Die fünfte Grundrechenart.

Letzte Woche ging es um Modulfunktionen, deren viele Symmetrien sich am besten mit 2-dimensionaler hyperbolischer Geometrie veranschaulichen lassen. Typisches Beispiel ist die j-Funktion (TvF 96).

Es gibt noch eine allgemeinere (und in der Mathematik omnipräsente) Klasse von Funktionen, deren Symmetrien sich mit 2-dimensionaler hyperbolischer Geometrie veranschaulichen lassen: die Modulformen.

Die Symmetriebedingung für Modulformen ist etwas komplizierter als bei Modulfunktionen: wenn A eine Matrix

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mit ganzzahligen Einträgen a,b,c,d und Determinante 1 (d.h. ad – bc = 1) ist, dann soll f(Az)=(cz+d)kf(z) (mit einer festen Zahl k) für alle Punkte z in der oberen Halbebene gelten.
k heißt “Gewicht” der Modulform, für k=0 bekommt man die letzte Woche besprochenen Modulfunktionen, d.h. Funktionen mit der Symmetrie f(Az)=f(z).

Modulformen kodieren auf eine mysteriöse Weise viele Zusammenhänge in der Zahlentheorie.

Ziemlich enthusiastisch beschreibt das Simon Singh im populärwissenschaftlichen Buch Fermat’s Enigma:

Modulformen gehören zu den fremdartigsten und wunderlichsten Gegenständen der Mathematik. Diese höchst esoterische Beschäftigung zählte der Zahlentheoretiker Martin Eichler in diesem Jahrhundert dennoch zu den fünf Grundoperationen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Modulformen. Die meisten Mathematiker würden sich als Meister in den ersten vier Rechenarten betrachten, doch die fünfte finden sie immer noch etwas verwirrend.

Die wesentliche Eigenschaft der Modulformen ist ihre ungewöhnlich hohe Symmetrie.

[…]

Während an den Penrose-Mosaiken die begrenzte Symmetrie fasziniert, ist an den Modulformen die unbegrenzte Symmetrie interessant.

[…]

Modulformen können verschoben, umgestellt, vertauscht, gespiegelt und gedreht werden, sie bleiben unverändert und sind damit die symmetrischsten mathematischen Objekte. Als der französische Universalgelehrte Henri Poincare im neunzehnten Jahrhundert Modulformen untersuchte, hatte er große Schwierigkeiten, mit ihrer überwältigenden Symmetrie zurechtzukommen. Während er sich mit einem bestimmten Typ von Modulformen befaßt habe, so schilderte er den Kollegen, sei er zwei Wochen lang jeden Tag aufgewacht und habe versucht, einen Fehler in seinen Berechnungen zu finden. Am fünfzehnten Tag gelangte er endgültig zu dem Schluß, daß die Modulformen tatsächlich in höchstem Maße symmetrisch sind.

Modulformen kodieren auf mysteriöse Weise zahlentheoretische Zusammenhänge.
Die bekannteste Anwendung von Modulformen ist natürlich die Fermat-Vermutung, daß es für n>3 keine ganzzahligen Lösungen von xn+yn=zn gibt. Deren Beweis lief letztlich darauf hinaus, daß die Koeffizienten der L-Funktion einer elliptischen Kurve immer mit den Koeffizienten einer Modulform übereinstimmen.

Ein anderes Beispiel ist die Dedekind’sche η-Funktion η(z) (eine Modulform vom Gewicht 1/2), die in vielen zahlentheoretischen Anwendungen vorkommt.
Z.B. wenn man q=e2πiz substituiert und die Koeffizienten τ(n) von η(z)24=qΠ(1-qm)24 in der Potenzreihenentwicklung qΠ(1-qm)24=Στ(n)qn betrachtet, dann gilt immer

τ(p)=p11+1 mod 691

für Primzahlen p (und eine etwas kompliziertere Formel für beliebige natürliche Zahlen).
Damit bekommt man Kongruenzen wie

534612=1111+1 mod 691
etc.
Mehr dazu in Serre’s Bourbaki-Vortrag.

