Im aktuellen Juni-Heft der “Inventiones Mathematicae” erscheint nun die Arbeit “On the local-global conjecture for integral apollonian gaskets” von Bourgain und Kontorovich, in der diese Vermutung jedenfalls für fast alle ganzen Zahlen bewiesen wird:
Almost every admissible number is the curvature of a circle in
. Quantitatively, the number of exceptions up to N is bounded by O(N1-η), whereis effectively computable.
Der Beweis benutzt die Hardy-Littlewood-Kreismethode sowie die Geometrie hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten unendlichen Volumens (nämlich der Kleinschen Mannigfaltigkeit, deren Limesmenge das oben erwähnte Fraktal ist) und die Spektraltheorie des Laplace-Operators auf den den Kongruenz-Untergruppen entsprechenden Überlagerungen dieser 3-Mannigfaltigkeit.
Bourgain, J., & Kontorovich, A. (2013). On the local-global conjecture for integral Apollonian gaskets Inventiones mathematicae, 196 (3), 589-650 DOI: 10.1007/s00222-013-0475-y
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