die Stringtheorie entstand ursprünglich aus dem Versuch der Physiker, die starke Wechselwirkung zu verstehen. Bei ihrer Entwicklung kamen reichhaltige mathematische Strukturen zutage, die aber wenig mit starker Wechselwirkung zu tun hatten. In den 70er Jahren war dann mit einer nichtabelschen Eichtheorie – der Beschreibung durch ein Yang-Mills-Feld zur Eichgruppe SU(3)xSU(2)xU(1) – eine erfolgreiche Theorie zur…
Viele Resultate der Zahlentheorie lassen sich dynamisch interpretieren, als Eigenschaften gewisser dynamischer Systeme. Ein klassisches Beispiel ist der aus dem 19. Jahrhundert stammende Approximationssatz von Kronecker, demzufolge für eine irrationale Zahl ξ die Menge der mit q∈Z im Einheitsintervall dicht liegt. (Kronecker gab noch eine genauere Abschätzung.) Das läßt sich interpretieren als Dichtheit der Orbiten…
Am Freitag ist der argentinische Physiker Miguel Virasoro gestorben, nach dem die Virasoro-Algebra benannt ist. Diese ist von zentraler Bedeutung in der Stringtheorie und der 2-dimensionalen konformen Feldtheorie. Das folgende Video verknüpft die mathematische Konstruktion der Virasoro-Algebra mit Bildern aus einem (texanischen?) Wald. Ebenfalls am Freitag verstorben ist Steven Weinberg, der als einer der bedeutendsten…
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