Letzte Woche hatten wir beschrieben, welche im R3 eingebetteten Flächen minimale Energie haben. Eine Frage, die sich da natürlich stellt: kann man eigentlich jede topologische Fläche in den R3 einbetten?

Die geschlossenen, orientierbaren Flächen lassen sich ja offensichtlich in den R3 einbetten: die unten abgebildeten

ebenso wie alle Flächen, die man durch Ankleben weiterer Henkel erhält – und nach der Klassifikation der Flächen (TvF 178) gibt es nur diese geschlossenen, orientierbaren Flächen, also lassen sich alle geschlossenen, orientierbaren Flächen in den R3 einbetten.

Was ist aber mit den nichtorientierbaren Flächen, zum Beispiel der projektiven Ebene (TvF 155) oder der Kleinschen Flasche (Bild unten)? Die lassen sich jedenfalls nicht auf offensichtliche Weise in den R3 einbetten: das Bild unten ist keine Einbettung, weil es ja eine Selbstdurchdringung gibt, wo sich zwei Teile der Bild-Flasche schneiden.

Tatsächlich kann man beweisen, dass sich die nichtorientierbaren geschlossenen Flächen nicht in den R3 einbetten lassen. (Sie lassen sich aber in den R3 immersieren, wie wir nächste Woche an einigen Beispielen zeigen werden.)
Der Beweis der Nicht-Einbettbarkeit, den wir im folgenden skizzieren, besteht aus zwei Teilschritten:
jede eingebettete Fläche zerlegt den R3 in zwei Zusammenhangskomponenten (hat also zwei Seiten), und
jede zweiseitige Fläche ist orientierbar.

Alles hat 2 Seiten …

In TvF 171 hatten wir mit Hilfe von Homologietheorie bewiesen, dass jede Kurve die Ebene R2 in zwei Zusammenhangskomponenten zerlegt. Wenn man sich den Beweis anschaut, stellt man fest, dass genau derselbe Beweis auch funktioniert um zu beweisen, dass jede geschlossene Fläche K den Raum in zwei Zusammenhangskomponenten zerlegt. Die einzige Feinheit, auf die man hier im Beweis achten muss: man muß Homologie mit Z2-Koeffizienten verwenden, um sicherzugehen, dass auch im Fall nichtorientierbarer Flächen gilt: H^2(K;Z_2)=Z_2. Der Beweis geht dann wie folgt: nach Lefschetz-Dualität hat man H_1(\mathbb R^3, \mathbb R^3-K; Z_2)=H^2(K;Z_2)=Z_2, wegen H_1(\mathbb R^3;Z_2)=0 und H_0(\mathbb R^3;Z_2)=Z_2 folgt dann aus der langen exakten Homologiesequenz H_0(\mathbb R^3-K;Z_2)=Z_2\oplus Z_2, also hat \mathbb R^3-K zwei Zusammenhangskomponenten.


Man sollte vielleicht erwähnen, dass dieses Ergebnis durchaus nicht offensichtlich ist. Während zum Beispiel alle Zerlegungen der Ebene durch eine Kurve topologisch äquivalent zur Zerlegung durch den Einheitskreis sind (das ist der Satz von Schoenflies, über den wir in TvF 177 geschrieben hatten) gibt es durchaus topologisch unterschiedliche Zerlegungen des R3 durch eine Sphäre. Bekanntes Beispiel ist Alexanders gehörnte Sphäre im Bild oben (der New Yorker hatte auch einmal ein Bild von Alexanders gehörnter Giraffe), oder natürlich auch die aus der Knotentheorie bekannten verknoteten Volltori, deren Komplement nie (außer wenn der Torus unverknotet ist) homöomorph zum Komplement des Clifford-Torus ist.

… nur das Möbiusband nicht

Das Möbiusband ist natürlich eine in den R3 eingebettete Fläche und es ist nicht orientierbar, aber es ist eben keine geschlossene Fläche, sondern eine Fläche mit Rand (insbesondere ist H^2(K;Z_2)=0) weshalb sich der obige Beweis nicht anwenden läßt.

In TvF 11 hatten wir mal darüber geschrieben, dass man auf dem Möbiusband nicht sinnvoll “rechts” und “links” definieren kann (oder Drehungen mit und gegen den Uhrzeigersinn) definieren kann.

Mathematisch exakt formuliert man Orientierbarkeit wie folgt:
in einem Vektorraum gibt es zwei Äquivalenzklassen von Basen, wobei zwei Basen des Vektorraums zur selben Äquivalenzklasse gehören sollen, wenn ihr Basiswechsel positive Determinante hat. Man kann dann (willkürlich) festlegen, dass man die Basen der einen Äquivalenzklasse positiv und diejenigen der anderen Äquivalenzklasse negativ nennt.
Eine Orientierung der Fläche ist nun eine konsistente (d.h. stetig vom Basispunkt abhängende) Festlegung von positiv und negativ für die Basen jeder einzelnen Tangentialebene.

