Theorema Magnum MCMIII: die Fredholm-Alternative

Viele Differentialgleichungen lassen sich in äquivalente Integralgleichungen umformen.
Beispielsweise führt im Beweis des Existenzsatzes für gewöhnliche Differentialgleichungen (Picard-Lindelöf) die Integration von x’=f(x(t),t) mit Anfangswert x(t₀)=x₀ auf die Integralgleichung .
Auch viele partielle Differentialgleichungen können auf Integralgleichungen zurückgeführt werden. Solche Ansätze waren häufig nützlich gewesen, man hatte aber im 19. Jahrhundert nicht damit gerechnet, dass es eine allgemeine Theorie für Integralgleichungen geben könnte.

Ivar Fredholm, dessen Vater als Geschäftsmann mit der Elektrifizierung Schwedens reich geworden war, interessierte sich vor allem für physikalische Anwendungen der Mathematik und entwickelte seine Ansätze zur Bearbeitung von Integralgleichungen ursprünglich mit Blick auf das Dirichlet-Problem. Dort geht es um die partielle Differentialgleichung Δu=0 auf einem Gebiet D ⊂ R² mit vorgegebenen Randwerten u=f auf dem Rand von D. (Δ ist der Laplace-Operator d²/dx²+d²/dy².) Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diese partielle Differentialgleichung in eine Integralgleichung zu transformieren. Beispielsweise kann man auf dem Einheitskreis mit der Fundamentallösung den Ansatz wählen. Die partielle Differentialgleichung transformiert sich dann in die Integralgleichung in σ, wobei f die gegebenen Randwerte sind und n(y) der Normalenvektor in y ist. Damit hat man insbesondere die Dimension des Problems reduziert, da man diese Integralgleichung ja nur noch auf dem Rand von D betrachtet.

Fredholm hatte sich also zunächst mit dem Dirichlet-Problem beschäftigt und für diesen Zweck eine Theorie von Integralgleichungen entwickelt. Durch Vorträge seines Landmannes Holmgren in Göttingen wurde seine Theorie in Göttingen und dann im Rest Europas bekannt und man stellte bald fast, dass viele andere Lösungen partieller Differentialgleichungen sich einfacher mit Fredholms Theorie erhalten lassen.

In seiner 1903 in Acta Mathematica veröffentlichten Arbeit Sur une classe d'equations fonctionelles entwickelte Fredholm seine Theorie dann für den allgemeinen Fall von linearen Integralgleichungen , bei denen g, λ und der „Integralkern“ k (für die Integration über ein gegebenes kompaktes Gebiet in einem Rⁿ, zum Beispiel ein abgeschlossenes Intervall [a,b] im R¹) gegeben sind und die Lösung φ gesucht wird.

Eine ähnliche Klasse von Integralgleichungen hatte zuvor Vito Volterra betrachtet, bei ihm ging es aber um Integrale über einen variablen von x abhängenden Integrationsbereich, also über das Intervall [a,x] statt eines festen Intervalls [a,b]. Der Ansatz bei Volterra wie bei Fredholm war, das Integral durch eine Summe zu ersetzen, das entstehende lineare Gleichungssystem zu betrachten und dann einen Grenzübergang durchzuführen.

Mit unendlichen Gleichungssystemen hatten sich Mathematiker vorher im Zusammenhang mit der Lösung von Differentialgleichungen durch Fourier-Entwicklung beschäftigt. Beispielsweise versuchte man, die Gleichung Δu(x,y)=0 mit dem Ansatz zu lösen, was auf ein unendliches Gleichungssystem in den Variablen a_m führt. Jedes endliche Teilsystem ließ sich lösen und durch den Grenzübergang bekam man tatsächlich eine korrekte Lösung. Aber es war nicht bewiesen, dass dieser Grenzübergang vom Endlichen zum Unendlichen funktioniert, und natürlich man kann sich leicht unendliche Gleichungssysteme ausdenken, bei denen jedes endliche Teilsystem dieselbe Lösung hat, alle zusammen aber nicht.

Endliche lineare Gleichungssysteme lassen sich lösen, wenn ihre Determinante nicht verschwindet. Um dies auf unendliche lineare Gleichungssystem zu verallgemeinern, konnte Fredholm auf die 1892 geschriebene Dissertation seines Landmannes Helge von Koch über Determinanten unendlicher linearer Gleichungssysteme aufbauen. Bei dem war die Determinante einer abzählbar-unendlichen Matrix einfach definiert als Grenzwert für k gegen Unendlich der endlichen Determinanten der Blöcke zwischen den Indizes -k und k, falls dieser Grenzwert existiert. Natürlich braucht man dann Bedingungen, unter denen der Grenzwert existiert.

Für den Operator definierte Fredholm eine Determinante und bewies dann zunächst, dass die Integralgleichung genau dann durch eine stetige Funktion φ lösbar ist, wenn det≠0 ist. (Heute formuliert man das allgemein, indem man für einen Spurklasseoperator A die Fredholm-Determinante von Id+A durch definiert, was beim obigen Integraloperator auf Fredholms Formel führt.) Diese Determinante bekommt man im Grenzübergang aus von Kochs Determinante, der Beweis benutzt Hadamards Ungleichung.