Theorema Magnum MCML: adelische Poisson-Summation

Algebraische Zahlentheorie befaßt sich spätestens seit Hilbert mit Körpererweiterungen von Zahlkörpern. So wie sich das quadratische Reziprozitätsgesetz als Satz über Ideale in quadratischen Erweiterungen von Q interpretieren läßt, so sollen auch alle höheren Reziprozitätsgesetze im Kontext abelscher Erweiterungen von Zahlkörpern erklärt werden.
Die Klassifikation abelscher Erweiterungen eines Zahlkörpers benötigt das Studium des sogenannten Klassenkörpers (d.h. der maximalen unverzweigten abelschen Erweiterung des Zahlkörpers, deren Galois-Gruppe ist die Idealklassengruppe des Zahlkörpers), sowie der maximalen abelschen Erweiterung K^ab des Zahlkörpers K und ihrer Galois-Gruppe Gal(K^ab/K).

Das Artinsche Reziprozitätsgesetz besagt, dass man für endliche, abelsche Erweiterungen L/K einen Isomorphismus einer gewissen Idealklassengruppe (der Strahlklassengruppe) auf die Galois-Gruppe Gal(L/K) hat, der einer Idealklasse p den Frobenius-Automorphismus Frob_p zuordnet. Insbesondere bekommt man für die maximale abelsche Erweiterung einen Isomorphismus für die Idealklassengruppe Cl(K) und die Normabildung N:K^ab—>K, die einem Element die Determinante der Multiplikation mit l (als K-linearem Automorphismus von K^ab) zuordnet.

Für lokale Körper K wie die p-adischen Zahlen Q_p wird diese Theorie deutlich einfacher. Man hat einen Homomorphismus der multiplikativen Gruppe K^x auf die Galois-Gruppe Gal(K^ab/K), der ein Element k auf Frob_p^ord_p(k) abbildet. Helmut Hasse bewies 1930, dass man für nicht-archimedische lokale Körper wie Q_p so einen Isomorphismus bekommt. (Für archimedische lokale Körper wie R oder C hat man einen surjektiven Morphismus, dessen Kern die Einheitskomponente ist.) Der Isomorphismus ist das mit Hilfe des Hilbert-Symbols definierte „lokale Normrestsymbol“, ursprünglich von Hilbert für Kummer-Erweiterungen definiert, aber auf alle endlichen abelschen Erweiterungen lokaler Körper anwendbar.

Claude Chevalley stellte durch die Einführung der Idelegruppe einen Zusammenhang zwischen den beiden Resultaten her. Als Idele bezeichnet man die Einheiten im Adelering, der zu einem Zahlkörper K definiert ist als das restringierte Produkt über alle Vervollständigungen von K, wobei „restringiertes Produkt“ bedeutet, dass die Komponenten der Elemente für fast alle (von R und C verschiedenen) Vervollständigungen in – den Elementen mit nichtnegativer Bewertung – liegt. Zum Beispiel ist A_Q das Produkt von R mit dem eingeschränkten Produkt aller p-adischen Zahlen Q_p, wo also fast alle Komponenten zu Z_p gehören sollen. Die Idele sind dann einfach das eingeschränkte Produkt der entsprechenden multiplikativen Einheitengruppen. (Chevalley definierte zunächst Idele und stellte erst einige Jahre später fest, dass sie die Einheiten im größeren Adelering sind.) Die Idelklassengruppe – der Anklang an Idealklassengruppe war beabsichtigt, denn sie übernimmt im Reziprozizätsgesetz die Rolle der Idealklassengruppe – ist der Quotient C_K=I_K/K^x der Idelegruppe nach der diagonal eingebetteten multiplikativen Gruppe K^x.
Mit diesen Definitionen gelang es Chevalley, die lokalen Isomorphismen zusammenzusetzen zu einem globalen Isomorphismus oder allgemeiner für jede endliche abelsche Erweiterung L/K. (Insbesondere entsprechen die abelschen Erweiterungen von K den offenen Untergruppen der Idelegruppe.) Sein Isomorphismus bildet ein Idel (a_p)_p auf ab.
Für K=Q bekommt man den Satz von Kronecker-Weber: die maximale abelsche Erweiterung von Q erhält man durch Adjunktion aller Einheitswurzeln und die Galois-Gruppe ist das Produkt der multiplikativen Gruppen p-adischer Körper über alle Primzahlen: . (In diesem Fall ist jede Erweiterung verzweigt, der Klassenkörper also Q, und die Idealklassengruppe bekanntlich trivial.)
Mit seinem auf Eigenschaften der p-adischen Zahlen beruhenden Beweis des Isomorphismus gelang Chevalley die Algebraisierung der Klassenkörpertheorie, während Artins Beweis Funktionentheorie benutzt und letztlich eine Gleichheit von L-Funktionen bewiesen hatte.

Erich Hecke hatte 1917 eine L-Funktion von sogenannten Größencharakteren definiert, die sowohl die L-Reihen von Dirichlet-Charakteren (mit denen man die Verteilung von Primzahlen in arithmetischen Folgen untersucht) als auch die Dedekindsche Zetafunktion von Zahlkörpern (mit der man die Verteilung von Primidealen in Ganzheitsringen untersucht) verallgemeinerte und für die er mit einem aufwendigen Beweis ihre meromorphe Fortsetzbarkeit und ihre Funktionalgleichung bewies.