Maxim Kontsevich hatte 1985 sein Mathematikstudium an der Lomonossow-Universität abgeschlossen und arbeitete seitdem am Institut für Probleme des Informationsübertragung. Er besuchte aber jede Woche das Gelfand-Seminar, zu dem immer um die zweihundert Leute kamen und das in der Regel über vier Stunden ging. Am Institut für Informationsübertragung sollte er am wöchentlichen Seminar teilnehmen und 1-2 Arbeiten im Jahr schreiben, hatte in Wirklichkeit aber nur zwei Arbeiten in fünf Jahren geschrieben. Auf Wunsch des Direktors beschäftigte er sich auch mit statistischer Physik und wurde als Experte zu ausländischen Tagungen eingeladen.
Bei einem Projekt zur konformen Feldtheorie, das er zeitweise als Promotionsthema verfolgt hatte, kam ihm ein anderer Mathematiker zuvor. Aber sein Direktor meinte, eine Dissertation würde an seinem beruflichen Status ohnehin nichts ändern, und so ließ er das Projekt fallen.
Er wurde aber für drei Monate an das Max-Planck-Institut in Bonn eingeladen, wo zu dieser Zeit die jährliche Arbeitstagung stattfand. Dort hörte er den Eröffnungsvortrag über Wittens Vermutung zum Zusammenhang von Schnittzahlen in Modulräumen und der KdV-Gleichung. Er erfuhr später, dass es sich bei dem Vortragenden um Atiyah handelte.
Er vertiefte sich so in das Problem, dass er nicht zum abendlichen Empfang ging. Zwei Tage später auf der traditionellen Bootsfahrt erklärte er Atiyah, wie er das Problem lösen wolle. Der war so angetan, dass er ihm bei Hirzebruch eine Einladung an das Bonner Max-Planck-Institut für ein ganzes Jahr besorgte. Kontsevich schrieb sich dann als Doktorand von Zagier an der Bonner Universität ein und verfaßte über den Beweis der Witten-Vermutung seine Doktorarbeit.
Tatsächlich fand er eine explizite Berechnung der Schnittzahlen, indem er ein fast-kombinatorisches Modell des Modulraums mittels Bandgraphen (aufgedickten 3-valenten Graphen) gab. Die Berechnung benötigte extrem hochmächtige Kombinatorik.
Es ist schwer vorstellbar, dass ein Mathematiker ohne physikalischen Hintergrund auf die Idee gekommen wäre, dass die KdV-Gleichung eine Rolle bei der Berechnung von Schnittzahlen spielt. Kontsevichs Beweis verwendete jedoch nicht den ursprünglichen physikalischen Ansatz, sondern sein kombinatorisches Modell des Modulraums, um F durch Matrixintegrale auszudrücken und dann kombinatorisch Eigenschaften des Matrixintegrals zu zeigen, aus denen die gewünschte Differentialgleichung folgt.
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