Topologie von Flächen C

Die fünfte Grundrechenart.

Letzte Woche ging es um Modulfunktionen, deren viele Symmetrien sich am besten mit 2-dimensionaler hyperbolischer Geometrie veranschaulichen lassen. Typisches Beispiel ist die j-Funktion (TvF 96).

Es gibt noch eine allgemeinere (und in der Mathematik omnipräsente) Klasse von Funktionen, deren Symmetrien sich mit 2-dimensionaler hyperbolischer Geometrie veranschaulichen lassen: die Modulformen.

Die Symmetriebedingung für Modulformen ist etwas komplizierter als bei Modulfunktionen: wenn A eine Matrix

mit ganzzahligen Einträgen a,b,c,d und Determinante 1 (d.h. ad – bc = 1) ist, dann soll f(Az)=(cz+d)^kf(z) (mit einer festen Zahl k) für alle Punkte z in der oberen Halbebene gelten.
k heißt “Gewicht” der Modulform, für k=0 bekommt man die letzte Woche besprochenen Modulfunktionen, d.h. Funktionen mit der Symmetrie f(Az)=f(z).

Modulformen kodieren auf eine mysteriöse Weise viele Zusammenhänge in der Zahlentheorie.

Ziemlich enthusiastisch beschreibt das Simon Singh im populärwissenschaftlichen Buch Fermat’s Enigma:

Modulformen gehören zu den fremdartigsten und wunderlichsten Gegenständen der Mathematik. Diese höchst esoterische Beschäftigung zählte der Zahlentheoretiker Martin Eichler in diesem Jahrhundert dennoch zu den fünf Grundoperationen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Modulformen. Die meisten Mathematiker würden sich als Meister in den ersten vier Rechenarten betrachten, doch die fünfte finden sie immer noch etwas verwirrend.

Die wesentliche Eigenschaft der Modulformen ist ihre ungewöhnlich hohe Symmetrie.

[…]

Während an den Penrose-Mosaiken die begrenzte Symmetrie fasziniert, ist an den Modulformen die unbegrenzte Symmetrie interessant.

[…]

Modulformen können verschoben, umgestellt, vertauscht, gespiegelt und gedreht werden, sie bleiben unverändert und sind damit die symmetrischsten mathematischen Objekte. Als der französische Universalgelehrte Henri Poincare im neunzehnten Jahrhundert Modulformen untersuchte, hatte er große Schwierigkeiten, mit ihrer überwältigenden Symmetrie zurechtzukommen. Während er sich mit einem bestimmten Typ von Modulformen befaßt habe, so schilderte er den Kollegen, sei er zwei Wochen lang jeden Tag aufgewacht und habe versucht, einen Fehler in seinen Berechnungen zu finden. Am fünfzehnten Tag gelangte er endgültig zu dem Schluß, daß die Modulformen tatsächlich in höchstem Maße symmetrisch sind.

Modulformen kodieren auf mysteriöse Weise zahlentheoretische Zusammenhänge.
Die bekannteste Anwendung von Modulformen ist natürlich die Fermat-Vermutung, daß es für n>3 keine ganzzahligen Lösungen von xⁿ+yⁿ=zⁿ gibt. Deren Beweis lief letztlich darauf hinaus, daß die Koeffizienten der L-Funktion einer elliptischen Kurve immer mit den Koeffizienten einer Modulform übereinstimmen.

Ein anderes Beispiel ist die Dedekind’sche η-Funktion η(z) (eine Modulform vom Gewicht 1/2), die in vielen zahlentheoretischen Anwendungen vorkommt.
Z.B. wenn man q=e^2πiz substituiert und die Koeffizienten τ(n) von η(z)²⁴=qΠ(1-q^m)²⁴ in der Potenzreihenentwicklung qΠ(1-q^m)²⁴=Στ(n)qⁿ betrachtet, dann gilt immer

τ(p)=p¹¹+1 mod 691

für Primzahlen p (und eine etwas kompliziertere Formel für beliebige natürliche Zahlen).
Damit bekommt man Kongruenzen wie

534612=11¹¹+1 mod 691
etc.
Mehr dazu in Serre’s Bourbaki-Vortrag.

Letzte Woche hatten wir erwähnt, daß alle modularen Funktionen sich aus der j-Funktion berechnen lassen.
Einen ähnlichen Klassifikationssatz gibt es auch für Modulformen: alle Modulformen lassen sich berechnen aus den Eisenstein-ReihenG₄ und G₆ (cf. Freitag-Busam, Kapitel VI.3).
Wenn man sich H²/SL(2,Z) als Modulraum der elliptischen Kurven denkt, dann sind übrigens (bis auf einen konstanten Faktor) G₄ und G₆ gerade die Koeffizienten der elliptischen Kurve, siehe TvF 96.

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