Auf dem Möbiusband gibt es keine Möglichkeit, auf konsistente Weise positiv und negativ (oder links und rechts) festzulegen. Wenn eine Ameise einmal um das Möbusband heumläuft, dann haben sich aus ihrer Sicht links und rechts vertauscht:

Letztlich liegt das daran, dass es für das Möbiusband kein “Innen” und “Außen” gibt. Wenn es nämlich Innen und Außen gäbe, dann könnte man auf der Fläche eine Orientierung einfach dadurch definieren, dass man sagt, eine Basis einer Tangentialebene sei positiv orientiert, wenn sie zusammen mit einem nach außen zeigenden Vektor eine positive Basis des (Tangentialraumes des) R3 ergibt – für den R3 hat man ja natürlich eine Orientierung.

Also: wenn eine Fläche den R3 in zwei Komponenten zerlegt – das “Innen” und das “Außen” – dann kann man auf der Fläche eine Orientierung definieren.

Weil wir im vorigen Abschnitt ja bewiesen hatten, dass jede geschlossene Fläche K\subset R^3 den Raum in zwei Komponenten zerlegt, muss jede solche Fläche also orientierbar sein. Daraus folgt im Umkehrschluß: die nichtorientierbaren geschlossenen Flächen (wie z.B. die projektive Ebene oder die Kleinsche Flassche) lassen sich nicht in den R^3 einbetten.

Alternativ, wenn man im Rahmen der Homologietheorie aus dem vorhergehenden Abschnitt bleiben will, kann man das (scheinbar ganz ohne über Orientierungen zu reden) auch sehen, indem man den Beweis aus dem vorhergehenden Abschnitt jetzt mit Z- statt Z/2Z-Koeffizienten wiederholt und H2(K;Z)=0 für nicht-orientierbare Flächen benutzt.
Also: weil die Fläche K den R3 in 2 Zusammenhangskomponenten zerlegt ist H_0(\mathbb R^3-K;Z)=Z\oplus Z, mit der langen exakten Homologiesequenz dann H_1(\mathbb R^3, \mathbb R^3-K;Z)=Z, mit Alexander-Dualität H_1(\mathbb R^3, \mathbb R^3-K; Z)=H^2(K;Z) folgt H^2(K;Z)=Z, also muß die Fläche K orientierbar gewesen sein. (Die Orientierbarkeit von haben wir hier also indirekt, in ihrer homologie-theoretischen Verkleidung als H^2(K;Z)=Z gezeigt.)


Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159, Teil 160, Teil 161, Teil 162, Teil 163, Teil 164, Teil 165, Teil 166, Teil 167, Teil 168, Teil 169, Teil 170, Teil 171, Teil 172, Teil 173, Teil 174, Teil 175, Teil 176, Teil 177, Teil 178, Teil 179, Teil 180, Teil 181, Teil 182, Teil 183, Teil 184, Teil 185, Teil 186, Teil 187, Teil 188, Teil 189, Teil 190, Teil 191, Teil 192, Teil 193, Teil 194, Teil 195, Teil 196, Teil 197, Teil 198, Teil 199, Teil 200, Teil 201, Teil 202, Teil 203, Teil 204, Teil 205, Teil 206, Teil 207, Teil 208, Teil 209, Teil 210, Teil 211, Teil 212, Teil 213, Teil 214, Teil 215, Teil 216, Teil 217, Teil 218, Teil 219, Teil 220, Teil 221, Teil 222, Teil 223, Teil 224, Teil 225, Teil 226, Teil 227, Teil 228, Teil 229, Teil 230, Teil 231, Teil 232, Teil 233, Teil 234, Teil 235, Teil 236, Teil 237, Teil 238

Kommentare (22)

  1. #1 rolak
    29. September 2012

    Gibts diesen Tassen-Torus auch in freundlich bedruckt für den gepflegten Morgenkaffee?

  2. #2 michael
    29. September 2012
  3. #3 rolak
    29. September 2012

    Nee, mehr so dieses wabernde Ding..Zwar extrem hypothetisch, doch höchst reizvoll für die morgendliche “träum’ ich oder wach’ ich?”-Phase. Als Aufdruck vorschlagen würde ich aus historischen Gründen: Im Tassen-Zustand ‘drink me’ und im Donut-Zustand ‘eat me’.

