Im aktuellen Juni-Heft der “Inventiones Mathematicae” erscheint nun die Arbeit “On the local-global conjecture for integral apollonian gaskets” von Bourgain und Kontorovich, in der diese Vermutung jedenfalls für fast alle ganzen Zahlen bewiesen wird:

Almost every admissible number is the curvature of a circle in \mathcal{G}. Quantitatively, the number of exceptions up to N is bounded by O(N1-η), where \eta>0 is effectively computable.

Der Beweis benutzt die Hardy-Littlewood-Kreismethode sowie die Geometrie hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten unendlichen Volumens (nämlich der Kleinschen Mannigfaltigkeit, deren Limesmenge das oben erwähnte Fraktal ist) und die Spektraltheorie des Laplace-Operators auf den den Kongruenz-Untergruppen entsprechenden Überlagerungen dieser 3-Mannigfaltigkeit.

Bourgain, J., & Kontorovich, A. (2013). On the local-global conjecture for integral Apollonian gaskets Inventiones mathematicae, 196 (3), 589-650 DOI: 10.1007/s00222-013-0475-y

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Kommentare (4)

  1. #1 Lercherl
    21. Juni 2014

    Das ist schon eine eingeschränkte Version des Apollonischen Problems. Apollonius verlangt nicht, dass sich die Kreise berühren, das Problem ist ganz allgemein mit beliebigen Kreisen formuliert. Es hat zwischen 0 und 8 Lösungen. Keine Lösung gibt es offensichtlich bei drei konzentrischen Kreisen. Bei der Maximalzahl berührt ein Kreis alle drei von außen und einer alle drei von innen. Jeweils drei berühren zwei von außen und einen von innen bzw. einen von außen und zwei von innen.

    Lösung siehe z.B. hier: https://www.e-rara.ch/zut/content/pageview/2759799

  2. #2 Martin Windischer
    21. Juni 2014

    Weil mich das beim Durchlesen und Proberechnen doch ein bisschen verwirrt hat, hier zwei kleine Korrekturen: Bei den drei Beispielen haben die Äußersten Kreise nicht den Radius 1, sondern 1/3, 1/10 und 1/12 (sieht man auch in den Dateinamen der Bilder).
    Und bei der Formel k4+k4’=k1+k2+k3 fehlt wohl der Faktor 2 auf der rechten Seite.

  3. #3 Thilo
    21. Juni 2014

    Danke, ist korrigiert.

  4. #4 mezomorfik
    23. Juni 2014

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