Die Stringtheorie entstand ursprünglich aus dem Versuch der Physiker, die starke Wechselwirkung zu verstehen. Bei ihrer Entwicklung kamen reichhaltige mathematische Strukturen zutage, die aber wenig mit starker Wechselwirkung zu tun hatten. In den 70er Jahren war dann mit einer nichtabelschen Eichtheorie – der Beschreibung durch ein Yang-Mills-Feld zur Eichgruppe SU(3)xSU(2)xU(1) – eine erfolgreiche Theorie zur Erklärung der starken Wechselwirkung entstanden, das sogenannte Standardmodell. Doch die mathematische Struktur der Stringtheorie behielt ihre Faszination und während die ursprüngliche Motivation verblaßte, glaubte man nun, dass Stringtheorie den Rahmen für die Versöhnung von Gravitation und Quantenmechanik liefern könnte. Dafür muß man glauben, dass es zehn statt vier Dimensionen gibt, also neben der 4-dimensionalen Raum-Zeit noch sechs weitere Dimensionen in einer Größenordnung von 10-35 Metern. Diese zusätzlichen Dimensionen sollen eine Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit bilden, also eine komplexe 3-Faltigkeit komplizierter Topologie, die die Voraussetzungen der von Yau bewiesenen Calabi-Vermutung erfüllt.

Bekanntlich liefert die Differentialgeometrie Lorentzscher Mannigfaltigkeiten den mathematischen Hintergrund für die Relativitätstheorie. Man weiß noch nicht wirklich, was das analoge Setting für Stringtheorie sein soll. Klar ist, dass komplexe Kurven, Modulformen und die Darstellungstheorie unendlichdimensionaler Lie-Algebren eine Rolle spielen werden. 

Wesentliche Beiträge zur Stringtheorie kamen von Edward Witten, der, obwohl er ein Physiker war, die Mathematik wie nur wenige Mathematiker beherrschte und immer wieder überraschende mathematische Interpretationen physikalischer Ideen fand.

Anfang der 80er Jahre fand er mit Hilfe des Dirac-Operators einen einfacheren Beweis der von Schoen und Yau bewiesenen Positivität der Energie in der Gravitationstheorie. Danach bewies er mit Vafa, einem iranischen Physiker, physikalisch motivierte Abschätzungen für die Eigenwerte des Dirac-Operators. Seit Ende der 80er Jahre befaßte er sich mit einer hypothetischen Verallgemeinerung des Dirac-Operators auf Schleifenräumen von Mannifaltigkeiten: der Index dieses Operators sollte ein gewisses elliptisches Geschlecht sein. Darüber hinaus hatten seine Arbeiten über globale Anomalien die Eta-Invariante prominent gemacht. Eine von ihm physikalisch begründete Formel konnten Atiyah und Singer aus allgemeinen Prinzipien herleiten. Wegen analytischer Schwierigkeiten verzögerte sich die Arbeit, die sie dann mit Donnolly doch noch abschloßen und in den Annals of Mathematics veröffentlichten, einen unabhängigen Beweis gab Werner Müller.

Vor allem beeindruckte Witten die Mathematiker aber mit einer physikalischen Interpretation des wenige Jahre zuvor von Vaughan Jones gefundenen Knotenpolynoms.

Jones hatte sein Knotenpolynom eigentlich bei Arbeiten über von-Neumann-Algebren gefunden und in gemeinsamer Arbeit mit Joan Birman mittels der Skein-Relationen gezeigt, dass es nicht mit dem Alexander-Polynom übereinstimmt. Daraus entwickelte sich dann eine ganze Industrie von durch Skein-Relationen definierten Knoteninvarianten. Inzwischen gab es eine Reihe von Interpretationen des Jones-Polynoms, beispielsweise eine von Kauffman gefundene einfache diagrammatische Definition über Zustandssummen oder eine Definition über die Knizhnik-Zamolodchikov-Gleichungen der konformen Feldtheorie. Letztere Interpretation hatte auch zu einer Verallgemeinerung geführt, die jeder irreduziblen Darstellung einer einfachen Lie-Gruppe eine Knoteninvariante zuordnete, das Jones-Polynom entsprach dabei der Standarddarstellung der SU(2). 