  4. #4 Thilo
    29. September 2012

    Hat schon mal wer https://www.zazzle.de/dehnbare+tassen gekauft?

  5. #5 rolak
    29. September 2012

    Zumindest meiner einer nicht, Thilo – und nach Rückführung in die Originalsprache will mir scheinen, als sei nur die Größe des Bildes variabel, ein in seiner Lokalität auch vom männlichen Körper her bekanntes Phänomen.

    Das einzige von mir jemals erstandene Gefäß variabler Größe ist vor einigen Jahrzehnten so etwas gewesen. Und bevor der Verdacht auf Werbung kommt: Das Teil (nicht exakt das verlinkte, ein Analogon) war unpraktisch,unglaublich empfindlich und nach zehn Tagen entsorgt.
    btw: So etwas wie PET-Flaschen gab es damals noch nicht.

  6. #6 michael
    30. September 2012

    Essbare KaffeeTassen gibt es anscheinend.z.B hier. Um einen Donut zu erhalten, muss man den Boden zuerst essen.

  7. #7 rolak
    30. September 2012

    Aber auch nur, weil der Henkel kein Loch hat. ;−) Ansonsten eine schicke Idee, ist mir leider noch nicht untergekommen.

  8. #8 StefanL
    30. September 2012

    Ich stieß gerade auf https://www.kleinbottle.com/

  9. #9 StefanL
    30. September 2012

    ohh – hatte michael ja oben mehr oder weniger schon – aber die KleinschenFlaschen-Mützen mit Möbius-Schal …

  10. #10 Frank Wappler
    https://comment.preview.testing.testing--one.typo--two.topos...
    1. Oktober 2012

    Thilo schrieb (September 28, 2012):
    > https://scienceblogs.de/mathlog/files/2012/06/12264-Moebiusband_wikipedia.png

    Nur: ein Möbiusband ist das (sicherlich) nicht.

  11. #11 Thilo
    1. Oktober 2012

    Sorry, ich habe das Bild ausgetauscht.

  12. #12 Maxim
    4. Oktober 2012

    Hallo Thilo.
    Ich hätte eine Frage, die sich nicht unbedingt auf den Artikel bezieht, aber auch mit der Topologie zu tun hat.
    Angenommen ich umspanne ein paar Gegenstände z.B. Kugeln komplett mit einem Gummituch. Die Elastizität des Gummis kann variiert werden, so dass sich die Hülle immer mehr an die Objekt anschmiegt und mehr von dem eingeschlossenen Details zeigt. Kann man irgendwie die Oberfläche von so einer Anordnung berechnen?

  13. #13 Thilo
    4. Oktober 2012

    Hmm, in Spezialfällen wie z.B. einigen im Raum liegenden runden Kugeln wird man das sicher explizit lösen können (habe ich jetzt aber nicht gemacht), bei völlig beliebigen “unrunden” Flächen mit vielen Beulen und Dellen halte ich das jetzt aber fur ein Problem, das man wohl allenfalls numerisch mit Computerhilfe angehen kann. Ich weiss nicht, ob das schon mal irgendwo bearbeitet wurde.

  14. #14 Maxim
    5. Oktober 2012

    Also mit runden Kugeln würde mir schon reichen.
    Hast du mir vielleicht ein paar Begriffe sagen, nach denen ich überhaupt suchen muss? Also falls du sie kennst.

  15. #15 Thilo
    5. Oktober 2012

    Okay, nehmen wir mal zwei unterschiedlich grosse Kugeln vom Radius r und R. Wir koennen das Koordinatensystem so legen, dass die Mittelpunkte auf der x-Achse symmetrisch zum Nullpunkt sind, d.h. die Mittelpunkte sind (c,0,0) und (-c,0,0). (Natuerlich muss c groesser sein als r und R.)

    Dann schauen wir uns Flaechen an, die sich fuer x\in[-c-r,a] an die erste Sphaere anschmiegen, fuer x\in[b.c+r] an di zweite und dazwischen einen Kreiszylinder bilden, und versuchen diejenigen a,b zu finden, fuer die der Flaecheninhalt dieser Flaeche minimal wird. (Erfahrungsgemaess haben optimale Loesungen oft hohe Symmetrie, deshalb gehe ich jetzt einfach mal davon aus, dass das Optimum fuer eine solche Flaeche entsteht, die rotationssymmetrisch bzgl. der x-Achse ist. Das waere natuerlich noch zu beweisen.)

