StartseiteMathlog

Topologie von Flächen CCLIII

Von / 4. Januar 2013 / 22 Kommentare / Seite 2 von 2 / Auf einer Seite lesen
Mehr

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159, Teil 160, Teil 161, Teil 162, Teil 163, Teil 164, Teil 165, Teil 166, Teil 167, Teil 168, Teil 169, Teil 170, Teil 171, Teil 172, Teil 173, Teil 174, Teil 175, Teil 176, Teil 177, Teil 178, Teil 179, Teil 180, Teil 181, Teil 182, Teil 183, Teil 184, Teil 185, Teil 186, Teil 187, Teil 188, Teil 189, Teil 190, Teil 191, Teil 192, Teil 193, Teil 194, Teil 195, Teil 196, Teil 197, Teil 198, Teil 199, Teil 200, Teil 201, Teil 202, Teil 203, Teil 204, Teil 205, Teil 206, Teil 207, Teil 208, Teil 209, Teil 210, Teil 211, Teil 212, Teil 213, Teil 214, Teil 215, Teil 216, Teil 217, Teil 218, Teil 219, Teil 220, Teil 221, Teil 222, Teil 223, Teil 224, Teil 225, Teil 226, Teil 227, Teil 228, Teil 229, Teil 230, Teil 231, Teil 232, Teil 233, Teil 234, Teil 235, Teil 236, Teil 237, Teil 238, Teil 239, Teil 240, Teil 241, Teil 242, Teil 243, Teil 244, Teil 245, Teil 246, Teil 247, Teil 248, Teil 249, Teil 250, Teil 251, Teil 252

1 / 2
Stichworte: , , , , ,
Mehr

Kommentare (22)

  1. #1 Frank Wappler
    ((Ap~Bp) (Aq~Bq)) for p =/= q and ((Ap~Bp) (Ap~Bp)) := Max_{ j, k in { 1, 2 } }_[ ((Aj~Bk) (Aj~Bk)) ]
    5. Januar 2013

    Thilo schrieb (Januar 4, 2013):
    > Die Orientierbarkeit von Flächen […] Um dies präziser zu fassen, schauen wir uns zunächst den Vektorraum R2 an.
    > […] einerseits […] die Basis ( e1, e2 )
    > […] und andererseits […] die Basis ( e2, e1 )

    Eine verblüffende Vorstellung, Basen eines Vektorraumes dahingehend unterscheiden zu wollen, in welcher Reihenfolge man ihre Elemente hinschreibt!

    Offenbar — vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Basis_(Vektorraum) — spricht man für diesen Fall stattdessen/genauer von “(verschieden) geordneten Basen”.

    Schon wieder was gelernt!
    (Wieder etwas gelernt, von dem ich kaum erwartet hätte, es durch eine Artikelserie zu erfahren, die “Topologie von Flächen” heißt.)

    Wäre es wohl bitte möglich zu skizzieren, wie etwas Entsprechendes und Geeignetes, z.B. “berandete orientierbare Fläche”, mal allein unter Verwendung des (für Topologie sicher maßgeblichen) Begriffs “offene Menge” und der (ansonsten wohl bekannten) Begriffe der Mengenlehre auszudrücken ist?
    (Falls das in dieser Artikelserie natürlich nicht schon längst erfolgt, mir aber entgangen sein sollte.)

  2. #2 Thilo
    6. Januar 2013

    Orientierbarkeit nur “über offene Mengen” (also mit der topologischen Struktur, ohne die Differentialstruktur) zu definieren, macht man wohl analog zum Artikel oben am Besten mit der Orientierungsüberpagerung. Die kann man auch ohne Basen des Tangentialraumes rein topologisch definieren, siehe Thm.VIII.2.11. in Dold oder https://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Orientation_covering : statt des Tangentialraumes benutzt man die lokale Homologie, um punktweise Orientierungen zu definieren. Die Mannigfaltigkeit ist dann wieder orientierbar gdw. die Orientierungsüberlegerung trivial ist.

  3. #3 Frank Wappler
    8. Januar 2013

    Thilo schrieb (#2, 6. Januar 2013):
    > Orientierbarkeit nur “über offene Mengen” (also mit der topologischen Struktur, ohne die Differentialstruktur) zu definieren […] benutzt man die lokale Homologie, um punktweise Orientierungen zu definieren.

