Topologie von Flächen CVII

Modulformen und der 2-Quadrate-Satz.

Wir hatten schon ein paar Mal (z.B. in TvF 100) erwähnt, daß Modulformen auf mysteriöse Weise zahlentheoretische Zusammenhänge kodieren. Das wollen wir heute noch am Beispiel des 2-Quadrate-Satz vorführen.

2-Quadrate-Satz.
Es geht um die Frage, welche (Prim-)Zahlen sich als Summe zweier Quadratzahlen darstellen lassen.

Wenn man sich die ersten Beispiele anschaut:
2=1²+1²
5=2²+1²
13=3²+2²
17=4²+1²
29=5²+2²
37=6²+1²

dann stellt man fest, daß (von der Ausnahme-Primzahl 2 mal abgesehen), anscheinend alle Primzahlen, die bei Division durch 4 Rest 1 lassen, sich als Summe zweier Quadrate zerlegen lassen.

Tatsächlich überlegt man sich leicht, daß Primzahlen (außer 2) nur dann Summe zweier Quadrate sein können, wenn sie bei Division durch 4 Rest 1 lassen: jede gerade Quadratzahl ist durch 4 teilbar, jede ungerade Quadratzahl läßt Rest 1 bei Division durch 4, die Summe zweier Quadrate läßt bei Division durch 4 also Rest 0+0 oder 0+1 oder 1+1, jedenfalls nie Rest 3. Andererseits ist jede Primzahl (außer 2) ungerade, läßt also bei Division durch 4 entweder Rest 1 oder Rest 3.

Die Frage ist dann: kann man jede Primzahl, die bei Division durch 4 Rest 1 läßt, als Summe zweier Quadrate darstellen (wie es die Beispiele oben nahelegen)?

Fermat hatte das in seinen nachgelassenen Arbeiten behauptet (noch ein unbewiesener Satz von Fermat), der erste Beweis, daß jede solche Primzahl sich als Summe zweier Quadrate schreiben läßt, stammt von Euler.

Es gibt heute viele Beweise, der wohl kürzeste stammt von Heath-Brown und Zagier. (Mit einigem guten Willen kann man diesen kürzesten Beweis topologisch interpretieren, als Anwendung eines Fixpunktsatzes. Dazu nächste Woche.)
Einen anderen Beweis lernt man in der algebraischen Zahlentheorie: man benutzt die ganzen Gaußschen Zahlen Z[i]: p=a²+b² ist dann äquivalent zu p=(a+bi)(a-bi), und das ist äquivalent dazu, daß p keine Primzahl in Z[i] ist. Daß p=1 mod 4 keine Primzahl in Z[i] ist, kann man aber leicht mit einem elementaren Spezialfall des quadratischen Reziprozitätssatzes zeigen, siehe Abschnitt 2.1.3. hier.

Mit Modulformen kann man den 2-Quadrate-Satz in einen größeren Zusammenhang einordnen (und neu beweisen) wie folgt:

Sei r(n) die Anzahl der Möglichkeiten, n als Summe zweier Quadrate zu zerlegen.
Z.B. r(5)=2, weil 5=2²+1²=1²+2² die beiden einzigen Möglichkeiten sind.

Die Reihe

θ₃²(q) = 1/4 + Σ r(n)qⁿ = 1/4+q+q²+q⁴+2q⁵+q⁸+2q⁹+…

ist eine Modulform (mit Gewicht 1 und Stufe 4, d.h. θ₃²(e^2πiAz)=(cz+d)&theta₃²(e^2πiz) für alle A aus Γ₀(4) – das muß man natürlich erst nachrechnen).

https://de.wikipedia.org/wiki/Eisensteinreihe

Man kann die Theorie der Modulformen benutzen, um zu zeigen, daß &theta₃² mit einer bestimmten Eisensteinreihe übereinstimmt.
Die Koeffizienten dieser Eisensteinreihe kann man aber berechnen: wenn n eine Primzahl ist, die bei Division durch 4 Rest 1 läßt, dann hat die Eisensteinreihe den Summanden 2qⁿ.
Also ist r(n)=2, d.h. n hat eine (bis auf Reihenfolge der Summanden eindeutige) Darstellung als Summe zweier Quadrate.

Der 2-Quadrate-Satz folgt also aus der Gleichheit zweier Modulformen.

Es gibt viele andere zahlentheoretische Anzahlen, die sich als Koeffizienten von Modulformen ‘kodieren’ lassen. Eine Übersicht findet sich in Zagiers Artikel “Ramanujan an Hardy: Vom ersten bis zum letzten Brief”

Was ist mit Zahlen, die keine Primzahlen sind?
Zunächst ist klar: wenn Primzahlen Summen je zweier Quadrate sind, dann gilt das auch für ihr Produkt – das folgt aus der Formel (x²+y²)(z²+w²)=(xz+yw)²+(xw-yz)².
Und man kann dann (aus dem 2-Quadrate-Satz für Primzahlen) leicht herleiten: eine Zahl ist Summe zweier Quadrate, wenn in der Primfaktorzerlegung jede Primzahl, die bei Division durch 4 Rest 3 läßt, in gerader Anzahl (z.B. 0 mal) vorkommt. [editiert]
Vgl. Abschnitt 3.1. hier.

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106