    In Abhaengigkeit von a,b kann man dann den Flaecheninhalt berechnen. Der Flaecheninhalt des sich an die erste Sphaere anschmiegenden Stueckes berechnet man als 2\pi(\int_{c-r}^a\sqrt{r^2-(x+c)^2}dx, den des Kreiszylinders als \pi(b-a)(\sqrt{R^2-(b-c)^2}-\sqrt{r^2-(a-c)^2}) und den des sich an die zweite Sphaere anschmiegenden Stueckes als 2\pi\int_b^{c+R}\sqrt{R^2-(x-c)^2}dx.

    Die Integrale kann man berechnen, z.B. ist, wenn ich mich hoffentlich nicht verrechnet habe, die Stammfunktion von \sqrt{r^2-(x+c)^2}dx gleich \frac{1}{2}(x+c)\sqrt{1-(x+c)^2}-\frac{r^2}{2}arccos(\frac{x+c}{r}).

    Man bekommt also eine von a und b abhaengende Formel und kann dann mit Differentialrechnung zu berechnen versuchen, fuer welche a ,b das Minimum dieser Funktion angenommen wird.

    Sieht aber nach ziemlich viel Arbeit aus und das war nur der einfachste Fall. Wahrscheinlich macht man das doch besser mit einem geeigneten numerischen Verfahren.

  16. #16 Jimmy
    Dresden
    5. Oktober 2012

    Moment…. ein paar Objekte, ein Gummituch: das klingt für mich einfach nach der konvexen Hülle der Objekte, oder?

  17. #17 Thilo
    5. Oktober 2012

    Das ist halt die Frage, ob die konvexe Hülle minimale Oberfläche hat oder ob es nicht doch Teilmengen mit geringerer Oberfläche gibt. Das Gummituch könnte sich ja auch fast ganz um die Sphären wickeln und dann einen entsprechend kleineren Zwischenraum überbrücken.

  18. #18 Jimmy
    Dresden
    6. Oktober 2012

    Das stimmt. Die konvexe Hülle ist ja nur die kleinste konvexe Menge, die eine gegebene Menge enthält. Eine nicht konvexe Menge, also eine Oberfläche, die beispielsweise diese zwei Kugeln umschließt und durch einen unendlich dünnen Steg verbindet, hätte sicher eine kleinere Oberfläche.

    Meine Vorstellung hängt aber an diesem Gummituch: wenn ich um eine Menge von Objekten (im Beispiel eben zwei disjunkte Sphären) ein Gummituch lege und straffziehe, dann müsste doch sowas wie die konvexe Hülle dabei entstehen, oder nicht?

  19. #19 m
    7. Oktober 2012

    Wenn der Abstand zwischen den Sphaeren grosz ist (im vergleich zum Radius) duerfte sich das Gummituch zwischen den Sphaeren verjuengen: zwei mal volle oberflaeche der Kugeln plus ein Zylinder mit vernachlaessigbarem Durchmesser ist dann weniger flaeche als zwei halbe Kugeln und der Zylinder mit vollem Radius. Minimale Oberflaeche hat vermutlich ein tropfenfoermiges Gebilde — und was ein reales Gummituch macht muss wohl ein Experiment zeigen 🙂

  20. #20 Maxim
    7. Oktober 2012

    @Thilo
    Vielen Dank schon mal. Ja, das ein sehr einfacher Fall. Wahrscheinlich gehen komplexere Fälle analytisch gar nicht. Meine Anforderung wäre eigentlich ein Klumpen aus Murmeln, der komplett von einer zähen Flüssigkeit bedeckt ist. Beim trocknen zieht sich diese Flüssigkeit zusammen und die entstandene Netzhaut dringt etwas in die Zwischenräume ein.
    Vielleicht kann man da etwas mit Kugelflächenfunktionen erreichen?!

    @Jimmy
    Nein, die Hülle muss nicht unbedingt konvex sein. Ich meine es so, wie Thillo es beschrieben hat: die zwei Kugeln können fast vollständig umschlossen und haben nur eine enge Verbindung miteinander.
    z.B. so https://www.chemgapedia.de/vsengine/media/vsc/de/ch/15/thc/bindung/bilder/lih_pot.png

    Bildquelle: https://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ch/15/thc/bindung/tc022_h2plus.vlu/Page/vsc/de/ch/15/thc/bindung/lih.vscml.html

  21. […] Teil 229, Teil 230, Teil 231, Teil 232, Teil 233, Teil 234, Teil 235, Teil 236, Teil 237, Teil 238, Teil 239, Teil 240, Teil 241, Teil 242, Teil 243, Teil 244, Teil 245, Teil 246, Teil 247, Teil 248, Teil […]

  22. #22 Fevzi
    Gütersloh
    1. Mai 2019

    vielen Dank für diesen Matheblog, Mathe war immer mein Lieblingsfach
    https://xn--fevzigrer-v9a.com/