    Und wie wäre “lokale Homologie” als rein “topologischen Struktur” definiert? (Ob “der Dold” da wirklich weiterhilft?)

    Beim Versuch, dieser Frage anhand der vorliegenden Artikelserie nachzugehen, bin ich in https://scienceblogs.de/mathlog/2011/06/03/topologie-von-flachen-clxx/ auf Begriffe wie “Punkt“, “Strecke” und “Dreieck” gestoßen.

    “Punkt” bzw. “Element” ist ja sicherlich ein ganz unmittelbarer Begriff der Topologie bzw. Mengenlehre.

    Ich bilde mir auch ein, ausdrückliche und rein “topologische Bedingungen” dafür nennen zu können, welche topologische Räume “Strecken” genannt werden (sollten), und welche nicht.
    (Falls das anzuzweifeln wäre, und möglicherweise ja zurecht, dann würde ich meinen entsprechenden Definitions-Versuch gern nachreichen; insbesondere auch als Illustration für die Art von Antwort, die ich schon auf meine obige Frage, vom 5. Januar 2013, erwartet hätte.)

    Dann aber kommt der Begriff “Dreieck“; oder, was unter Einsatz von “topologischen Mitteln” vermutlich das Selbe ist: “einfache, berandete, orientierbare Fläche”. Und ich frage mich nach wie vor: Wie macht man das?.

  4. #4 Thilo
    8. Januar 2013

    Eine Strecke (singulärer 1-Simplex) ist in der Topologie das Bild einer stetigen Abbildung f:[0,1]–>X vom abgeschlossenen Einheitsintervall in den topologischen Raum X.
    Ein singulärer 2-Simplex (vulgo: Dreieck) ist das Bild einer stetigen Abbildung vom abgeschlossenen Standard-2-Simplex in den topologischen Raum X. Dabei ist der Standard-2-Simplex die konvexe Hülle der Punkte (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) im R^3.

  5. #5 Frank Wappler
    https://think.intrinsically--act.publicly
    9. Januar 2013

    Thilo schrieb (#4, 6. Januar 2013):
    > Eine Strecke (singulärer 1-Simplex) ist in der Topologie das Bild einer stetigen Abbildung f:[0,1]–>X vom abgeschlossenen Einheitsintervall in den topologischen Raum X.

    Wodurch wäre ein solcher, geeigneter topologischer Raum “X“, also eine/jede hinreichende Menge S zusammen mit einer geeigneten Kollektion T von bestimmten (aber sicherlich nicht von allen) Teilmengen von S
    (die “offen” genannt werden), denn an sich charakterisiert?

    Ich vermute (leider weiß ich keine Quellen, wo das eventuell schon mal durchdacht und eventuell besser organisiert worden wäre), dass das Paar ( S, T ) dafür die folgenden Bedingungen erfüllen sollte:

    (S0) Natürlich die Bedingungen entsprechend https://de.wikipedia.org/wiki/Topologischer_Raum#Definition;

    (S1) Dieser topologische Raum muss ein https://de.wikipedia.org/wiki/Zusammenh%C3%A4ngender_Raum sein und ein https://de.wikipedia.org/wiki/Hausdorff-Raum sein;

    (S2) Menge S enhält genau zwei verschiedene Elemente, \alpha und \omega, deren Komplement bzgl. der Menge S jeweils ein zusammenhängender Teilraum und Element der Kollektion T ist (und deren gemeinsames Komplement bzgl. der Menge S ebenfalls ein zusammenhängender Teilraum sowie Element der Kollektion T ist);

    (S3) Für alle Elemente der Menge S außer \alpha und \omega, besteht das jeweilige Komplement bzgl. der Menge S aus je zwei disjunkten Elementen der Kollektion T, die beide (einzeln) zusammenhängende Teilräume sind.

    Aber nochmals:
    eine entsprechende Definition des Begriffs “einfache berandete orientierbare Fläche”, allein “mit solchen topologischen Mitteln”, traue ich mir z.Z. nicht zu
    (und hier erst recht nicht ohne die Möglichkeit einer Kommentar-Vorschau bzw. irgendeiner Dokumentation, wie hier dargestellt würde, was man alles zwischen “$latex” und “$” hineintippen müsste).

