Euler’s Gem.
Vor Weihnachten hatten wir über den Euler-Preis 2012 für Daina Taiminas Buch über gehäkelte hyperbolische Ebenen berichtet.
Dieser Preis war schon vor zwei Jahren einmal an ein Buch über die Geometrie (und Topologie) von Flächen verliehen worden, nämlich an “Euler’s Gem”.
Das ist ein sehr lebendiges und anschauliches Buch über die Eulersche Polyederformel und die Anfänge der Topologie. Einen gewissen Eindruck vom Stil des Buches vermittelt vielleicht der Beginn von Kapitel 7:
On November 14, 1750, the newspaper headlines should have read “Mathematician discovers edge of polyhedron!”
On that day Euler wrote from Berlin to his friend Christian Goldbach in St.Petersburg. In a phrase seemingly devoid from interesting mathematics, Euler described “the junctures where two faces come together along their sides, which for lack of an accepted term I call ‘edges'”.
Um kurz den Inhalt zu umreißen (eine ausführlichere Beschreibung ist bei THE):
– auf den ersten 100 Seiten geht es um Polyeder und um die Eulersche Formel E-K+F=2 für die Anzahl der Ecken, Kanten, Flächen. (Über den auf Legendre zurückgehenden Beweis hatten wir in TvF 4 mal geschrieben.)
– auf den nächsten 50 Seiten geht es dann um Anwendungen der Polyederformel: die Brücken von Kaliningrad, Planarität von Graphen, den Satz von Pick und den 4-Farben-Satz.
– schließlich wird auf mehr als 100 Seiten erklärt, was eigentlich Topologie ist: es gibt Beispiele anderer Flächen (als der Sphäre) wie Torus und Möbiusband, es wird diskutiert, was die Frage “The same or different?” in der Flächen-Topologie eigentlich bedeutet (und die Geschichte der Klassifikation abgerissen), dann kommen Knoten, Vektorfelder und ihre Singularitäten, und interessante Beispiele zum Thema “topology controls geometry”: Hopfs Umlaufsatz, Descartes Formel, der Winkelexzess von Flächen, und die Totalkrümmung von ebenen Kurven oder von Flächen (Gauß-Bonnet).
– zum Schluß wird noch die n-dimensionale Verallgemeinerung (Homologiegruppen und Euler-Charakteristik) angedeutet und in einem Epilog die Poincaré- und Geometrisierungsvermutung.
Alles sehr ausführlich und mit vielen Bildern versehen. Ein paar Ausschnitte kann man sich bei Google Books anschauen.
Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159, Teil 160, Teil 161, Teil 162, Teil 163, Teil 164, Teil 165, Teil 166, Teil 167, Teil 168, Teil 169, Teil 170, Teil 171, Teil 172, Teil 173, Teil 174, Teil 175, Teil 176, Teil 177, Teil 178, Teil 179, Teil 180, Teil 181, Teil 182, Teil 183, Teil 184, Teil 185, Teil 186, Teil 187, Teil 188, Teil 189, Teil 190, Teil 191, Teil 192, Teil 193, Teil 194, Teil 195, Teil 196, Teil 197, Teil 198, Teil 199
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