Die Fläche unter der Zykloide? Die 1 (Bild oben) zeigt den trigonometrischen Pythagoras und die 2 (Bild unten) die einzige gerade Primzahl. Das Bild bei der 3 zeigt eine Zykloide. Man bekommt diese Kurve als Bahn eines Punktes, wenn man einen Kreis (auf dessen Rand der Punkt liegt) auf einer Geraden abrollen läßt. Schon Galilei…

Ramsey-Zahlen, Euler-Charakteristiken und das Stomachion. Der Eintrag bei der 1 zeigt den Graphen von , der sein Minimum in 1/e hat und für x->0 gegen 1 strebt, was man zum Beispiel mittels der Substitution x=1/n aus oder auch aus herleiten kann. Der Eintrag bei der 2 zeigt die Eulersche Polyederformel: für einen konvexen Polyeder mit…

Babylonische Quadratwurzeln, unmögliche Dreiecke und derangierende Permutationen im neuen Kalenderblatt. (Die Bilder lassen sich durch Anklicken vergrößern. Mit der 4 bis7 geht es im Bild unten weiter.) Bei der 1 sieht man die (neben der 1) anderen beiden dritten Einheitswurzeln, bei der 2 die klassische babylonische Methode zur Berechnung der Quadratwurzel aus 2 und bei…

Hier wieder die aktuelle Ausgabe des KIAS-Kalenders: (Zum Vergrößern auf das Bild klicken.) 0! ist 1: das ist einfach eine praktische Konvention, damit zum Beispiel die Formel für die Auswahl von k aus n Elementen auch für k=n stimmt: . Und auch die Formel für die Gammafunktion stimmt nur mit dieser Definition. Bei der 2…

Partitionen, Primzahlen und genähte Fußbälle Fullerene im neuen Kalenderblatt: (Zum Vergrößern auf das Bild klicken.) Beim Eintrag zur 3 geht es um Dreieckszahlen, dass sind Anzahlen von Steinen, mit denen man wie im Bild rechts ein gleichseitiges Dreieck legen kann, also 1,3,6,10 usw. Das Eureka-Theorem besagt, dass man jede natürliche Zahl als Summe von höchstens…

(Zum Vergrößern auf das Bild klicken.) Den Grenzwert kann man zum Beispiel mit der Substitution berechnen, die ihn in den Grenzwert überführt. Und dass der gegen 1 geht sieht man zum Beispiel mit der leicht zu beweisenden Ungleichung . Auch die Berechnung von ist nicht schwer, wenn man die Stammfunktion kennt. ist die erste Mersenne-Primzahl,…

(Zum Vergrößern auf das Bild klicken.) Die 2 steht für die Eulersche Polyederformel aus TvF 4 und die 3 für das Feigenbaum-Diagramm, das sich bei 3 zum ersten Mal verzweigt. (D.h. für a

Eigentlich hatte ich über das Kalenderblatt Januar 2015 ja schon geschrieben. Das war allerdings das angehängte Januar’15-Blatt der 2014er Ausgabe, deshalb hier noch nachgetragen das richtige Januar-Blatt des 2015er Kalenders: (Zum Vergrößern kann man auf das Bild klicken.) Interessant sind vielleicht die Einträge bei 11 und 29: beim 11ten Summanden überschreitet die sehr langsam divergierende…

Kreise in Graphen, Primzahlen und auf den Kopf gestelltes, auch diesen Monat wieder im KIAS-Mathekalender. Vieles ist diesmal selbsterklärend. Wenig bekannt dürfte wohl das Brocardsche Problem sein, welches nach den Lösungen von n!+1=m2 in den natürlichen Zahlen fragt. Die einzigen bekannten Lösungen sind (4,5), (5,11) und (7,71). Den Eintrag bei der 15 bekommt man mit…

Hier der dritte Teil des Weihnachtsrätsels. Aufgabe 1 Finde die kleinste natürliche Zahl, die sich nicht in der Form mit ganzen Zahlen x,y,z,w darstellen läßt. Aufgabe 2 Die Eulersche Phi-Funktion φ(n) einer natürlichen Zahl n ist die Anzahl aller zu n teilerfremden natürlichen Zahlen, die kleiner als n sind. Zum Beispiel ist φ(p)=p-1 für eine…