    > Ein singulärer 2-Simplex (vulgo: Dreieck) ist das Bild einer stetigen Abbildung vom abgeschlossenen Standard-2-Simplex in den topologischen Raum X. Dabei ist der Standard-2-Simplex die konvexe Hülle der Punkte (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) im R^3.

    Ist denn der Begriff “konvexe Hülle” allein “mit topologischen Mitteln” (wie z.B. oben benutzt) definierbar ??
    Oder etwa (ausgerechnet!?) der Begriff https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_Menge !? …

  6. #6 Thilo
    11. Januar 2013

    Nein, aber es handelt sich ja um Punkte im R^3, wo man die konvexe Huelle der drei Punkte P,Q,R im ueblichen Sinne definieren kann, als Menge aller Punkte aP+bQ+cR mit a,b,c nichtnegativ und a+b+c=1.

  7. #7 Frank Wappler
    https://Im.Übrigen.bewerte.ich.das.Vorenthalten.einer.Kommentarvorschau.als.Missachtung.der.Leserschaft
    12. Januar 2013

    Thilo schrieb (#6, 11. Januar 2013):
    > Nein, aber […]

    Aber Topologie sollte in dieser deiner Artikelserie doch sicher nicht zu kurz kommen, oder?

    > es handelt sich ja um Punkte im R^3, wo man die konvexe Huelle der drei Punkte P,Q,R im ueblichen Sinne definieren kann, als Menge aller Punkte aP+bQ+cR mit a,b,c nichtnegativ und a+b+c=1.

    Fein — das beschreibt offenbar eine (durch die drei “Punkte im R^3” bzw. reelle Tripel “P“, “Q” und “R“) bestimmte Menge “M” solcher Elemente;
    in Anlehnung an die Menge reeller Zahlen “[0,1]“, die oben (Thilo, #4, 6. Januar 2013) im Zusammenhang mit dem Begriff “Strecke” zu betrachten war.

    In ähnlicher Weise lassen sich wohl auch bestimmte Teilmengen dieser (durch “P“, “Q” und “R” bestimmten) Menge M ausdrücken:

    Z.B. die Menge “N_int” aller “Punkte im R^3”

    a P + b Q + c R

    mit a, b und c positiv und a + b + c = 1.

    Oder für jedes Element “F” aus dieser Menge N_int, das durch je zwei bestimmte positive Werte “a_F” und/oder “b_F” und/oder “c_F” gegeben bzw. charakterisiert ist, jeweils die Menge “N_pF” aller “Punkte im R^3”

    a P + b Q + c R

    mit a > a_F, sowie b und c nichtnegativ und a + b + c = 1.

    Oder entsprechend die Mengen “N_qF” bzw. “N_rF” aller “Punkte im R^3”

    a P + b Q + c R

    mit b > b_F, sowie a und c nichtnegativ und a + b + c = 1; bzw.
    mit c > c_F, sowie b und c nichtnegativ und a + b + c = 1.

    Oder für jedes Element “F” aus Menge N_int, jeweils die Menge “N_pqF” aller “Punkte im R^3”

    a P + b Q + c R

    mit a > a_F und b > b_F sowie c nichtnegativ und a + b + c = 1.

    Oder entsprechend die Mengen “N_prF” bzw. “N_qrF” aller “Punkte im R^3”

    a P + b Q + c R

    mit a > a_F und c > c_F sowie b nichtnegativ und a + b + c = 1; bzw.
    mit b > b_F und c > c_F sowie a nichtnegativ und a + b + c = 1.

    Oder für je drei verschiedene Elemente “H”, “J” und “K” aus Menge M, jeweils die Menge “N_HJK” aller “Punkte im R^3”

    a H + b J + c K

    mit a, b und c positiv und a + b + c = 1.

    Lässt sich die Gesamtheit dieser (durch “P“, “Q” und “R” bestimmten) Teilmengen N der Menge M als https://de.wikipedia.org/wiki/Basis_%28Topologie%29 eines topologischen Raumes auffassen?

    Falls so, ließe sich ein solcher topologischer Raum auch durch bestimmte (topologische) Eigenschaften an sich beschreiben?