Letzte Woche hatten wir erwähnt, daß alle modularen Funktionen sich aus der j-Funktion berechnen lassen.
Einen ähnlichen Klassifikationssatz gibt es auch für Modulformen: alle Modulformen lassen sich berechnen aus den Eisenstein-ReihenG4 und G6 (cf. Freitag-Busam, Kapitel VI.3).
Wenn man sich H2/SL(2,Z) als Modulraum der elliptischen Kurven denkt, dann sind übrigens (bis auf einen konstanten Faktor) G4 und G6 gerade die Koeffizienten der elliptischen Kurve, siehe TvF 96.

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Kommentare (5)

  1. #1 Joseph
    23. Januar 2010

    “Lack of structure on the largest scales (above 60 deg) in the CMB led to the suggestion that the shape of the Universe is a Poincaré sphere (Poincaré dodecahedral space). Being a spherical 3-manifold, it is the only homology 3-sphere (besides the 3-sphere itself) with a finite fundamental group, namely the binary icosahedral group. A simple construction: Each face of a dodecahedron is identified with its opposite face, using the minimal clockwise twist to line up the faces. Glue each pair of opposite faces together using this identification.”

    Ich verstehe nicht warum es nich einfacher mit einem wuerfel geht, also die gegenueberliegenden seiten des wuerfels werden zusammengeklebt (dann ist auch kein twist erforderlich). Wuerde das keine homology 3-sphere ergeben? Warum nicht? Oder sind es in etwa die oben genanten 60 grad winkel welche auf den dodekaeder weisen. Ich sehe allerdings nicht warum der wuerfel zu einem equivalenten statement mit 90 grad kommen wuerde.

  2. #2 joseph
    23. Januar 2010

    “daß es für n>3 keine ganzzahligen Lösungen von xn+yn=zn gibt.”

    soll glaube ich “n>2” sein. Zum ersten Komentar obig – hat das etwas damit zu tun das der wurfel einen torus ergeben wuerde? – Sorry, ich hab heut zu viel am bong gezogen.

  3. #3 Thilo Kuessner
    23. Januar 2010

    @ Joseph (mit großem J):
    mir ist zwar der Zusammenhang zum Text nicht klar, aber:
    wenn man die gegenüberliegenden Seiten eines Würfels verklebt, bekommt man einen 3-dimensionalen Torus, keine Homologiesphäre. Deshalb macht Poincare die komplizierte Konstruktion mit dem Dodekaeder.

    (Analog wie beim 2-dimensionalen Fall: wenn man die gegenüberliegenden Seiten eines Quadrats verklebt, bekommt man einen 2-dimensionalen Torus.)

    @ joseph (mit kleinem j):
    klar, für n=3 gibt es auch keine Lösungen. Ich laß das mal so stehen, ist ja nicht direkt falsch…

  4. #4 Joseph
    23. Januar 2010

    Lieber Thilo, lieber joseph (= Joseph just after bong): Vielen Dank !
    Das universum kann aber genausogut ein torus sein. Anders ausgedrueckt, sind die 60 grad versus sagen wir mal 90 grad wichtig?
    Das der wuerfel zum torus aber der dodekaeder zur homo-sphere – hmm – da werd ich gleich noch mal den joseph persoenlich fragen, warum dem so ist.

  5. #5 Thilo Kuessner
    23. Januar 2010

    Das Universum kann durchaus ein 3-dimensionaler Torus sein und das gilt nach den WMAP-Daten der letzten Jahre wohl als gar nicht so unwahrscheinlich.
    Das Poincare-Homologiesphärenmodell wurde 2003 von Luminet aufgestellt, man hat aber bisher wohl keine Bestätigung für sein Modell gefunden.
    Genauer kenne ich mich da aber nicht aus, man sollte besser einen Astrophysiker fragen.