Topologie von Flächen CXXX

Ramanujan, SL(2,Z) und das ICM-Logo.

Seit gestern findet in Hyderabad der International Congress of Mathematicians statt, der im 4-Jahres-Rhythmus durchgeführte Weltkongreß der Mathematiker mit fast 200 eingeladenen Vorträgen über die wichtigsten mathematischen Entwicklungen der letzten Jahre.

Das Logo des diesjährigen International Congress of Mathematicians zeigt (wohl wegen des lokalen Bezugs zu Indien) die Ramanujan-Vermutung Iτ(n)I≤n11/2d(n) und eine Unterteilung (eines Teils) der hyperbolischen Ebene in Fundamentalbereiche von SL(2,Z).

Über die Wirkung von SL(2,Z) auf der hyperbolischen Ebene hatten wir u.a. in TvF 90 schon einmal geschrieben, die Zerlegung der hyperbolischen Ebene in Fundamentalbereiche zeigt das Bild links unten.
Man erkennt vielleicht nicht auf den ersten Blick, wie das Logo im linken Bild enthalten ist: das Logo entspricht dem Abschnitt zwischen x=-0,5 und x=0,5.

Bei der Ramanujan-Vermutung geht es um die Tau-Funktion τ(n), das sind die Koeffizienten in der Potenzreihenentwicklung der 24-ten Potenz der Dedekind’schen Eta-Funktion η(q)=q^1/24Π(1-q^m) , über die wir in TvF 100 geschrieben hatten, also:

η(q)²⁴=Στ(n)qⁿ.

Ramanujan hatte vermutet, daß für Primzahlen p

I τ(p) I ≤ 2 p^11/2

und allgemeiner für natürliche Zahlen n

I τ(n) I ≤ d(n) n^11/2

mit d(n)=O(n^ε) gilt. Bewiesen wurde das 1974 von Deligne als Korollar zu den Weil-Vermutungen.

Die Ramanujan-Vermutung kann man zur Konstruktion von Ramanujan-Graphen verwenden (TvF 103), das sind Graphen (bestehend aus Ecken und Kanten, man denke an ein Telefon-Netzwerk oder auch einen Mikrochip) mit guten Zusammenhangseigenschaften, d.h. auch nach Entfernen einer bestimmten Anzahl von Kanten bleibt der Graph zusammenhängend.

Über den praktischen Nutzen solcher Graphen hatten wir in TvF 101 mal geschrieben.

Wie man wieder einmal sieht, kommen SL(2,Z) und 2-dimensionale hyperbolische Geometrie überall in der Mathematik vor. (Ich hätte auch noch über QUE (TvF 105) und Quantenchaos (TvF 106) schreiben können, für deren Beweis im Fall geschlossener arithmetischer hyperbolischer Flächen Elon Lindenstrauss gestern die Fields-Medaille erhalten hat.) Eine weitere Anwendung von SL(2,Z) und vor allem 2-dimensionaler hyperbolischer Geometrie ist bei der Untersuchung von flachen Faserbündeln (Abbildungstori, vgl. Schluß von TvF 127) und Selbstabbildungen von Flächen, worum es in den folgenden Wochen gehen soll.

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