    Dann wäre das offenbar die Charakterisierung eines topologischen Raumes als “berandete, orientierbare Fläche”; in Anlehnung an die oben (#5, 9. Januar 2013) skizzierten Eigenschaften eines topologischen Raumes as “Strecke“.

    p.s.
    Die (meines Wissens in den ScienceBlogs sowieso weitgehend undokumentierte) Notation
    “$latex <LaTeX-Code>$”
    zur Darstellung von Formeln, die im Herbst letzten Jahres noch funktionierte, ist nun/hier offenbar auch kaputt …

  8. #8 Rasmi
    xsnlPcZveBE
    13. Januar 2013

    nicht so viel Bedeutung beigemessen, doch ancnescheiuligh hatte ich ein gutes He4ndchen. Sascha hatte ein e4hnliches Thema und auch Martin hat sich seine Gedanken zu Youtube und Werbung

  9. #9 Fakhri
    ZSzFZCXWThDHVpuUHY
    13. Januar 2013

    Ich erinnere mich an die Geobusiness Tagung in Mainz beim ZDF, wo der daalimge Pre4sident der ADV versucht hat zu erkle4ren, warum man mit den Geodaten Milliarden verdienen kann. Das war nachher in der Diskussion eigentlich nur noch peinlich ffcr ihn. Eben verbohrter Verteidiger von Erbhf6fen im Kampf um Existenzberechtigungen. Der Artikel von ttm ist nicht Bildzeitung er ist eigentlich noch viel zu lieb geschrieben. Der erste Satz von AS macht klar. Der Autor ist ein Beamter. Man muss ja fragen, auch wenn man was positives verbreiten will . Wann hf6rt das endlich mal auf in diesem Land und wann merkt die Politik endlich, das man eine AdV fcberhaupt nicht braucht. Weil, einig sind die sich nicht untereinander, ich meine die c4mter der einzelnen Le4nder.Aber: Der Film ist echt gut. Ehrlich. Er ist ffcr fast alle Zielgruppen gut, denen man erkle4ren will, was Geodaten machen und welche Methoden notwendig sind ffcr die Erfassung. Kann man Mutti zeigen und auch in der Schule. Ist ein Pluspunkt ffcr die AdV. Verstanden habe ich aber nicht den Hinweis im Film auf das Thema Navigation. Das machen doch die Anbieter selber mit den Daten. Grade die AdV hat es doch verpasst hat wegen der Unkenntnis der potentielle Me4rkte ATKIS Daten routingfe4hig zu machen. Da haben dann andere die Milliarden gemacht. In Industrieunternehmen we4ren hier im Management Kf6pfe gerollt. Aber, man ist ja hoheitlich und nicht angreifbar. Als Politiker, der die enormen Etats der LVAb4s sieht wfcrde ich mich schon fragen, ob nicht einfach einiges durch OSM, BING oder Google ersetzen kann. Bin mal gespannt, ob bei der AdV wieder ein Schild steht auf einer Standparty Geschlossene Gesellschaft damit ja keiner dazu kommt der da nicht hingehf6rt.

  10. #10 Thilo
    14. Januar 2013

    @Frank Wappler
    Die technischen Probleme sind mir schon bekannt, aber mehr als die Redaktion zu Nerven kann ich da auch nicht tun.

    Zur Frage: das Dreieck ist eine Teilmenge im R^3 und man versieht es natürlich einfach mit der Unterraumtopologie https://de.wikipedia.org/wiki/Teilraumtopologie

  11. #11 Wuttikarn
    NvgyRcRUqzpddPLSx
    14. Januar 2013

    Einen aktuellen Einblick in die Schweizer abAlpenmusikbb beeitt Theresa Beyer mit ihrem Bericht vom Tanz- und Folkfestival Rudolstadt. Wir sind auch gespannt, wie sich die Alpentf6ne akustisch und visuell unterscheiden vom

  12. #12 Frank Wappler
    14. Januar 2013

    Thilo schrieb (#10, 14. Januar 2013):
    > das Dreieck ist eine Teilmenge im R^3 und man versieht es natürlich einfach mit der Unterraumtopologie https://de.wikipedia.org/wiki/Teilraumtopologie

    Das unterstellt offenbar, dass zusammen mit der Angabe der Menge „R^3“ auch eine bestimmte Topologie gegeben wäre. Welche topologische Eigenschaften hätte die denn ?!?

