Theorema Magnum MCMLVIII: der Satz von Grothendieck–Riemann–Roch

In der Funktionentheorie interessiert man sich für die Bestimmung von Funktionen mit vorgegebenen Pol- und Nullstellen. Gegeben eine Menge von Punkten x mit zugeordneten ganzzahligen d_x (einen „Divisor“ D) auf einer Riemannschen Fläche möchte man die Dimension l(D) des C-Vektorraums L(D) aller derjenigen meromorphen Funktionen, die in den Punkten mit höchstens eine Polstelle der Ordnung d_x und in den Punkten mit mindestens eine Nullstelle der Ordnung -d_x haben, bestimmen.

Auf der komplexen Ebene C gibt es nach dem Weierstraßschen Produktsatz immer Funktionen mit vorgegebenen Null- und Polstellen. Auf Riemannschen Flächen komplizierterer Topologie ist das nicht immer der Fall, l(D) kann also auch Null sein.

Der aus der Mitte des 19. Jahrhunderts stammende Satz von Riemann-Roch besagt, dass für einen Divisor D auf einer komplexen Kurve vom Geschlecht g die Gleichung mit gilt. Dabei ist K ein „kanonischer Divisor“, das ist der durch Null- und Polstellen einer (beliebigen) meromorphen 1-Form auf der Riemannschen Fläche gegebene Divisor. (Die Divisoren zu unterschiedlichen 1-Formen sind äquivalent in dem Sinne, dass ihre Differenz der Divisor einer meromorphen Funktion ist. Die Formel stimmt für jeden von ihnen.) Die Addition und Subtraktion der Divisoren ist durch punktweise Addition und Subtraktion der d_x definiert.

Insbesondere ist . Man erhält also eine topologische Abschätzung für eine analytische Größe und kann aus der Topologie die Existenz meromorpher Funktionen mit gewissen Eigenschaften herleiten. Umgekehrt kann man manchmal algebraische Relationen zwischen meromorphen Funktionen beweisen.

Man berechnet mit dieser Formel etwa die Dimensionen gewisser Räume von Modulformen. Teichmüller berechnete mit dem Satz von Riemann-Roch die Dimension des Raums quadratischer Differentiale und damit die Dimension des Riemannschen Modulraums. Eine andere klassische Anwendung ist der Beweis, dass es auf der Sphäre nur eine komplexe Struktur gibt. Man kann nämlich auf der Sphäre den aus dem Punkt im Unendlichen x mit Koeffizient d_x=1 bestehenden Divisor D betrachten und mit dem Satz von Riemann-Roch l(D)=2 berechnen. Weil nach dem Satz von Liouville jede holomorphe Funktion konstant ist, muß es dann noch eine meromorphe Funktion mit einer Polstelle der Ordnung 1 geben, und diese liefert eine biholomorphe Abbildung nach P¹C.

Eine Verallgemeinerung des Satzes von Riemann-Roch auf Kurven über beliebigen (vollkommenen) Körpern bewies 1931 F. K. Schmidt. (Daraus folgte die Rationalität der Zetafunktion des Funktionenkörpers.)

Wie kann man den Satz von Riemann-Roch auf höhere Dimensionen verallgemeinern? Für komplexe Flächen und Familien von Kurven (oder allgemeiner lineare Systeme von Divisoren) auf ihnen gab es bald verschiedene Fassungen des Satzes von Riemann-Roch. Nach frühen Versionen von Max Noether galt eine Ende des 19. Jahrhunderts von Castelnuovo bewiesene Ungleichung als die ultimative Version.
Für diese wie auch für andere damalige Formulierungen benötigte man eine Reihe geometrischer Invarianten. Ein typisches Beispiel ist die Ungleichung (eine Variante der Gleichungen von Noether, Enriques und Castelnuovo), wo die Dimension eines vollständigen linearen Systems (das ist die Anzahl der Parameter einer gewissen Kurvenfamilie), den virtuellen Grad, das virtuelle Geschlecht, das arithmetische Geschlecht und den Spezialitätsindex bezeichnet. In heutiger Sprache drückt man diese fünf Invarianten kohomologisch aus als .
Vor allem Hodge propagierte in den 50er Jahren die Idee, dass die Chern-Klassen eine solide Grundlegung für die verwirrende Plethora algebraisch-geometrischer Invarianten in der algebraischen Geometrie geben sollten.

Jean-Pierre Serre hatte als Konsequenz aus seinem Dualitätssatz die linke Seite l(D)-l(K-D) des Riemann-Roch-Theorems kohomologisch als , also als Euler-Charakteristik χ(S,D) interpretiert. Damit konnte man das klassische Riemann-Roch-Theorem über Divisoren auf komplexen Kurven als ein Theorem über Garbenkohomologie formulieren, genauer als Formel für die Euler-Charakteristik der Kohomologie mit Koeffizienten in der Garbe . Damit hatte man jetzt einen Ansatz, wie eine höher-dimensionale Verallgemeinerung des Riemann-Roch-Theorems aussehen sollte. Tatsächlich bewies Kodaira mit Hilfe charakteristischer Klassen eine solche Verallgemeinerung in komplexen Dimensionen 2 und 3. (In diesem Zusammenhang bewies er auch, teils gemeinsam mit Spencer, mehrere von Severi vermutete Identitäten. Die beiden hatten ein gemeinsames Langzeitprojekt, die Deformationen komplexer Strukturen kohomologisch zu beschreiben, analog zur von Teichmüller beschriebenen Deformation komplexer Strukturen auf Kurven durch quadratische Differentiale.)