Witten fand für das Jones-Polynom eine stringtheoretische Interpretation mit Hilfe eines Pfadintegrals.
Für einen Zusammenhang A auf einem (trivialen) G-Bündel über einer 3-Mannigfaltigkeit M, der als 1-Form mit Werten in der Lie-Algebra von G angesehen werden kann, betrachtet man das Chern-Simons-Funktional CS(A)=\frac{1}{4\pi}\int_M Spur(A\wedge dA+\frac{2}{3}A\wedge A\wedge A). Dieses Funktional ist eichinvariant modulo ganzzahliger Vielfacher von 2π. Damit ist für alle ganzen Zahlen k das Pfadintegral Z_k(M)=\frac{1}{vol(M)}\int_Ue^{ik CS(A)}dA eine wohldefinierte 3-Mannigfaltigkeitsinvariante. Integriert wird hier über den unendlich-dimensionalen Raum der Zusammenhänge. Diese Art von Integralen wurde von Physikern schon länger benutzt, sie hatte in der Quantenfeldtheorie eine zentrale Bedeutung. Allerdings war das Integral nicht streng definiert. Die Physiker hatten trotzdem (algebraische) Berechnungsmethoden. Die meisten Probleme der Quantenfeldtheorie drehen sich darum, eine korrekte Definition und Berechnungsmethode für bestimmte Pfadintegrale zu finden.

Eine Knoteninvariante erhält man, indem man die Holonomie des Knotens (bezüglich des Zusammenhangs) ins Spiel bringt und darauf noch eine Darstellung ρ von G anwendet. Für M=R3 und G=SU(2) sowie ρ die Standard-Darstellung von SU(2) bekommt man das Jones-Polynom. Dieses wird also als Pfadintegral für eine 3-dimensionale Eichtheorie interpretiert und man kann das Polynom jetzt für Knoten in beliebigen 3-Mannigfaltigkeiten definieren. (Insbesondere für den leeren Knoten, womit man eine 3-Mannigfaltigkeitsinvariante bekommt.) Obwohl das Integral nur ein heuristisches Werkzeug ist, führt es in diesem Fall zu einem rigorosen Ansatz im Sinne der klassischen Mechanik. Reshetikhin und Turaev nutzten die Formeln für eine rigorose algorithmische Definition. Daraus entwickelte sich eine ganze Industrie von Quanteninvarianten.

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Kommentare (2)

  1. #1 Bernd Nowotnick
    9. August 2021

    Nach meiner Meinung sind es zwölf Dimensionen wenn man bei den bewegten Wellenpaketen, die sich ohne Änderung ihrer Form durch ein dispersives, nichtlineares Medium mit astrophysikalischem Gravitationswellenhintergrund bei von der Frequenz der Kommunikation abhängenden Ausbreitungsgeschwindigkeiten der Wellen in den Medien die sowohl horizontal als auch vertikal asymmetrisch gegenüber einem gebundenen System agieren, in die Zentren Beobachter mit Eigenzeiten als eigenständige Dimension bzw. eigenständige Abbildung bei variablem Wirkungsgrad der Kommunikation hineinbringt, welche dann eine Drehimpulserhaltung der Gravitation generieren.

  2. #2 Frank Wappler
    11. August 2021

    Thilo schrieb (5. August 2021):
    > […] Versuch der Physiker, die starke Wechselwirkung zu verstehen. […] In den 70er Jahren war dann mit einer nichtabelschen Eichtheorie – der Beschreibung durch ein Yang-Mills-Feld zur Eichgruppe SU(3)xSU(2)xU(1) – eine erfolgreiche Theorie zur Erklärung der starken Wechselwirkung entstanden

    Die betreffende erfolgreiche Theorie (zur Erklärung) der starken Wechselwirkung ist (lediglich) eine nichtabelschen Eichtheorie zur Eichgruppe SU(3) — die Quantenchromodynamik.

    Daneben wurde eine erfolgreiche Theorie (zur Erklärung) der elektro-schwachen Wechselwirkung entwickelt, die (lediglich) eine nichtabelschen Eichtheorie zur Eichgruppe SU(2)xU(1) ist — auch GWS-Theorie genannt.

    > — das sogenannte Standardmodell.

    Das Standardmodell (der (Elementar-)Teilchenphysik), das sich im engeren Sinne durch die beiden o.g. Theorien ergibt, besteht aus den konkreten Messwerten der beiden o.g. Theorien definierten Messgrößen; insbesondere konkreten Werten

    – der Massen(-Verhältnissen) und Ladungen (und der Anzahl von somit unterscheidbaren Typen) von Spin-(1/2)-Elementarteilchen,

    – der Massen und Ladungen (und der Anzahl von somit unterscheidbaren Typen) von Eich-Bosonen,

    – von Kopplungsstärken (einschl. deren Energieabhängigkeit), bzw. von Skalenparametern (Λ),

    – von CMK- und PMNS-Mixing-Parametern.