    Oder, falls das (vermutlich) einfacher ist, und weil das (vermutlich) relevanter ist:
    Durch welche topologischen Eigenschaften wäre denn (z.B.) die o.g. „Unterraumtopologie“ charakterisiert?

    p.s.
    > Die technischen Probleme sind mir schon bekannt, aber mehr als die Redaktion zu Nerven kann ich da auch nicht tun.

    Die Bestätigung, dass überhaupt Probleme bestehen, und dass diese Probleme „technisch“ bedingt sind (und nicht etwa durch Leser und/oder Kommentatoren), ist ja an sich schon ein Fortschritt. Und zusammen nervt’s sich bestimmt zielführender als allein.

  13. #13 Anupa
    CWZtizpAKpukgyW
    14. Januar 2013

    Ich finde hier diesen He4ndlerblog leiedr etwas, naja unpassend. Es wird nicht mit Features sondern viel mehr mit Werbung ausgeffcllt. Der Blog sollte dazu dienen, das zum einen die He4ndler sich informiert und auch beraten ffclhen! Ich kann ausser einem Kommentar nichts hinzuschrieben.Wieso stehen hier keine Infos darfcber wann beispielsweise uns He4ndlern einmal die Emailadresse der Kunden mitgeteilt wird, damit wir schneller und besser einen Support- Service anbieten kf6nnen?

  14. #14 Frank Wappler
    https://if.you.know.a.problem.that.you.haven’t.been.able.to.solve--and.if.you.haven’t.been.able.to.find.a.simpler.problem.that.you.haven’t.considered.yet.either--then.cast.your.problem.as.a.definition
    16. Januar 2013

    Frank Wappler schrieb (#11, 14. Januar 2013):
    > Durch welche topologischen Eigenschaften wäre denn (z.B.) die o.g. „Unterraumtopologie“ charakterisiert?

    Als konkretes Beispiel für die Charakterisierung topologischer Räume durch solche (oder eng damit zusammenhängende) „topologische Eigenschaften“ kann man (auch) die folgende Frage zu einer Umkehrung des „Jordanschen Kurvensatzes“ (vgl. https://scienceblogs.de/mathlog/2011/04/22/topologie-von-flachen-clxiv/ ) betrachten:

    Wenn ein zusammenhängender topologischen Raum (S, T) gegeben ist, und wenn für jede Zerlegung der Menge S in drei nichtleere Teilmengen A, B und K, so dass
    – A offen und zusammenhängend ist,
    – B offen und zusammenhängend ist, und
    – K der https://de.wikipedia.org/wiki/Rand_(Topologie) sowohl von A als auch von B ist,
    jede so festgelegte Menge K (bzgl. ihrer von T her stammenden Teilraumtopologie) „eindimensional“ und „zusammenhängend“ und „geschlossen“ ist (bzw. eine „geschlossene https://de.wikipedia.org/wiki/Jordan-Kurve “),
    und sofern diese Bedingungen widerspruchsfrei sind,
    wie nennt man dann einen so definierten topologischen Raum (S, T) ?

  15. #15 Thilo
    18. Januar 2013

    Die obige Charakterisierung trifft jedenfalls nicht nur auf den R^2 zu, sondern auch auf die 2-Sphäre.

    Unter den kompakten Räumen kann man die Sphäre tatsächlich durch diese Bedingungen charakterisieren, siehe https://www.ams.org/journals/proc/1992-115-03/S0002-9939-1992-1124153-0/home.html . Für nichtkompakte Räume könnte man die 1-Punkt-Kompaktifizierung betrachten und daseoblem auf die Charakterisierung der Sphäre zurückzuführen versuchen, aber ganz so einfach ist das wohlmnicht, wie das Beispiel des offenen Kreisringes zeigt, auf den diese Charakterisierung ja ebenfalls zutrifft.

  16. #16 Frank Wappler
    https://Ein.Memorandum.bedient.eher.die.Vorausschau.des.Schreibers--als.der.Erinnerung.des.Lesers
    22. Januar 2013

    Thilo schrieb (#15, 18. Januar 2013):
    > Die obige Charakterisierung trifft jedenfalls nicht nur auf den R^2 zu, sondern auch auf die 2-Sphäre.

