Die Indexformel für Vektorfelder auf triangulierten Flächen.

In den letzten Wochen war es um Vektorfelder auf Flächen gegangen, speziell um das Hopf-Poincaré-Theorem: dieses besagt, daß die Summe der Indizes der Nullstellen eines Vektorfeldes (auf einer Fläche) gerade die Euler-Charakteristik der Fläche ist, also E-K+F für eine beliebige Triangulierung.

Am Schluß des letzten Beitrages hatten wir schon an einem suggestiven Beispiel die Richtigkeit der Formel überprüft. Heute wollen wir das allgemein für beliebige Vektorfelder tun.

Zur Erinnerung die Definition des Index einer Nullstelle: man nehme einen Kreis um die Nullstelle (so daß keine weiteren Nullstellen im Inneren liegen), in jedem Punkt des Kreises gibt das Vektorfeld eine Richtung an (also einen Punkt auf dem Einheitskreis). Man bekommt also eine Abbildung f:S¹–>S¹ und deren Abbildungsgrad (TvF 189) ist, per Definition, der Index der Nullstelle.
Im ersten Bild ist f(z)=e^iπz, im zweiten Bild f(z)=e^iπ/2z, beide Abbildungen haben Abbildungsgrad deg(f)=1. Im dritten Bild ist f (ungefähr) die komplexe Konjugation, der Abbildungsgrad ist -1. Also ist in den ersten beiden Beispielen die Index der Nullstelle +1 und im dritten Beispiel der Index der Nullstelle -1.

Beweis von Indexsumme=E-K+F

Es gibt natürlich verschiedene Beweise zum Poincaré-Hopf-Theorem, einen recht anschaulichen speziell für den 2-dimensionalen Fall findet man im Buch von Thurston. (Die Darstellung unten beruht auf der Zusammenfassung von Thurstons Beweis in Kapitel 19 von Richesons Buch, aus dem auch die Bilder stammen.)

Die Idee ist die Fläche so zu zerlegen, daß man jeweils ein Polygon um eine Nullstelle hat und der Rest der Fläche in Dreiecke zerlegt ist.

Tatsächlich kann man beweisen, daß es immer eine Triangulierung der Fläche gibt, so daß jedes Polygon höchstens eine Nullstelle enthält und so daß alle Kanten jeweils transversal zum Vektorfeld sind. (Das ist eine Übungsaufgabe in Thurstons Buch. Wir hatten ja in TVF 187: ‘Dreiecke und Differenzierbarkeit’ mal bewiesen, daß sich jede Fläche triangulieren läßt. Der Beweis, daß es Triangulierungen mit den obigen speziellen Eigenschaften gibt, ist natürlich noch um einiges aufwendiger, wir setzen jetzt aber einfach mal eine solche Triangulierung voraus.)

Jetzt ordnen wir den Ecken, Kanten, Flächen jeweils eine Zahl zu. Jede Ecke bekomt eine 1, jede Kante eine -1, jedes Dreieck eine 1. Wenn man diese 1en und -1en aufaddiert, bekommt man offensichtlich E-K+F, also die Euler-Charakteristik.

Genauer: wir schreiben die -1 einer Kante jeweils in diejenige angrenzende Fläche, in die der Vektor (am Mittelpunkt der Kante) hineinzeigt, entsprechend die 1 einer Ecke jeweils in die angrenzende Fläche, in die der Vektor hineinzeigt.

Um die Behauptung: “Summe der Indizes = E-K+F” zu beweisen, müssen wir also beweisen, daß die Summe der Indizes gerade gleich der Summe der eingetragenen 1en und -1en ist. Dafür wiederum genügt es zu zeigen, daß:
1. für jedes Dreieck ohne Nullstellen die Summe der eingetragenen 1en und -1en genau 0 ergibt,
2. für jedes Polygon mit einer Nullstelle die Summe der eingetragenen 1en und -1en gerade der Index der Nullstelle ist.

Das sind beides lokale Probleme, die man durch Betrachten der verschiedenen Möglichkeiten abhandeln kann.

1.Dreiecke, die keine Nullstelle enthalten.
2 Möglichkeiten:
– Vektoren zeigen nach innen auf einer Kante und keinen Ecken
– Vektoren zeigen nach innen auf zwei Kanten und deren gemeinsamer Ecke.
In jedem Fall ist die Summe der 1en und -1en gleich 0. Und da es keine Nullstellen gibt, ist die Summe der Indizes natürlich ebenfalls 0. In diesem Fall haben wir also die behauptete Gleichheit.

2. Polygone, die eine Nullstelle enthalten.
In diesem Fall berechnet diese Technik gerade den Index der Nullstelle. (Allgemein war der Index ja definiert als der Abbildungsgrad der durch das Vektorfeld auf dem Rand gegebenen Abbildung S1–>S1 (m.a.W. die Windungszahl des Vektorfeldes um 0). Diesen Abbildungsgrad kann man nun wie folgt berechnen. Starte in einem Punkt des Kreises. Gehe (im Uhrzeigersinn) entlang des Kreises und verfolge die Änderung des Vektors. Jedesmal wenn der Vektor einmal vollständig im bzw. gegen den Uhrzeigersinn gedreht wurde, addiere 1 bzw. -1. Das Ergebnis (nach einmaligem Durchlauf des Kreises) ist der gewünschte Abbildungsgrad, also der Index der Nullstelle.)
Das man als Summe der eingetragenen 1en und -1en die Summe der Indizes bekommt, zeigen wir hier mal nur an zwei suggestiven Beispielen:
– im oberen Bild stehen alle 1en und -1en innerhalb des Polygons. Weil man genausoviele Ecken wie Kanten hat, bleibt nur die zur Fläche gehörende 1 übrig. (Und der Index einer solchen Senke ist natürlich 1.)
– im unteren Bild gibt es nur zwei Kanten mit nach innen zeigenden Vektoren, keine Ecken. Also 2 mal -1, außerdem die zur Fläche gehörende 1, die Summe ist -1. (Und der Index eines Sattelpunktes ist ebenfalls -1.)

Man kann zeigen, daß das analog auch bei anderen Typen von Nullstellen funktioniert. Das beweist also das Hopf-Poincaré-Theorem für Flächen.

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159, Teil 160, Teil 161, Teil 162, Teil 163, Teil 164, Teil 165, Teil 166, Teil 167, Teil 168, Teil 169, Teil 170, Teil 171, Teil 172, Teil 173, Teil 174, Teil 175, Teil 176, Teil 177, Teil 178, Teil 179, Teil 180, Teil 181, Teil 182, Teil 183, Teil 184, Teil 185, Teil 186, Teil 187, Teil 188, Teil 189, Teil 190, Teil 191, Teil 192, Teil 193, Teil 194, Teil 195, Teil 196, Teil 197, Teil 198, Teil 199, Teil 200, Teil 201, Teil 202, Teil 203