Kann man die natürlichen Zahlen mit 13 Farben einfärben ohne dass es eine einfarbige arithmetische Folge der Länge 28 gibt? Oder, einfacher, kann man sie mit zwei Farben einfärben ohne dass es eine arithmetische Folge der Länge 3 gibt? An diesem einfachen Beispiel erklärt Timothy Gowers den Satz von der Waerden:
Das Gesetz der großen Zahlen ist ein empirisches Naturgesetz: relative Häufigkeiten stabilisieren sich mit wachsender Zahl von Versuchen. Mathematisch kann man das auf verschiedene Weise formalisieren. Man hat eine Folge von Zufallsvariablen Xn mit Erwartungswerten E(Xn) und betrachtet die zentrierten Mittelwerte . Eine mögliche Formulierung ist das schwache Gesetz der großen Zahlen: für jedes positive…
Das Rayleigh-Ritz-Prinzip ist ein Variationsprinzip für den kleinsten Eigenwert eines Operators. Es findet sich erstmals in The Theory of Sound (Baron Rayleigh, 1877) und wurde 1908 von Walter Ritz zu einem praktikablen Berechnungsverfahren weiterentwickelt. In heutiger Sprache formuliert man das Prinzip so: für einen selbstadjungierten Operator H – in physikalischen Anwendungen meist der Hamilton-Operator –…
Dieses Plakat zur bayrischen Kommunalwahl hängt seit heute an der Friedrich-Ebert-Straße: Ein schöner Slogan, selbst wenn er nicht ganz dazu paßt, dass die unter dem Slogan „Grün und Wild“ antretende OB-Kandidatin in ihrer Wahlwerbung bei jeder Gelegenheit betont, „in Augsburg geboren und aufgewachsen“ zu sein. Nähere Informationen zu den Wahlkampfplakaten habe ich im Netz noch…
Fourier-Reihen dienen dazu, Funktionen in eine Summe unendlich vieler Schwingungen zu zerlegen – so wie das Ohr den Klang eines Sinfonie-Orchesters in die Schwingungen der einzelnen Instrumente zerlegen kann. Statt der Funktion f(t) hört man die Intensität der einzelnen Schwingungen, also die Koeffizienten in der Zerlegung von f(t) in Sinus- und Kosinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz. In…
Der Verlag der American Mathematical Society verkauft seit kurzem einen von Evelyn Lamb erstellten „AMS Page a Day Calendar“, eine Sammlung von 366 mathematischen Happen. Jeder Tag bietet eine unterhaltsame mathematische Tatsache, einen Einblick in die Geschichte der Mathematik, ein Kunstwerk, das mit Mathematik erstellt wurde, ein mathematisches Puzzle oder eine mathematische Aktivität oder eine…
Im Zusammenhang mit der Hauptachsentransformation von Kegelschnitten war zum Beginn des 19. Jahrhunderts am Eigenwertproblem symmetrischer 3×3-Matrizen gearbeitet worden. Cauchy hatte das 1829 zu einem Abschluß gebracht, indem er bewies, dass eine reelle symmetrische nxn-Matrix reelle Eigenwerte hat, die zugehörige quadratische Form also auf Hauptachsen transformiert werden kann: jede quadratische Form kann mittels eines orthogonalen…
Darstellungstheorie entstand ursprünglich nicht als Theorie linearer Darstellungen, sondern als Theorie der Charaktere (nicht notwendig abelscher) Gruppen. Charaktere abelscher Gruppen, also Homomorphismen in die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen, waren mindestens implizit im 19. Jahrhunderts in Zahlentheorie und harmonischer Analyse vorgekommen. Mittels Dirichlet-Charakteren (Homomorphismen (Z/nZ)x–>Cx) und den ihnen zugeordneten L-Funktionen bewies Dirichlet die Existenz unendlich…
Eine kleine Sensation verkündet das FIZ Karlsruhe in einer Pressemitteilung vom 16.12.: das Zentralblatt für Mathematik – neben den Mathematical Reviews eine der beiden großen Datenbanken für Referate praktisch aller in mathematischen Fachzeitschriften veröffentlichten Arbeiten – wird ab 2021 Open Access, also frei zugänglich. (Bisher hatte man Abonnementpreise in einer Höhe, die praktisch nur für…
In Sachsen-Anhalt droht gerade die Kenia-Koalition zu platzen, weil der größere Koalitionspartner an einem Kreisvorstand in Anhalt-Bitterfeld festhält, der früher unter Neonazis aktiv war und sich aktuell im im umstrittenen Verein „Uniter“ engagiert, während der kleinere Koalitionspartner darauf mit der Frage Wieviele Hakenkreuze haben Platz in der CDU? antwortet. Die Frage bezieht sich auf eine…
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