    Trifft diese obige Charakterisierung (s. #14) denn wirklich auf beides zu?

    (Ich hätte gehofft nur auf „die 2-Sphäre“ …
    Aber bei genauerem Hinsehen scheint mir die obige Formulierung sowieso nicht unbedingt ganz „wasserdicht“, denn, z.B., Zerlegungen der Menge S in „offenes“ A, „offenes B“ und „Rest“ werden darin ja gar nicht erwähnt, und insofern auch nicht von vornherein und ausdrücklich ausgeschlossen, falls dieser „Rest“ nicht ganz genau der Rand sowohl von A als auch von B wäre. Man denke vielleicht an „die 2-Sphäre mit einem Punkt verdoppelt“.

    Interessant fände ich diesbezüglich auch, wie man aus einer geeignet genau formulierten solchen Charakterisierung betreffend einer Jordan-Kurve dann auf Beziehungen zwischen mehreren Jordan-Kurven schließen könnte.)

    Jedenfalls hat die obige Charakterisierung zumindest im Prinzip „ein gewisses Etwas“ („Selbstständigkeit“? „Zugänglichkeit“?), das (mir) fehlt, wenn, wie in #4, von Abbildungen die Rede ist und Kenntnis/Charakterisierung des entsprechenden Urbildes vorausgesetzt/unterstellt wird.

    > Unter den kompakten Räumen kann […]

    https://scienceblogs.de/mathlog/page/2/?s=kompakt

    ??

  17. #17 Topologie von Flächen CCLIV – Mathlog
    29. Januar 2013

    […] Möbiusband – nicht nur das einfachste Beispiel einer nicht-orientierbaren Fläche (letzte Woche), auch das einfachste Beispiel eines “getwisteten” Bündels von Geraden […]

  18. #18 Topologie von Flächen CCLVI – Mathlog
    29. Januar 2013

    […] Vor 3 Wochen hatten wir eine Invariante w1 definiert, die jeder geschlossenen Kurve (in einer Fläche F) den Wert 0 oder 1 zuordnet, je nachdem ob entlang dieser Kurve die Orientierung umgedreht wird oder nicht. Man kann sich überlegen, dass entlang der Ränder von 2-Simplizes die Orientierung immer erhalten bleiben muß; w1 ist also eine Abbildung, die 1-Zykeln einen Wert in zuordnet und dabei Ränder auf 0 abbildet – nach obiger Definition ist w1 also ein Element der 1.Kohomologiegruppe mit Werten in . (Letztere wird mit bezeichnet.) […]

  19. #19 Topologie von Flächen CCLVIII – Mathlog
    9. Februar 2013

    […] Teil 243, Teil 244, Teil 245, Teil 246, Teil 247, Teil 248, Teil 249, Teil 250, Teil 251, Teil 252, Teil 253, Teil 254, Teil 255, Teil 256, Teil […]

  20. #20 Topologie von Flächen CCLXII – Mathlog
    9. März 2013

    […] Teil 243, Teil 244, Teil 245, Teil 246, Teil 247, Teil 248, Teil 249, Teil 250, Teil 251, Teil 252, Teil 253, Teil 254, Teil 255, Teil 256, Teil 257, Teil 258, Teil 259, Teil 260, Teil […]

  21. #21 Topologie von Flächen CCLXVIII – Mathlog
    20. April 2013

    […] Teil 243, Teil 244, Teil 245, Teil 246, Teil 247, Teil 248, Teil 249, Teil 250, Teil 251, Teil 252, Teil 253, Teil 254, Teil 255, Teil 256, Teil 257, Teil 258, Teil 259, Teil 260, Teil 261, Teil 262, Teil […]

  22. #22 Roosevelt Fegett
    1. März 2017

    My wife and i ended up being thrilled Michael could carry out his analysis via the ideas he grabbed when using the site. It is now and again perplexing just to happen to be giving for free guides which usually other people may have been selling. We really remember we’ve got the website owner to thank for that. These explanations you’ve made, the straightforward website menu, the friendships your site help to foster – it’s got mostly overwhelming, and it’s really letting our son and our family reckon that the article is entertaining, and that is very pressing. Thank you for all!